MULTIPLIKATIVES PRINZIP: ZÄHLTECHNIKEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Das multiplikative Prinzip ist eine Technik, mit der Zählprobleme gelöst werden, um die Lösung zu finden, ohne die Elemente auflisten zu müssen. Es ist auch als Grundprinzip der kombinatorischen Analyse bekannt. Es basiert auf einer sukzessiven Multiplikation, um zu bestimmen, wie ein Ereignis auftreten kann.

Dieses Prinzip besagt, dass, wenn eine Entscheidung (d ₁ ) auf n Arten und eine andere Entscheidung (d ₂ ) auf m Arten getroffen werden kann, die Gesamtzahl der Arten, auf die Entscheidungen d ₁ und d ₂ getroffen werden können, gleich ist von n _* m multiplizieren . Nach dem Prinzip wird jede Entscheidung nacheinander getroffen: Anzahl der Wege = N _{1 *} N ₂ … _* N _x Wege.

Beispiele

Beispiel 1

Paula plant, mit ihren Freunden ins Kino zu gehen und die Kleidung auszuwählen, die sie tragen wird. Ich trenne 3 Blusen und 2 Röcke. Wie viele Arten kann sich Paula anziehen?

Lösung

In diesem Fall muss Paula zwei Entscheidungen treffen:

d ₁ = Wählen Sie zwischen 3 Blusen = n

d ₂ = Wähle zwischen 2 Röcken = m

Auf diese Weise Paula hat n _* m , Entscheidungen zu treffen oder verschiedene Möglichkeiten , sich zu kleiden.

n _* m = 3 _* 2 = 6 Entscheidungen.

Das multiplikative Prinzip ergibt sich aus der Baumdiagrammtechnik, bei der es sich um ein Diagramm handelt, das alle möglichen Ergebnisse in Beziehung setzt, so dass jedes eine endliche Anzahl von Malen auftreten kann.

Beispiel 2

Mario war sehr durstig und ging in die Bäckerei, um Saft zu kaufen. Luis kümmert sich um ihn und sagt ihm, dass es zwei Größen gibt: groß und klein; und vier Geschmacksrichtungen: Apfel, Orange, Zitrone und Traube. Auf wie viele Arten kann Mario den Saft auswählen?

Lösung

Im Diagramm ist zu sehen, dass Mario 8 verschiedene Möglichkeiten hat, den Saft auszuwählen, und dass dieses Ergebnis wie im multiplikativen Prinzip durch Multiplizieren von n _* m erhalten wird. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie anhand dieses Diagramms sehen können, wie Mario den Saft auswählt.

Wenn andererseits die Anzahl der möglichen Ergebnisse sehr groß ist, ist es praktischer, das multiplikative Prinzip zu verwenden.

Zähltechniken

Zähltechniken sind Methoden, die verwendet werden, um eine direkte Zählung durchzuführen, und kennen somit die Anzahl möglicher Anordnungen, die die Elemente einer gegebenen Menge haben können. Diese Techniken basieren auf mehreren Prinzipien:

Additionsprinzip

Dieses Prinzip besagt, dass, wenn zwei Ereignisse m und n nicht gleichzeitig auftreten können, die Anzahl der Arten, auf die das erste oder zweite Ereignis auftreten kann, die Summe von m + n ist:

Anzahl der Formen = m + n… + x verschiedene Formen.

Beispiel

Antonio möchte eine Reise machen, entscheidet aber nicht, welches Ziel; Bei der Southern Tourism Agency bieten sie Ihnen eine Aktion für Reisen nach New York oder Las Vegas an, während die Eastern Tourism Agency eine Reise nach Frankreich, Italien oder Spanien empfiehlt. Wie viele verschiedene Reisealternativen bietet Ihnen Antonio an?

Lösung

Mit der Southern Tourism Agency hat Antonio 2 Alternativen (New York oder Las Vegas), während er mit der Eastern Tourism Agency 3 Optionen hat (Frankreich, Italien oder Spanien). Die Anzahl der verschiedenen Alternativen ist:

Anzahl der Alternativen = m + n = 2 + 3 = 5 Alternativen.

Permutationsprinzip

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, aus denen ein Satz besteht, gezielt zu ordnen, um das Zählen aller möglichen Anordnungen zu erleichtern, die mit den Elementen getroffen werden können.

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen auf einmal wird dargestellt als:

_n P _n = n!

Beispiel

Vier Freunde möchten ein Foto machen und wissen, wie viele verschiedene Arten sie arrangiert werden können.

