BEMERKENSWERTE PRODUKTE: ERKLÄRUNG UND ÜBUNGEN GELÖST - MATHE - 2025

Die bemerkenswerten Produkte sind algebraische Operationen, bei denen Multiplikationen von Polynomen ausgedrückt werden, die traditionell nicht gelöst werden müssen, aber mit Hilfe bestimmter Regeln die Ergebnisse derselben gefunden werden können.

Polynome werden mit Ja multipliziert, daher ist es möglich, dass sie eine große Anzahl von Begriffen und Variablen haben. Um den Prozess zu verkürzen, werden die bemerkenswerten Produktregeln verwendet, die eine Multiplikation ermöglichen, ohne Term für Term gehen zu müssen.

Bemerkenswerte Produkte und Beispiele

Jedes bemerkenswerte Produkt ist eine Formel, die sich aus einer Faktorisierung ergibt, die aus Polynomen verschiedener Begriffe wie Binomen oder Trinomen besteht, die als Faktoren bezeichnet werden.

Faktoren sind die Basis einer Potenz und haben einen Exponenten. Wenn die Faktoren multipliziert werden, müssen die Exponenten addiert werden.

Es gibt mehrere bemerkenswerte Produktformeln, einige werden je nach Polynomen häufiger verwendet als andere, und sie sind die folgenden:

Binomial im Quadrat

Es ist die Multiplikation eines Binomials für sich, ausgedrückt als Potenz, bei der die Begriffe addiert oder subtrahiert werden:

zu. Quadratsummen-Binomial: Es entspricht dem Quadrat des ersten Terms plus dem doppelten Produkt der Terme plus dem Quadrat des zweiten Terms. Es wird wie folgt ausgedrückt:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

In der folgenden Abbildung sehen Sie, wie sich das Produkt gemäß der oben genannten Regel entwickelt. Das Ergebnis heißt Trinom eines perfekten Quadrats.

Beispiel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Beispiel 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ² .

b. Binomial einer quadratischen Subtraktion: Es gilt die gleiche Regel des Binomials einer Summe, nur in diesem Fall ist der zweite Term negativ. Die Formel lautet wie folgt:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ² .

Beispiel 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Produkt konjugierter Binome

Zwei Binome werden konjugiert, wenn die zweiten Terme jeweils unterschiedliche Vorzeichen haben, dh der erste ist positiv und der zweite negativ oder umgekehrt. Es wird gelöst, indem jedes Monom quadriert und subtrahiert wird. Die Formel lautet wie folgt:

(a + b) _* (a - b)

In der folgenden Abbildung wird das Produkt zweier konjugierter Binome entwickelt, wobei beobachtet wird, dass das Ergebnis eine Differenz der Quadrate ist.

Beispiel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ² )

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ² .

Produkt zweier Binome mit einem gemeinsamen Begriff

Es ist eines der komplexesten und selten verwendeten bemerkenswerten Produkte, da es sich um eine Multiplikation von zwei Binomen handelt, die einen gemeinsamen Begriff haben. Die Regel besagt Folgendes:

• Das Quadrat des gemeinsamen Begriffs.
• Plus die Summe der nicht gebräuchlichen Begriffe und multiplizieren Sie sie dann mit dem gemeinsamen Begriff.
• Plus die Summe der Multiplikation der Begriffe, die nicht üblich sind.

Es wird in der Formel (x + a) _* (x + b) dargestellt und wie im Bild gezeigt entwickelt. Das Ergebnis ist ein nicht perfektes quadratisches Trinom.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Es besteht die Möglichkeit, dass der zweite Term (der andere Term) negativ ist und seine Formel wie folgt lautet: (x + a) _* (x - b).

Beispiel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Es kann auch vorkommen, dass beide Begriffe negativ sind. Seine Formel lautet: (x - a) _* (x - b).

Beispiel 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Quadratisches Polynom

In diesem Fall gibt es mehr als zwei Terme, und um sie zu entwickeln, wird jeder quadriert und zusammen mit der doppelten Multiplikation eines Terms mit einem anderen addiert. seine Formel lautet: (a + b + c) ² und das Ergebnis der Operation ist ein quadratisches Trinom.

Beispiel 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial gewürfelt

Es ist ein bemerkenswert komplexes Produkt. Um es zu entwickeln, wird das Binom wie folgt mit seinem Quadrat multipliziert:

zu. Für das Binomialwürfel einer Summe:

• Der Würfel des ersten Terms plus das Dreifache des Quadrats des ersten Terms multipliziert mit dem zweiten.
• Plus das Dreifache des ersten Terms, mal das zweite Quadrat.
• Plus der Würfel des zweiten Terms.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ² )

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ .

Beispiel 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. Für das Binomialwürfel einer Subtraktion:

• Der Würfel des ersten Terms minus dem dreifachen Quadrat des ersten Terms mal dem zweiten.
• Plus das Dreifache des ersten Terms, mal das zweite Quadrat.
• Abzüglich des Würfels der zweiten Amtszeit.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ² )

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ .

Beispiel 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Würfel eines Trinoms

Es wird entwickelt, indem es mit seinem Quadrat multipliziert wird. Es ist ein sehr umfangreiches, bemerkenswertes Produkt, da Sie drei Begriffe in Würfeln haben, plus dreimal jedes Quadrat im Quadrat, multipliziert mit jedem der Begriffe, plus das Sechsfache des Produkts der drei Begriffe. Besser gesehen:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc.

Beispiel 1

Gelöste Übungen bemerkenswerter Produkte

Übung 1

Erweitern Sie den folgenden Binomialwürfel: (4x - 6) ³ .

Lösung

Denken Sie daran, dass ein Binomialwürfel gleich dem ersten Term ist, minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten Terms mal dem zweiten. plus das Dreifache des ersten Terms, multipliziert mit dem zweiten Quadrat, minus dem Würfel des zweiten Terms.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ² ) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Übung 2

Entwickeln Sie das folgende Binomial: (x + 3) (x + 8).

Lösung

Es gibt ein Binomial, in dem es einen gemeinsamen Term gibt, nämlich x, und der zweite Term ist positiv. Um es zu entwickeln, müssen Sie nur den gemeinsamen Begriff plus die Summe der nicht gemeinsamen Begriffe (3 und 8) quadrieren und sie dann mit dem gemeinsamen Begriff plus der Summe der Multiplikation der nicht gemeinsamen Begriffe multiplizieren.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

Verweise

1. Angel, AR (2007). Elementare Algebra. Pearson Ausbildung ,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
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4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementare und mittlere Algebra: Ein kombinierter Ansatz. Florida: Lernen einbinden.
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