SECHSECKIGE PYRAMIDE: DEFINITION, EIGENSCHAFTEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Eine sechseckige Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Sechseck, der Basis, und sechs Dreiecken besteht, die von den Eckpunkten des Sechsecks ausgehen und sich an einem Punkt außerhalb der Ebene treffen, die die Basis enthält. Dieser Punkt der Parallelität wird als Scheitelpunkt oder Scheitelpunkt der Pyramide bezeichnet.

Ein Polyeder ist ein geschlossener dreidimensionaler geometrischer Körper, dessen Flächen ebene Figuren sind. Ein Sechseck ist eine geschlossene ebene Figur (Polygon), die aus sechs Seiten besteht. Wenn alle sechs Seiten gleich lang sind und gleiche Winkel bilden, spricht man von Regelmäßigkeit; sonst ist es unregelmäßig.

Definition

Eine sechseckige Pyramide enthält sieben Flächen, die Basis und die sechs seitlichen Dreiecke, von denen die Basis die einzige ist, die den Scheitelpunkt nicht berührt.

Die Pyramide soll gerade sein, wenn alle seitlichen Dreiecke gleichschenklig sind. In diesem Fall ist die Höhe der Pyramide das Segment, das vom Scheitelpunkt zur Mitte des Sechsecks verläuft.

Im Allgemeinen ist die Höhe einer Pyramide der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und der Ebene der Basis. Die Pyramide soll schräg sein, wenn nicht alle seitlichen Dreiecke gleichschenklig sind.

Wenn das Sechseck regelmäßig ist und die Pyramide auch gerade ist, spricht man von einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Wenn das Sechseck unregelmäßig oder die Pyramide schräg ist, spricht man von einer unregelmäßigen sechseckigen Pyramide.

Eigenschaften

Konkav oder konvex

Ein Polygon ist konvex, wenn das Maß aller Innenwinkel weniger als 180 Grad beträgt. Geometrisch entspricht dies der Aussage, dass bei einem Punktpaar innerhalb des Polygons das Liniensegment, das sie verbindet, im Polygon enthalten ist. Andernfalls wird das Polygon als konkav bezeichnet.

Wenn das Sechseck konvex ist, spricht man von einer konvexen sechseckigen Pyramide. Andernfalls handelt es sich um eine konkave sechseckige Pyramide.

Kanten

Die Kanten einer Pyramide sind die Seiten der sechs Dreiecke, aus denen sie besteht.

Apothema

Das Apothem der Pyramide ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und den Seiten der Basis der Pyramide. Diese Definition ist nur dann sinnvoll, wenn die Pyramide regelmäßig ist. Wenn sie unregelmäßig ist, variiert dieser Abstand je nach dem betrachteten Dreieck.

Andererseits entspricht das Apothem in regulären Pyramiden der Höhe jedes Dreiecks (da jedes gleichschenklig ist) und ist in allen Dreiecken gleich.

Das Apothem der Basis ist der Abstand zwischen einer der Seiten der Basis und ihrer Mitte. Aus der Art, wie es definiert ist, ist das Apothem der Basis auch nur in regulären Pyramiden sinnvoll.

Bezeichnungen

Die Höhe einer sechseckigen Pyramide wird mit h bezeichnet , das Apothem der Basis (im regulären Fall) mit APb und das Apothem der Pyramide (auch im regulären Fall) mit AP .

Ein Merkmal regelmäßiger hexagonaler Pyramiden ist, dass h , APb und AP mit der Hypotenuse AP und den Beinen h und APb ein rechtwinkliges Dreieck bilden . Nach dem Satz von Pythagoras haben wir AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Das Bild oben zeigt eine reguläre Pyramide.

Wie berechnet man die Fläche? Formeln

Stellen Sie sich eine regelmäßige sechseckige Pyramide vor. Sei A das Maß für jede Seite des Sechsecks. Dann entspricht A dem Maß der Basis jedes Dreiecks der Pyramide und daher den Kanten der Basis.

Die Fläche eines Polygons ist das Produkt aus Umfang (Summe der Seiten) und Apothem der Basis, geteilt durch zwei. Im Falle eines Sechsecks wäre es 3 * A * APb.

Es ist ersichtlich, dass die Fläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide dem Sechsfachen der Fläche jedes Dreiecks der Pyramide plus der Fläche der Basis entspricht. Wie zuvor erwähnt, entspricht die Höhe jedes Dreiecks dem Apothem der Pyramide AP.

Daher ist die Fläche jedes Dreiecks in der Pyramide durch A * AP / 2 gegeben. Somit beträgt die Fläche einer regulären hexagonalen Pyramide 3 * A * (APb + AP), wobei A eine Kante der Basis ist, APb das Apothem der Basis und AP das Apothem der Pyramide ist.

Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden

Im Fall einer unregelmäßigen hexagonalen Pyramide gibt es keine direkte Formel zur Berechnung der Fläche wie im vorherigen Fall. Dies liegt daran, dass jedes Dreieck in der Pyramide eine andere Fläche haben wird.

In diesem Fall muss die Fläche jedes Dreiecks separat und die Fläche der Basis berechnet werden. Dann ist die Fläche der Pyramide die Summe aller zuvor berechneten Flächen.

Wie berechnet man das Volumen? Formeln

Das Volumen einer Pyramide mit regelmäßiger sechseckiger Form ist das Produkt aus der Höhe der Pyramide und der Fläche der Basis geteilt durch drei. Somit ist das Volumen einer regulären hexagonalen Pyramide durch A * APb * h gegeben, wobei A eine Kante der Basis ist, APb das Apothem der Basis ist und h die Höhe der Pyramide ist.

Berechnung in unregelmäßigen hexagonalen Pyramiden

Analog zur Fläche gibt es bei einer unregelmäßigen hexagonalen Pyramide keine direkte Formel zur Berechnung des Volumens, da die Kanten der Basis nicht das gleiche Maß haben, da es sich um ein unregelmäßiges Polygon handelt.

In diesem Fall muss die Fläche der Basis separat berechnet werden und das Volumen beträgt (h * Fläche der Basis) / 3.

Beispiel

Finden Sie die Fläche und das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide mit einer Höhe von 3 cm, deren Basis ein reguläres Sechseck von 2 cm auf jeder Seite ist und deren Apothem 4 cm beträgt.

Lösung

Zunächst muss das Apothem der Pyramide (AP) berechnet werden. Dies sind die einzigen fehlenden Daten. Auf dem Bild oben ist zu sehen, dass die Höhe der Pyramide (3 cm) und das Apothem der Basis (4 cm) ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Daher wird zur Berechnung des Apothems der Pyramide der Satz von Pythagoras verwendet:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Unter Verwendung der oben geschriebenen Formel folgt also, dass die Fläche gleich 3 · 2 · (4 + 5) = 54 cm² ist.

Andererseits wird unter Verwendung der Volumenformel erhalten, dass das Volumen der gegebenen Pyramide 2 · 4 · 3 = 24 cm³ beträgt.

Verweise

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