ZUSAMMENGESETZTE PROPORTIONALITÄT: ERKLÄRUNG, ZUSAMMENGESETZTE DREIERREGEL, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die zusammengesetzte oder mehrfache Proportionalität ist das Verhältnis von über zwei Größen, das direkt und invers proportional zur Proportionalität zwischen den Daten und dem Unbekannten beobachtet werden kann. Dies ist eine fortgeschrittenere Version der einfachen Proportionalität, obwohl die in beiden Verfahren verwendeten Techniken ähnlich sind.

Wenn beispielsweise 7 Personen benötigt werden, um 10 Tonnen Waren in 3 Stunden zu entladen, kann die zusammengesetzte Proportionalität verwendet werden, um zu berechnen, wie viele Personen benötigt werden, um 15 Tonnen in 4 Stunden zu entladen.

Quelle: pixabay.com

Um diese Frage zu beantworten, ist es zweckmäßig, eine Wertetabelle zu erstellen, um die Größen und Unbekannten zu untersuchen und in Beziehung zu setzen.

Wir analysieren die Arten von Beziehungen zwischen jeder Größe und dem gegenwärtigen Unbekannten, was in diesem Fall der Anzahl der Personen entspricht, die arbeiten werden.

Mit zunehmendem Gewicht der Ware steigt auch die Anzahl der Personen, die zum Entladen erforderlich sind. Aus diesem Grund ist die Beziehung zwischen Gewicht und Arbeitern direkt.

Andererseits nimmt die Arbeitszeit mit zunehmender Anzahl der Arbeitnehmer ab. Aus diesem Grund ist das Verhältnis zwischen Menschen und Arbeitszeit umgekehrt.

Wie man zusammengesetzte Proportionalitäten berechnet

Um Beispiele wie das obige zu lösen, wird meistens die zusammengesetzte Regel der Drei-Methode verwendet. Dies besteht darin, die Arten von Beziehungen zwischen Mengen und Unbekannten festzulegen und dann ein Produkt zwischen Brüchen darzustellen.

In Bezug auf das ursprüngliche Beispiel sind die der Wertetabelle entsprechenden Brüche wie folgt organisiert:

Vor dem Lösen und Lösen des Unbekannten müssen jedoch die der umgekehrten Beziehung entsprechenden Brüche invertiert werden. Welche für diesen Fall der variablen Zeit entsprechen. Auf diese Weise ist die zu lösende Operation:

Wessen einziger Unterschied ist die Inversion des Bruchteils, der der Zeitvariablen 4/3 entspricht. Wir arbeiten weiter und löschen den Wert von x.

Daher werden mehr als elf Personen benötigt, um 15 Tonnen Waren in 4 Stunden oder weniger entladen zu können.

Erläuterung

Die Proportionalität ist die konstante Beziehung zwischen sich ändernden Größen, die für jede der beteiligten Größen symmetrisch ist. Es gibt direkt und umgekehrt proportionale Beziehungen, wodurch die Parameter der einfachen oder zusammengesetzten Proportionalität definiert werden.

Direkte Dreierregel

Es besteht aus einer Proportionsbeziehung zwischen Variablen, die beim Ändern dasselbe Verhalten zeigen. Es ist sehr häufig bei der Berechnung von Prozentsätzen, die sich auf andere Größen als einhundert beziehen, wobei seine Grundstruktur geschätzt wird.

Beispielsweise können 15% von 63 berechnet werden. Auf den ersten Blick ist dieser Prozentsatz nicht leicht einzuschätzen. Bei Anwendung der Dreierregel kann jedoch die folgende Beziehung hergestellt werden: Wenn 100% 63, dann 15% ist, wie viel wird es sein?

100% ---- 63

15% ---– X.

Und die entsprechende Operation ist:

(15%, 63) / 100% = 9,45

Wenn die Prozentzeichen vereinfacht werden und die Zahl 9.45 erhalten wird, entspricht dies 15% von 63.

Umgekehrte Dreierregel

Wie der Name schon sagt, ist in diesem Fall die Beziehung zwischen den Variablen umgekehrt. Die umgekehrte Beziehung muss hergestellt werden, bevor mit der Berechnung fortgefahren werden kann. Sein Verfahren ist homolog zu dem der direkten Dreierregel, mit Ausnahme der Investition in die zu berechnende Fraktion.

