SPERREIGENSCHAFT DER ALGEBRA: BEWEIS, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Sperreigenschaft der Algebra ist ein Phänomen, das zwei Elemente einer Menge mit einer Operation in Beziehung setzt, wobei die notwendige Bedingung darin besteht, dass das Ergebnis nach der Verarbeitung der beiden Elemente unter dieser Operation auch zur ursprünglichen Menge gehört.

Wenn wir zum Beispiel die geraden Zahlen als Menge und eine Summe als Operation nehmen, erhalten wir eine Sperre dieser Menge in Bezug auf die Summe. Dies liegt daran, dass die Summe von 2 geraden Zahlen immer eine andere gerade Zahl ergibt und somit die Sperrbedingung erfüllt.

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Eigenschaften

Es gibt viele Eigenschaften, die algebraische Räume oder Körper bestimmen, wie z. B. Strukturen oder Ringe. Die Lock-Eigenschaft ist jedoch eine der bekanntesten in der Grundalgebra.

Nicht alle Anwendungen dieser Eigenschaften basieren auf numerischen Elementen oder Phänomenen. Viele alltägliche Beispiele können aus einem rein algebraisch-theoretischen Ansatz heraus bearbeitet werden.

Ein Beispiel können die Bürger eines Landes sein, die eine Rechtsbeziehung jeglicher Art eingehen, beispielsweise eine Handelspartnerschaft oder eine Ehe. Nach dieser Operation oder Verwaltung bleiben sie Staatsbürger des Landes. Auf diese Weise stellen Staatsbürgerschafts- und Verwaltungsoperationen in Bezug auf zwei Bürger eine Sperre dar.

Numerische Algebra

In Bezug auf Zahlen gibt es viele Aspekte, die in verschiedenen Strömungen der Mathematik und Algebra untersucht wurden. Aus diesen Studien ist eine Vielzahl von Axiomen und Theoremen hervorgegangen, die als theoretische Grundlage für zeitgenössische Forschung und Arbeit dienen.

Wenn wir mit den numerischen Mengen arbeiten, können wir eine andere gültige Definition für die Eigenschaft lock festlegen. Eine Menge A wird als Sperre einer anderen Menge B bezeichnet, wenn A die kleinste Menge ist, die alle Mengen und Operationen enthält, die B enthält.

Demonstration

Der Sperrbeweis wird für Elemente und Operationen angewendet, die in der Menge der reellen Zahlen R vorhanden sind.

Sei A und B zwei Zahlen, die zur Menge R gehören, so wird der Abschluss dieser Elemente für jede in R enthaltene Operation definiert.

Summe

- Summe: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R.

Dies ist die algebraische Art zu sagen, dass für alle A und B, die zu den reellen Zahlen gehören, die Summe von A plus B gleich C ist, was auch zu den reellen Zahlen gehört.

Es ist leicht zu überprüfen, ob dieser Satz wahr ist; Es reicht aus, die Summe zwischen einer reellen Zahl zu berechnen und zu überprüfen, ob das Ergebnis auch zu den reellen Zahlen gehört.

3 + 2 = 5 ∈ R.

-2 + (-7) = -9 ∈ R.

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R.

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R.

Es wird beobachtet, dass die Sperrbedingung für die reellen Zahlen und die Summe erfüllt ist. Auf diese Weise kann geschlossen werden: Die Summe der reellen Zahlen ist eine algebraische Sperre.

Multiplikation

- Multiplikation: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R.

Für alle A und B, die zu den Real gehören, haben wir, dass die Multiplikation von A mit B gleich C ist, was auch zu den Real gehört.

Bei der Überprüfung mit denselben Elementen des vorherigen Beispiels werden die folgenden Ergebnisse beobachtet.

3 x 2 = 6 ∈ R.

-2 x (-7) = 14 ∈ R.

-3 x 1/3 = -1 ∈ R.

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R.

Dies ist genug Beweis, um zu folgern: Die Multiplikation reeller Zahlen ist eine algebraische Sperre.

