KONVEXES POLYGON: DEFINITION, ELEMENTE, EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Ein konvexes Polygon ist eine geometrische Figur, die in einer Ebene enthalten ist, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie alle Diagonalen im Inneren hat und ihre Winkel weniger als 180 ° betragen. Zu seinen Eigenschaften gehören:

1) Es besteht aus n aufeinanderfolgenden Segmenten, wobei das letzte der Segmente das erste verbindet. 2) Keines der Segmente schneidet sich so, dass die Ebene in einem inneren Bereich und einem äußeren Bereich begrenzt wird. 3) Jeder Winkel im Innenbereich ist streng kleiner als ein ebener Winkel.

Abbildung 1. Die Polygone 1, 2 und 6 sind konvex. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Eine einfache Methode, um festzustellen, ob ein Polygon konvex ist oder nicht, besteht darin, die Linie zu betrachten, die durch eine seiner Seiten verläuft und zwei Halbebenen bestimmt. Wenn sich in jeder Linie, die durch eine Seite verläuft, die anderen Seiten des Polygons in derselben Halbebene befinden, handelt es sich um ein konvexes Polygon.

Elemente eines Polygons

Jedes Polygon besteht aus folgenden Elementen:

- Seiten

- Eckpunkte

Die Seiten sind jeweils die aufeinanderfolgenden Segmente, aus denen das Polygon besteht. In einem Polygon kann keines der Segmente, aus denen es besteht, ein offenes Ende haben. In diesem Fall würde es eine polygonale Linie geben, aber kein Polygon.

Eckpunkte sind die Verbindungspunkte zweier aufeinanderfolgender Segmente. In einem Polygon entspricht die Anzahl der Eckpunkte immer der Anzahl der Seiten.

Wenn sich zwei Seiten oder Segmente eines Polygons schneiden, haben Sie ein gekreuztes Polygon. Der Kreuzungspunkt wird nicht als Scheitelpunkt betrachtet. Ein Kreuzpolygon ist ein nicht konvexes Polygon. Sternpolygone sind Kreuzpolygone und daher nicht konvex.

Wenn ein Polygon alle Seiten gleich lang ist, haben wir ein reguläres Polygon. Alle regulären Polygone sind konvex.

Konvexe und nicht konvexe Polygone

Abbildung 1 zeigt mehrere Polygone, von denen einige konvex sind und andere nicht. Analysieren wir sie:

Die Zahl 1 ist ein dreiseitiges Polygon (Dreieck) und alle Innenwinkel sind kleiner als 180 °, daher ist es ein konvexes Polygon. Alle Dreiecke sind konvexe Polygone.

Die Zahl 2 ist ein vierseitiges Polygon (Viereck), bei dem sich keine der Seiten schneidet und jeder Innenwinkel weniger als 180 ° beträgt. Es ist dann ein konvexes Polygon mit vier Seiten (konvexes Viereck).

Andererseits ist die Zahl 3 ein Polygon mit vier Seiten, aber einer seiner Innenwinkel ist größer als 180º, so dass es die Konvexitätsbedingung nicht erfüllt. Das heißt, es ist ein nicht konvexes vierseitiges Polygon, das als konkaves Viereck bezeichnet wird.

Die Zahl 4 ist ein Polygon mit vier Segmenten (Seiten), von denen sich zwei schneiden. Die vier Innenwinkel betragen weniger als 180 °, aber da sich zwei Seiten schneiden, handelt es sich um ein nicht konvex gekreuztes Polygon (gekreuztes Viereck).

Ein anderer Fall ist die Zahl 5. Dies ist ein Polygon mit fünf Seiten, aber da einer seiner Innenwinkel größer als 180º ist, haben wir dann ein konkaves Polygon.

Schließlich hat Nummer 6, die ebenfalls fünf Seiten hat, alle Innenwinkel weniger als 180 °, so dass es sich um ein konvexes Polygon mit fünf Seiten handelt (konvexes Fünfeck).

Eigenschaften des konvexen Polygons

1- Ein nicht gekreuztes Polygon oder einfaches Polygon teilt die Ebene, die es enthält, in zwei Bereiche. Der innere Bereich und der äußere Bereich, wobei das Polygon die Grenze zwischen den beiden Bereichen ist.

Wenn das Polygon jedoch zusätzlich konvex ist, haben wir einen Innenbereich, der einfach verbunden ist. Wenn Sie also zwei beliebige Punkte aus dem Innenbereich entnehmen, kann es immer durch ein Segment verbunden werden, das vollständig zum Innenbereich gehört.

Abbildung 2. Ein konvexes Polygon wird einfach verbunden, ein konkaves nicht. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

2- Jeder Innenwinkel eines konvexen Polygons ist kleiner als ein ebener Winkel (180 °).

3- Alle inneren Punkte eines konvexen Polygons gehören immer zu einer der Halbebenen, die durch die Linie definiert sind, die durch zwei aufeinanderfolgende Eckpunkte verläuft.

4- In einem konvexen Polygon sind alle Diagonalen vollständig im inneren polygonalen Bereich enthalten.

5- Die inneren Punkte eines konvexen Polygons gehören vollständig zu dem konvexen Winkelsektor, der durch jeden inneren Winkel definiert ist.

6- Jedes Polygon, in dem sich alle seine Eckpunkte auf einem Umfang befinden, ist ein konvexes Polygon, das als zyklisches Polygon bezeichnet wird.

7- Jedes zyklische Polygon ist konvex, aber nicht jedes konvexe Polygon ist zyklisch.

8- Jedes nicht gekreuzte Polygon (einfaches Polygon), dessen Seiten alle gleich lang sind, ist konvex und wird als reguläres Polygon bezeichnet.

Diagonalen und Winkel in konvexen Polygonen

9- Die Gesamtzahl N der Diagonalen eines konvexen Polygons mit n Seiten ergibt sich aus der folgenden Formel:

N = ½ n (n - 3)

Beweis: In einem konvexen Polygon mit n Seiten jedes Scheitelpunkts werden n - 3 Diagonalen gezeichnet, da der Scheitelpunkt selbst und die beiden benachbarten ausgeschlossen sind. Da es n Eckpunkte gibt, werden insgesamt n (n - 2) Diagonalen gezeichnet, aber jede Diagonale wurde zweimal gezeichnet, sodass die Anzahl der Diagonalen (ohne Wiederholung) n (n - 2) / 2 beträgt.

10- Die Summe S der Innenwinkel eines konvexen Polygons mit n Seiten ergibt sich aus folgender Beziehung:

S = (n - 2) 180º

Beispiele

Beispiel 1

Das zyklische Sechseck ist ein Polygon mit sechs Seiten und sechs Eckpunkten, aber alle Eckpunkte befinden sich auf demselben Umfang. Jedes zyklische Polygon ist konvex.

Zyklisches Sechseck.

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Wert der Innenwinkel eines regulären Enegons.

Lösung: Der Enegon ist ein 9-seitiges Polygon, aber wenn er auch regelmäßig ist, sind alle Seiten und Winkel gleich.

Die Summe aller Innenwinkel eines 9-seitigen Polygons ist:

S = (9 - 2) 180º = 7 · 180º = 1260º

Da es jedoch 9 Innenwinkel mit dem gleichen Maß α gibt, muss die folgende Gleichheit erfüllt sein:

S = 9 α = 1260º

Daraus folgt, dass das Maß α jedes Innenwinkels des regulären Enegons ist:

α = 1260º / 9 = 140º