ASSOZIATIVE EIGENSCHAFT: ADDITION, MULTIPLIKATION, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die assoziative Eigenschaft der Addition repräsentiert den assoziativen Charakter der Additionsoperation in verschiedenen mathematischen Mengen. Darin sind drei (oder mehr) Elemente dieser Mengen miteinander verbunden, die als a, b und c bezeichnet werden, so dass es immer wahr ist:

a + (b + c) = (a + b) + c

Auf diese Weise wird garantiert, dass das Ergebnis unabhängig von der Art der Gruppierung zur Ausführung des Vorgangs dasselbe ist.

Abbildung 1. Wir verwenden die assoziative Eigenschaft der Addition oft, wenn wir arithmetische und algebraische Operationen ausführen. (Zeichnung: freepik Zusammensetzung: F. Zapata)

Es ist jedoch zu beachten, dass die assoziative Eigenschaft nicht gleichbedeutend mit der kommutativen Eigenschaft ist. Das heißt, wir wissen, dass die Reihenfolge der Addenden die Summe nicht ändert oder dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert. Für die Summe kann es also so geschrieben werden: a + b = b + a.

In der assoziativen Eigenschaft ist dies jedoch anders, da die Reihenfolge der hinzuzufügenden Elemente beibehalten wird und sich die Operation ändert, die zuerst ausgeführt wird. Dies bedeutet, dass das Hinzufügen von first (b + c) und das Hinzufügen von a zu diesem Ergebnis keine Rolle spielt, als das Hinzufügen von a mit by zum Ergebnis zu addieren, indem c hinzugefügt wird.

Viele wichtige Operationen wie das Hinzufügen sind assoziativ, aber nicht alle. Zum Beispiel passiert bei der Subtraktion von reellen Zahlen Folgendes:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Wenn a = 2, b = 3, c = 1, dann:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Assoziative Eigenschaft der Multiplikation

Wie bei der Addition heißt es in der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Bei reellen Zahlen kann leicht überprüft werden, ob dies immer der Fall ist. Unter Verwendung der Werte a = 2, b = 3, c = 1 haben wir zum Beispiel:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reelle Zahlen erfüllen die assoziative Eigenschaft sowohl der Addition als auch der Multiplikation. Andererseits ist in einer anderen Menge, wie der von Vektoren, die Summe assoziativ, das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt jedoch nicht.

Anwendungen der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation

Ein Vorteil von Operationen, bei denen die assoziative Eigenschaft erfüllt ist, besteht darin, dass sie auf die bequemste Weise gruppiert werden können. Dies erleichtert die Auflösung erheblich.

Angenommen, in einer kleinen Bibliothek gibt es 3 Regale mit jeweils 5 Regalen. In jedem Regal befinden sich 8 Bücher. Wie viele Bücher gibt es insgesamt?

Wir können den Vorgang folgendermaßen ausführen: Gesamtzahl der Bücher = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 Bücher.

Oder so: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 Bücher.

Abbildung 2. Eine Anwendung der assoziativen Multiplikationseigenschaft besteht darin, die Anzahl der Bücher in jedem Regal zu berechnen. Bild erstellt von F. Zapata.

Beispiele

- In Mengen natürlicher, ganzzahliger, rationaler, reeller und komplexer Zahlen ist die assoziative Eigenschaft der Addition und Multiplikation erfüllt.

Abbildung 3. Für reelle Zahlen ist die assoziative Eigenschaft der Addition erfüllt. Quelle: Wikimedia Commons.

-Für Polynome gelten sie auch für diese Operationen.

- Bei Subtraktions-, Divisions- und Exponentiationsoperationen gilt die assoziative Eigenschaft nicht für reelle Zahlen oder Polynome.

-Im Fall von Matrizen ist die assoziative Eigenschaft für Addition und Multiplikation erfüllt, obwohl im letzteren Fall die Kommutativität nicht erfüllt ist. Dies bedeutet, dass angesichts der Matrizen A, B und C Folgendes zutrifft:

(A x B) x C = A x (B x C)

Aber … A x B ≠ B x A.

Die assoziative Eigenschaft in Vektoren

Vektoren bilden eine andere Menge als reelle Zahlen oder komplexe Zahlen. Die für den Satz von Vektoren definierten Operationen sind etwas unterschiedlich: Es gibt Addition, Subtraktion und drei Arten von Produkten.

Die Summe der Vektoren erfüllt die assoziative Eigenschaft ebenso wie Zahlen, Polynome und Matrizen. Die Skalarprodukte, skalar nach Vektor und Kreuz, die zwischen Vektoren hergestellt werden, erfüllen diese nicht, aber das Skalarprodukt, das eine andere Art von Operation zwischen Vektoren darstellt, erfüllt sie unter Berücksichtigung der folgenden Punkte:

-Das Produkt aus einem Skalar und einem Vektor ergibt einen Vektor.

- Und wenn zwei Vektoren skalar multipliziert werden, ergibt sich ein Skalar.

Daher ist es angesichts der Vektoren v , u und w und zusätzlich eines Skalars λ möglich zu schreiben:

- Summe der Vektoren: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skalarprodukt: λ ( v · u ) = (λ v ) · u

Letzteres ist möglich, weil v • u ein Skalar und λ v ein Vektor ist.

Jedoch:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorisierung von Polynomen durch Gruppierung von Begriffen

Diese Anwendung ist sehr interessant, da die assoziative Eigenschaft, wie bereits erwähnt, zur Lösung bestimmter Probleme beiträgt. Die Summe der Monome ist assoziativ und kann zum Faktorisieren verwendet werden, wenn ein offensichtlicher gemeinsamer Faktor auf den ersten Blick nicht auftritt.

Angenommen, Sie werden aufgefordert, Folgendes zu berücksichtigen: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Dieses Polynom hat keinen gemeinsamen Faktor, aber lassen Sie uns sehen, was passiert, wenn es wie folgt gruppiert wird:

Die erste Klammer hat einen gemeinsamen Faktor von Axt ² :

Im zweiten ist der gemeinsame Faktor 3:

Übungen

- Übung 1

Ein Schulgebäude hat 4 Etagen und jeweils 12 Klassenzimmer mit 30 Schreibtischen. Wie viele Schreibtische hat die Schule insgesamt?

Lösung

Dieses Problem wird gelöst, indem die assoziative Eigenschaft der Multiplikation angewendet wird.

Gesamtzahl der Schreibtische = 4 Stockwerke x 12 Klassenzimmer / Stockwerk x 30 Schreibtische / Klassenzimmer = (4 x 12) x 30 Schreibtische = 48 x 30 = 1440 Schreibtische.

Oder wenn Sie es vorziehen: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 Schreibtische

- Übung 2

Angesichts der Polynome:

A (x) = 5 × ³ + ² × ² –7 × + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Wenden Sie die assoziative Eigenschaft der Addition an, um A (x) + B (x) + C (x) zu finden.

Lösung

Sie können die ersten beiden gruppieren und die dritte zum Ergebnis hinzufügen:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Sofort wird das Polynom C (x) hinzugefügt:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Der Leser kann überprüfen, ob das Ergebnis identisch ist, wenn es mit der Option A (x) + gelöst wird.

Verweise

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Mathe macht Spaß. Kommutative, assoziative und verteilende Gesetze. Wiederhergestellt von: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definition des assoziativen Eigentums. Wiederhergestellt von: mathwarehouse.com.
4. Wissenschaft. Assoziative und kommutative Eigenschaft von Addition und Multiplikation (mit Beispielen). Wiederhergestellt von: sciencing.com.
5. Wikipedia. Assoziatives Eigentum. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.