ADDITIVES PRINZIP: WORAUS ES BESTEHT UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Das additive Prinzip ist eine Wahrscheinlichkeitszählungstechnik, mit der gemessen werden kann, auf wie viele Arten eine Aktivität ausgeführt werden kann, wobei wiederum mehrere Alternativen ausgeführt werden müssen, von denen jeweils nur eine ausgewählt werden kann. Ein klassisches Beispiel hierfür ist, wenn Sie eine Transportlinie auswählen möchten, um von einem Ort zum anderen zu gelangen.

In diesem Beispiel entsprechen die Alternativen allen möglichen Transportlinien, die die gewünschte Route abdecken, entweder Luft, Meer oder Land. Wir können nicht mit zwei Transportmitteln gleichzeitig an einen Ort gehen; wir müssen nur einen auswählen.

Das additive Prinzip besagt, dass die Anzahl der Wege, die wir für diese Reise benötigen, der Summe aller Alternativen (Transportmittel) entspricht, die es gibt, um zum gewünschten Ort zu gelangen. Dies schließt sogar die Transportmittel ein, die irgendwo einen Zwischenstopp einlegen (oder Orte) dazwischen.

Natürlich werden wir im vorherigen Beispiel immer die bequemste Alternative wählen, die unseren Möglichkeiten am besten entspricht, aber wahrscheinlich ist es sehr wichtig zu wissen, auf wie viele Arten eine Veranstaltung durchgeführt werden kann.

Wahrscheinlichkeit

Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit das Gebiet der Mathematik, das für die Untersuchung von Ereignissen oder Phänomenen und zufälligen Experimenten verantwortlich ist.

Ein Experiment oder ein zufälliges Phänomen ist eine Aktion, die nicht immer zu denselben Ergebnissen führt, selbst wenn sie unter denselben Anfangsbedingungen durchgeführt wird, ohne dass etwas an der Anfangsprozedur geändert wird.

Ein klassisches und einfaches Beispiel, um zu verstehen, woraus ein zufälliges Experiment besteht, ist das Werfen einer Münze oder eines Würfels. Die Aktion wird immer die gleiche sein, aber wir werden zum Beispiel nicht immer "Köpfe" oder "Sechs" bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit ist dafür verantwortlich, Techniken bereitzustellen, mit denen bestimmt werden kann, wie oft ein bestimmtes zufälliges Ereignis auftreten kann. Die Hauptabsicht besteht unter anderem darin, mögliche zukünftige Ereignisse vorherzusagen, die ungewiss sind.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A auftritt, eine reelle Zahl zwischen Null und Eins; das heißt, eine Zahl, die zum Intervall gehört. Es wird mit P (A) bezeichnet.

Wenn P (A) = 1 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A 100%, und wenn es Null ist, besteht keine Wahrscheinlichkeit, dass es auftritt. Der Probenraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, die durch ein zufälliges Experiment erzielt werden können.

Je nach Fall gibt es mindestens vier Arten oder Konzepte von Wahrscheinlichkeiten: klassische Wahrscheinlichkeit, frequentistische Wahrscheinlichkeit, subjektive Wahrscheinlichkeit und axiomatische Wahrscheinlichkeit. Jeder konzentriert sich auf verschiedene Fälle.

Die klassische Wahrscheinlichkeit umfasst den Fall, in dem der Probenraum eine endliche Anzahl von Elementen aufweist.

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses A die Anzahl der verfügbaren Alternativen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten (dh die Anzahl der Elemente in Satz A), geteilt durch die Anzahl der Elemente im Probenraum.

Hierbei ist zu berücksichtigen, dass alle Elemente des Probenraums gleich wahrscheinlich sein müssen (z. B. als nicht veränderte Gegebenheit, bei der die Wahrscheinlichkeit, eine der sechs Zahlen zu erhalten, gleich ist).

Wie groß ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfelwurf eine ungerade Zahl erhält? In diesem Fall würde die Menge A aus allen ungeraden Zahlen zwischen 1 und 6 bestehen, und der Probenraum würde aus allen Zahlen von 1 bis 6 bestehen. Also hat A 3 Elemente und der Probenraum hat 6. Also Daher ist P (A) = 3/6 = 1/2.

