KOPLANARE PUNKTE: GLEICHUNG, BEISPIEL UND GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die koplanaren Punkte gehören alle zur gleichen Ebene. Zwei Punkte sind immer koplanar, da diese Punkte eine Linie definieren, durch die unendliche Ebenen verlaufen. Dann gehören beide Punkte zu jeder der Ebenen, die durch die Linie verlaufen, und sind daher immer koplanar.

Andererseits definieren drei Punkte eine einzelne Ebene, aus der folgt, dass drei Punkte immer koplanar zu der Ebene sind, die sie bestimmen.

Abbildung 1. A, B, C und D sind koplanar zur (Ω) -Ebene. E, F und G sind nicht koplanar zu (Ω), aber sie sind koplanar zu der Ebene, die sie definieren. Quelle: F. Zapata.

Mehr als drei Punkte können koplanar sein oder nicht. In Abbildung 1 sind beispielsweise die Punkte A, B, C und D koplanar zur Ebene (Ω). Aber E, F und G sind nicht koplanar zu (Ω), obwohl sie koplanar zu der Ebene sind, die sie definieren.

Gleichung einer Ebene mit drei Punkten

Die Gleichung einer Ebene, die durch drei bekannte Punkte A, B, C bestimmt wird, ist eine mathematische Beziehung, die garantiert, dass jeder Punkt P mit generischen Koordinaten (x, y, z), der die Gleichung erfüllt, zu dieser Ebene gehört.

Die vorherige Aussage entspricht der Aussage, dass, wenn P der Koordinaten (x, y, z) die Gleichung der Ebene erfüllt, der Punkt koplanar mit den drei Punkten A, B, C ist, die die Ebene bestimmt haben.

Um die Gleichung dieser Ebene zu finden, beginnen wir mit der Ermittlung der Vektoren AB und AC :

AB =

AC =

Das Vektorprodukt AB X AC ergibt einen Vektor senkrecht oder normal zur Ebene, der durch die Punkte A, B, C bestimmt wird.

Jeder Punkt P mit Koordinaten (x, y, z) gehört zur Ebene, wenn der Vektor AP senkrecht zum Vektor AB X AC ist , was garantiert ist, wenn:

AP • (AB X AC) = 0

Dies entspricht der Aussage, dass das Dreifachprodukt von AP , AB und AC Null ist. Die obige Gleichung kann in Matrixform geschrieben werden:

Beispiel

Lassen Sie die Punkte A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) und D (a, 0, 1). Welchen Wert muss ein haben, damit die vier Punkte koplanar sind?

Lösung

Um den Wert von a zu finden, muss Punkt D Teil der durch A, B und C bestimmten Ebene sein, was garantiert ist, wenn er die Gleichung der Ebene erfüllt.

Entwicklung der Determinante, die wir haben:

Die vorherige Gleichung besagt, dass a = -1 für die zu erfüllende Gleichheit ist. Mit anderen Worten, der einzige Weg, auf dem Punkt D (a, 0,1) koplanar zu den Punkten A, B und C ist, besteht darin, dass a -1 ist. Andernfalls wird es nicht koplanar sein.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Eine Ebene schneidet die kartesischen Achsen X, Y, Z bei 1, 2 bzw. 3. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit den Achsen bestimmt die Punkte A, B und C. Finden Sie die Komponente Dz eines Punktes D, dessen kartesische Komponenten sind:

Vorausgesetzt, D ist koplanar mit den Punkten A, B und C.

Lösung

Wenn die Abschnitte einer Ebene mit den kartesischen Achsen bekannt sind, kann die Segmentform der Ebenengleichung verwendet werden:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Da Punkt D zur vorherigen Ebene gehören muss, muss er:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Das heißt:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Aus dem Obigen folgt, dass Punkt D (3, -2, -3) koplanar mit Punkten A (1, 0, 0) ist; B (0, 2, 0) und C (0, 0, 3).

- Übung 2

Bestimmen Sie, ob die Punkte A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) und D (2, 3, 1) sind koplanar.

Lösung

Wir bilden die Matrix, deren Zeilen die Koordinaten von DA, BA und CA sind. Dann wird die Determinante berechnet und überprüft, ob sie Null ist oder nicht.

Nach Durchführung aller Berechnungen wird der Schluss gezogen, dass sie koplanar sind.

- Übung 3

Es gibt zwei Linien im Raum. Eine davon ist die Linie (R), deren parametrische Gleichung lautet:

Und die andere ist die Linie (S), deren Gleichung lautet:

Zeigen Sie, dass (R) und (S) koplanare Linien sind, dh in derselben Ebene liegen.

Lösung

Beginnen wir damit, zwei Punkte auf der Linie (R) und zwei auf der Linie (S) willkürlich zu nehmen:

Linie (R): λ = 0; A (1, 1, 1) und λ = 1; B (3, 0, 1)

Sei x = 0 in der Zeile (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Und andererseits, wenn wir y = 0 => x = 1 machen; D (1, 0, -1).

Das heißt, wir haben die Punkte A und B genommen, die zur Linie (R) gehören, und die Punkte C und D, die zur Linie (S) gehören. Wenn diese Punkte koplanar sind, sind es auch die beiden Linien.

Nun wählen wir Punkt A als Drehpunkt und finden dann die Koordinaten der Vektoren AB , AC und AD. Auf diese Weise erhalten Sie:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C: A: (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Der nächste Schritt besteht darin, die Determinante zu konstruieren und zu berechnen, deren erste Reihe die Koeffizienten des Vektors AB sind , die zweite Reihe die von AC und die dritte Reihe die des Vektors AD :

Da sich die Determinante als null herausstellt, können wir schließen, dass die vier Punkte koplanar sind. Zusätzlich kann festgestellt werden, dass die Linien (R) und (S) ebenfalls koplanar sind.

- Übung 4

Die Linien (R) und (S) sind koplanar, wie in Übung 3 gezeigt. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die sie enthält.

Lösung

Die Punkte A, B, C definieren diese Ebene vollständig, aber wir möchten festlegen, dass jeder Punkt X der Koordinaten (x, y, z) dazu gehört.

Damit X zu der durch A, B, C definierten Ebene gehört und in der die Linien (R) und (S) enthalten sind, muss die Determinante in ihrer ersten Reihe durch die Komponenten von AX in der zweiten Reihe gebildet werden von denen von AB und im dritten von denen von AC :

Nach diesem Ergebnis gruppieren wir wie folgt:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Und sofort sehen Sie, dass es so umgeschrieben werden kann:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Daher ist x + 2y - z = 2 die Gleichung der Ebene, die die Linien (R) und (S) enthält.

Verweise

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineare Algebra. Pearson Ausbildung.
3. Leal, JM 2005. Flache analytische Geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA.
4. Navarro, Rocio. Vektoren. Wiederhergestellt von: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Vorberechnung. Pearson Ausbildung.
6. Prenowitz, W. 2012. Grundlegende Konzepte der Geometrie. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Ausbildung.