Diese Definition kann auf alle Operationen reeller Zahlen ausgedehnt werden, obwohl wir bestimmte Ausnahmen finden werden.

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Sonderfälle in R.

Aufteilung

Der erste Sonderfall ist die Division, bei der folgende Ausnahme auftritt:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Für alle A und B, die zu R gehören, haben wir, dass A unter B nicht genau dann zu den Realwerten gehört, wenn B gleich Null ist.

Dieser Fall bezieht sich auf die Einschränkung, nicht durch Null teilen zu können. Da Null zu den reellen Zahlen gehört, folgt daraus: Die Division ist keine Sperre für die reellen Zahlen.

Einreichung

Es gibt auch Potenzierungsoperationen, insbesondere solche der Radikalisierung, bei denen Ausnahmen für radikale Kräfte mit gleichem Index dargestellt werden:

Für alle A, die zu den Reals gehören, gehört die n-te Wurzel von A genau dann zu den Reals, wenn A zu den positiven Reals gehört, die zu einer Menge verbunden sind, deren einziges Element Null ist.

Auf diese Weise wird bezeichnet, dass die geraden Wurzeln nur für positive Realitäten gelten, und es wird der Schluss gezogen, dass die Potenzierung keine Sperre in R ist.

Logarithmus

In homologer Weise kann dies für die logarithmische Funktion gesehen werden, die nicht für Werte kleiner oder gleich Null definiert ist. Um zu überprüfen, ob der Logarithmus eine Sperre von R ist, gehen Sie wie folgt vor:

Für alles A, das zu den Reals gehört, gehört der Logarithmus von A genau dann zu den Reals, wenn A zu den positiven Reals gehört.

Durch Ausschließen negativer Werte und Null, die ebenfalls zu R gehören, kann Folgendes festgestellt werden:

Der Logarithmus ist keine Sperre der reellen Zahlen.

Beispiele

Überprüfen Sie das Schloss auf Addition und Subtraktion der natürlichen Zahlen:

Summe in N.

Das erste ist, die Sperrbedingung für verschiedene Elemente des gegebenen Satzes zu überprüfen. Wenn festgestellt wird, dass ein Element mit der Bedingung bricht, kann das Vorhandensein einer Sperre automatisch verweigert werden.

Diese Eigenschaft gilt für alle möglichen Werte von A und B, wie in den folgenden Operationen gezeigt:

1 + 3 = 4 ∈ N.

5 + 7 = 12 ∈ N.

1000 + 10000 = 11000 ∈ N.

Es gibt keine natürlichen Werte, die die Sperrbedingung aufheben, daher wird der Schluss gezogen:

Die Summe ist eine Sperre in N.

Subtrahiere in N.

Gesucht werden natürliche Elemente, die den Zustand brechen können; A - B gehört den Eingeborenen.

Bei der Bedienung ist es einfach, Paare natürlicher Elemente zu finden, die die Verriegelungsbedingung nicht erfüllen. Beispielsweise:

7 - 10 = -3 ∉ a N.

Auf diese Weise können wir folgern:

Die Subtraktion ist keine Sperre für die Menge der natürlichen Zahlen.

Vorgeschlagene Übungen

1-Zeigen Sie, ob die Sperreigenschaft für die Menge der rationalen Zahlen Q für die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erfüllt ist.

2-Erklären Sie, ob die Menge der reellen Zahlen eine Sperre der Menge der ganzen Zahlen ist.

3-Bestimmen Sie, welcher numerische Satz die Sperre der reellen Zahlen sein kann.

4-Beweisen Sie die Eigenschaft des Schlosses für die Menge der imaginären Zahlen in Bezug auf Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Verweise

1. Panorama der reinen Mathematik: die Wahl der Bourbakisten. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraische Zahlentheorie. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez und Francisco Tomás. Nationale Autonome Universität von Mexiko, 1975.
3. Lineare Algebra und ihre Anwendungen. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
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5. Einführung in die kommutative Algebra. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.