Zum Beispiel benötigen 3 Maler 5 Stunden, um eine Wand fertig zu stellen. In wie vielen Stunden würden 4 Maler es beenden?

In diesem Fall ist die Beziehung umgekehrt, da mit zunehmender Anzahl von Malern die Arbeitszeit abnehmen sollte. Die Beziehung wird hergestellt;

3 Maler - 5 Stunden

4 Maler - X Stunden

Wenn die Beziehung umgekehrt wird, wird die Reihenfolge der Operation umgekehrt. Dies ist der richtige Weg;

(3 Maler). (5 Stunden) / 4 Maler = 3,75 Stunden

Der Begriff Maler wird vereinfacht und das Ergebnis ist 3,75 Stunden.

Bedingung

Um in Gegenwart einer Verbindung oder einer Mehrfachproportionalität zu sein, müssen beide Arten von Beziehungen zwischen Größen und Variablen gefunden werden.

- Direkt: Die Variable hat das gleiche Verhalten wie die unbekannte. Das heißt, wenn einer zunimmt oder abnimmt, wird der andere gleichermaßen verändert.

- Invers: Die Variable hat ein Antonyme-Verhalten zu dem des Unbekannten. Der Bruch, der diese Variable in der Wertetabelle definiert, muss invertiert werden, um die umgekehrt proportionale Beziehung zwischen Variable und Unbekanntem darzustellen.

Überprüfung der Ergebnisse

Es ist sehr üblich, die Reihenfolge der Mengen zu verwechseln, wenn mit zusammengesetzten Proportionalitäten gearbeitet wird, im Gegensatz zu den üblichen Proportionsberechnungen, deren Natur meist direkt und durch eine einfache Dreierregel lösbar ist.

Aus diesem Grund ist es wichtig, die logische Reihenfolge der Ergebnisse zu untersuchen und die Kohärenz der durch die zusammengesetzte Dreierregel erzeugten Zahlen zu überprüfen.

Im ersten Beispiel würde ein solcher Fehler zu 20 führen. Das heißt, 20 Personen entladen 15 Tonnen Waren in 4 Stunden.

Auf den ersten Blick scheint es kein verrücktes Ergebnis zu sein, aber es ist merkwürdig, dass der Personalbestand um fast 200% (von 7 auf 20 Personen) steigt, wenn der Warenzuwachs 50% beträgt, und dies sogar mit einer größeren Zeitspanne die Arbeit.

Daher ist die logische Überprüfung der Ergebnisse ein wichtiger Schritt bei der Implementierung der zusammengesetzten Dreierregel.

Spielraum

Obwohl die Freigabe in Bezug auf die mathematische Ausbildung grundlegender ist, stellt sie in Fällen der Verhältnismäßigkeit einen wichtigen Schritt dar. Eine falsche Freigabe reicht aus, um ein Ergebnis ungültig zu machen, das mit der einfachen oder zusammengesetzten Dreierregel erzielt wurde.

Geschichte

Die Dreierregel wurde im Westen durch die Araber mit Veröffentlichungen verschiedener Autoren bekannt. Unter ihnen Al-Jwarizmi und Al-Biruni.

Al-Biruni hatte dank seines multikulturellen Wissens Zugang zu umfangreichen Informationen über diese Praxis auf seinen Reisen nach Indien und war für die umfangreichste Dokumentation der Dreierregel verantwortlich.

In seinen Forschungen stellt er fest, dass Indien der erste Ort war, an dem die Anwendung der Dreierregel üblich wurde. Der Autor versichert, dass es in seiner direkten, inversen und sogar komponierten Fassung flüssig ausgeführt wurde.

Das genaue Datum, an dem die Dreierregel Teil des mathematischen Wissens Indiens wurde, ist noch unbekannt. Das älteste Dokument, das sich mit dieser Praxis befasst, das Bakhshali-Manuskript, wurde 1881 entdeckt. Es befindet sich derzeit in Oxford.

Viele Mathematikhistoriker behaupten, dass dieses Manuskript vom Beginn der heutigen Zeit stammt.

