Das Gravicentro ist eine Definition, die in der Geometrie beim Arbeiten mit Dreiecken sehr häufig verwendet wird.
Um die Definition der Schwerkraft zu verstehen, muss zunächst die Definition der "Mediane" eines Dreiecks bekannt sein.
Die Mediane eines Dreiecks sind die Liniensegmente, die an jedem Scheitelpunkt beginnen und den Mittelpunkt der diesem Scheitelpunkt gegenüberliegenden Seite erreichen.
Der Schnittpunkt der drei Mediane eines Dreiecks wird als Barycenter oder auch als Gravicenter bezeichnet.
Es reicht nicht aus, nur die Definition zu kennen, es ist interessant zu wissen, wie dieser Punkt berechnet wird.
Berechnung des Schwerpunkts
Bei einem Dreieck ABC mit Eckpunkten A = (x1, y1), B = (x2, y2) und C = (x3, y3) haben wir, dass das Gravizentrum der Schnittpunkt der drei Mediane des Dreiecks ist.
Eine schnelle Formel, die die Berechnung des Schwerpunkts eines Dreiecks ermöglicht, wobei die Koordinaten seiner Eckpunkte bekannt sind, lautet:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Mit dieser Formel können Sie die Position des Graviccenter in der kartesischen Ebene ermitteln.
Eigenschaften des Gravicentro
Es ist nicht notwendig, die drei Mediane des Dreiecks zu zeichnen, da beim Zeichnen von zwei davon ersichtlich ist, wo sich das Gravicentro befindet.
Das Gravicentro teilt jeden Median in zwei Teile mit einem Verhältnis von 2: 1, dh die beiden Segmente jedes Medians sind in Segmente mit den Längen 2/3 und 1/3 der Gesamtlänge unterteilt, wobei der größere Abstand derjenige ist, den es gibt zwischen dem Scheitelpunkt und dem Schwerpunkt.
Das folgende Bild veranschaulicht diese Eigenschaft besser.
Die Formel zur Berechnung der Schwerkraft ist sehr einfach anzuwenden. Der Weg, um diese Formel zu erhalten, besteht darin, die Liniengleichungen zu berechnen, die jeden Median definieren, und dann den Schnittpunkt dieser Linien zu finden.
Übungen
Hier ist eine kurze Liste von Problemen bei der Berechnung des Schwerpunkts.
1.- Berechnen Sie bei einem Dreieck mit den Eckpunkten A = (0,0), B = (1,0) und C = (1,1) den Schwerpunkt des Dreiecks.
Mit der angegebenen Formel kann schnell geschlossen werden, dass der Schwerpunkt des Dreiecks ABC ist:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Wenn ein Dreieck Eckpunkte A = (0,0), B = (1,0) und C = (1 / 2,1) hat, wie lauten die Koordinaten des Gravicentro?
Da die Eckpunkte des Dreiecks bekannt sind, wenden wir die Formel zur Berechnung des Schwerpunkts an. Daher hat das Gravicentro Koordinaten:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Berechnen Sie die möglichen Gravicentros für ein gleichseitiges Dreieck so, dass zwei seiner Eckpunkte A = (0,0) und B = (2,0) sind.
In dieser Übung geben Sie nur zwei Eckpunkte des Dreiecks an. Um die möglichen Gravicentros zu finden, müssen wir zuerst den dritten Scheitelpunkt des Dreiecks berechnen.
Da das Dreieck gleichseitig ist und der Abstand zwischen A und B 2 beträgt, muss der dritte Scheitelpunkt C im Abstand 2 von A und B liegen.
Unter Verwendung der Tatsache, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Höhe mit dem Median übereinstimmt, und auch unter Verwendung des Satzes von Pythagoras kann geschlossen werden, dass die Optionen für die Koordinaten des dritten Scheitelpunkts C1 = (1, √3) oder C2 = (1, - sind √3).
Die Koordinaten der beiden möglichen Gravicentries sind also:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Dank der vorherigen Berichte kann auch festgestellt werden, dass der Median in zwei Teile geteilt wurde, deren Verhältnis 2: 1 beträgt.
Verweise
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