Was ist das additive Prinzip?

Wie bereits erwähnt, misst die Wahrscheinlichkeit, wie oft ein bestimmtes Ereignis auftritt. Um diese Häufigkeit bestimmen zu können, ist es wichtig zu wissen, auf wie viele Arten dieses Ereignis ausgeführt werden kann. Das additive Prinzip ermöglicht es uns, diese Berechnung im Einzelfall durchzuführen.

Das additive Prinzip legt Folgendes fest: Wenn A ein Ereignis ist, bei dem „a“ ausgeführt wird, und B ein anderes Ereignis ist, bei dem „b“ ausgeführt wird, und wenn zusätzlich nur A oder B auftreten können und nicht beide gleichzeitig Gleichzeitig sind die zu realisierenden Wege A oder B (A deB) a + b.

Im Allgemeinen wird dies für die Vereinigung einer endlichen Anzahl von Mengen angegeben (größer oder gleich 2).

Beispiele

Erstes Beispiel

Wenn eine Buchhandlung Bücher über Literatur, Biologie, Medizin, Architektur und Chemie verkauft, von denen es 15 verschiedene Arten von Büchern über Literatur, 25 über Biologie, 12 über Medizin, 8 über Architektur und 10 über Chemie gibt, wie viele Möglichkeiten hat eine Person? ein Architekturbuch oder ein Biologiebuch wählen?

Das additive Prinzip besagt, dass die Anzahl der Optionen oder Möglichkeiten, diese Wahl zu treffen, 8 + 25 = 33 beträgt.

Dieses Prinzip kann auch für den Fall angewendet werden, dass es sich um ein einzelnes Ereignis handelt, für das wiederum verschiedene Alternativen durchgeführt werden müssen.

Angenommen, Sie möchten eine bestimmte Aktivität oder ein bestimmtes Ereignis A ausführen und es gibt mehrere Alternativen dafür, z. B. n.

Die erste Alternative hat wiederum ₁ Möglichkeiten, die zweite Alternative hat _zwei Möglichkeiten, und so weiter kann die alternative Nummer n auf _n Arten durchgeführt werden.

Das additive Prinzip besagt, dass Ereignis A auf ₁ + bis ₂ +… + auf _n Arten durchgeführt werden kann.

Zweites Beispiel

Angenommen, eine Person möchte ein Paar Schuhe kaufen. Als er im Schuhgeschäft ankommt, findet er nur zwei verschiedene Modelle seiner Schuhgröße.

Es gibt zwei verfügbare Farben von einer und fünf verfügbare Farben von der anderen. Auf wie viele Arten muss diese Person diesen Kauf tätigen? Nach dem additiven Prinzip lautet die Antwort 2 + 5 = 7.

Das additive Prinzip sollte verwendet werden, wenn Sie die Art und Weise berechnen möchten, in der das eine oder das andere Ereignis ausgeführt wird, nicht beide gleichzeitig.

Um die verschiedenen Möglichkeiten zu berechnen, ein Ereignis zusammen ("und") mit einem anderen auszuführen - das heißt, dass beide Ereignisse gleichzeitig auftreten müssen - wird das multiplikative Prinzip verwendet.

Das additive Prinzip kann auch als Wahrscheinlichkeit wie folgt interpretiert werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A oder ein Ereignis B auftritt, die mit P (A∪B) bezeichnet wird, in dem Wissen, dass A nicht gleichzeitig mit B auftreten kann, ist gegeben durch P (A∪B) = P (A) + P (B).

Drittes Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen eines Würfels eine 5 oder beim Werfen einer Münze einen Kopf zu bekommen?

Wie oben gesehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine beliebige Zahl zu erhalten, im Allgemeinen 1/6.

Insbesondere beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu erhalten, ebenfalls 1/6. Ebenso beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer Münze Köpfe zu bekommen, 1/2. Daher lautet die Antwort auf die vorherige Frage P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

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