Gelöste Übungen

Übung 1

Eine Fluggesellschaft muss 1.535 Personen befördern. Es ist bekannt, dass es mit 3 Flugzeugen 12 Tage dauern würde, bis der letzte Passagier das Ziel erreicht. 450 weitere Personen sind bei der Fluggesellschaft angekommen und 2 Flugzeuge müssen repariert werden, um bei dieser Aufgabe zu helfen. Wie viele Tage benötigt die Fluggesellschaft, um jeden letzten Passagier an ihr Ziel zu bringen?

Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Personen und den Arbeitstagen ist direkt, denn je größer die Anzahl der Personen ist, desto mehr Tage werden für die Ausführung dieser Arbeit benötigt.

Andererseits ist das Verhältnis zwischen Flugzeugen und Tagen umgekehrt proportional. Mit zunehmender Anzahl von Flugzeugen verringern sich die Tage, die für den Transport aller Passagiere benötigt werden.

Die Wertetabelle für diesen Fall wird erstellt.

Wie im ersten Beispiel ausgeführt, müssen Zähler und Nenner in dem Bruch invertiert werden, der der inversen Variablen in Bezug auf das Unbekannte entspricht. Die Operation ist wie folgt:

X = 71460/7675 = 9,31 Tage

Der Transfer von 1985 Personen mit 5 Flugzeugen dauert mehr als 9 Tage.

Übung 2

Eine 25-Tonnen-Maisernte wird zu den Lastwagen gebracht. Es ist bekannt, dass sie im Vorjahr 8 Stunden mit einer Lohnsumme von 150 Arbeitern gebraucht haben. Wenn in diesem Jahr die Lohnsumme um 35% gestiegen ist, wie lange werden sie brauchen, um die Lastwagen mit einer 40-Tonnen-Ernte zu füllen?

Vor der Darstellung der Wertetabelle muss die Anzahl der Arbeitnehmer für dieses Jahr festgelegt werden. Dies stieg um 35% gegenüber der ursprünglichen Zahl von 150 Arbeitnehmern. Hierfür wird eine direkte Dreierregel verwendet.

100% ---- 150

35% ---– X.

X = (35.100) / 100 = 52,5. Dies ist die Anzahl der zusätzlichen Arbeitnehmer im Vergleich zum Vorjahr, die nach Rundung des erhaltenen Betrags eine Gesamtzahl von 203 Arbeitnehmern erhalten.

Wir definieren die entsprechende Datentabelle

In diesem Fall stellt das Gewicht eine Variable dar, die in direktem Zusammenhang mit der unbekannten Zeit steht. Andererseits hat die Arbeitervariable eine umgekehrte Beziehung zur Zeit. Je mehr Arbeitnehmer beschäftigt sind, desto kürzer ist der Arbeitstag.

Unter Berücksichtigung dieser Überlegungen und Invertieren des der Arbeitervariablen entsprechenden Anteils fahren wir mit der Berechnung fort.

X = 40600/6000 = 6,76 Stunden

Die Fahrt dauert knapp 7 Stunden.

Vorgeschlagene Übungen

- Definieren Sie 73% von 2875.

- Berechnen Sie die Anzahl der Stunden, die Teresa schläft, wenn bekannt ist, dass sie nur 7% der Gesamtstunden des Tages schläft. Definieren Sie, wie viele Stunden Sie pro Woche schlafen.

- Eine Zeitung veröffentlicht alle 5 Stunden 2000 Exemplare mit nur 2 Druckmaschinen. Wie viele Exemplare wird er in 1 Stunde produzieren, wenn er 7 Maschinen benutzt? Wie lange dauert es, 10.000 Kopien mit 4 Maschinen zu produzieren?

Verweise

1. Enzyklopädie Alvarez-Initiation. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Vollständiges Handbuch des Grund- und höheren Grundschulunterrichts: für angehende Lehrer und insbesondere Schüler der normalen Schulen der Provinz, Band 1. Joaquín Avendaño. Druck von D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Rationale Approximation realer Funktionen. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. März. 2011.
4. Grundrechenarten für den Unterricht an Schulen und Hochschulen in Mittelamerika. Darío González. Trinkgeld. Arenales, 1926.
5. Das Studium der Mathematik: Über das Studium und die Schwierigkeiten der Mathematik. Augustus De Morgan. Baldwin und Cradock, 1830.