Lösung

Sie möchten wissen, auf welche Weise die 4 Personen positioniert werden können, um das Bild aufzunehmen. Sie müssen also:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 verschiedene Formen.

Wenn die Anzahl der Permutationen von n verfügbaren Elementen von Teilen einer Menge genommen wird, die aus r Elementen besteht, wird dies wie folgt dargestellt:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Beispiel

In einem Klassenzimmer gibt es 10 Sitzplätze. Wenn 4 Schüler an der Klasse teilnehmen, auf wie viele verschiedene Arten können die Schüler die Positionen besetzen?

Lösung

Wir haben, dass die Gesamtzahl der Stühle 10 beträgt und von diesen nur 4 verwendet werden. Die angegebene Formel wird angewendet, um die Anzahl der Permutationen zu bestimmen:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 Möglichkeiten, die Positionen zu besetzen.

Es gibt Fälle, in denen einige der verfügbaren Elemente eines Satzes wiederholt werden (sie sind gleich). Um die Anzahl der Arrays zu berechnen, die alle Elemente gleichzeitig aufnehmen, wird die folgende Formel verwendet:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Beispiel

Wie viele verschiedene Wörter mit vier Buchstaben können aus dem Wort "Wolf" gebildet werden?

Lösung

In diesem Fall gibt es 4 Elemente (Buchstaben), von denen zwei genau gleich sind. Bei Anwendung der angegebenen Formel ist bekannt, wie viele verschiedene Wörter sich ergeben:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 verschiedene Wörter.

Kombinationsprinzip

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, aus denen ein Set besteht, ohne eine bestimmte Reihenfolge anzuordnen. Wenn Sie beispielsweise eine XYZ-Anordnung haben, ist diese unter anderem mit den ZXY-, YZX- und ZYX-Anordnungen identisch. Dies liegt daran, dass die Elemente jeder Anordnung dieselben sind, obwohl sie nicht in derselben Reihenfolge sind.

Wenn einige Elemente (r) aus der Menge (n) entnommen werden, ist das Prinzip der Kombination durch die folgende Formel gegeben:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Beispiel

In einem Geschäft verkaufen sie 5 verschiedene Schokoladensorten. Wie viele verschiedene Arten können 4 Pralinen ausgewählt werden?

Lösung

In diesem Fall müssen 4 Pralinen aus den 5 Sorten ausgewählt werden, die sie im Geschäft verkaufen. Die Reihenfolge, in der sie ausgewählt werden, spielt keine Rolle, und außerdem kann eine Schokoladensorte mehr als zweimal ausgewählt werden. Wenn Sie die Formel anwenden, müssen Sie:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 verschiedene Möglichkeiten, 4 Pralinen auszuwählen.

Wenn alle Elemente (r) der Menge (n) genommen sind, ist das Kombinationsprinzip durch die folgende Formel gegeben:

_n C _{n =} n!

Gelöste Übungen

Übung 1

Es gibt eine Baseballmannschaft mit 14 Mitgliedern. Auf wie viele Arten können 5 Positionen für ein Spiel zugewiesen werden?

Lösung

Das Set besteht aus 14 Elementen und Sie möchten 5 bestimmte Positionen zuweisen. das heißt, Ordnung ist wichtig. Die Permutationsformel wird angewendet, wenn n verfügbare Elemente von Teilen einer Menge genommen werden, die durch r gebildet wird.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Wobei n = 14 und r = 5. Es wird in der Formel eingesetzt:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 Möglichkeiten, die 9 Spielpositionen zuzuweisen.

Übung 2

Wenn eine 9-köpfige Familie auf eine Reise geht und ihre Tickets mit aufeinanderfolgenden Sitzplätzen kauft, wie viele verschiedene Möglichkeiten können sie sich setzen?

Lösung

Es sind ungefähr 9 Elemente, die nacheinander 9 Sitze einnehmen.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 verschiedene Sitzweisen.

Verweise

1. Hopkins, B. (2009). Ressourcen für den Unterricht in diskreter Mathematik: Unterrichtsprojekte, Geschichtsmodule und Artikel.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrete Mathematik. Pearson Ausbildung ,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Endlicher und diskreter mathematischer Problemlöser. Herausgeber der Research & Education Association.
4. Padró, FC (2001). Diskrete Mathematik. Politèc. von Katalonien.
5. Steiner, E. (2005). Mathematik für angewandte Wissenschaften. Reverte.