UMFANG DES KREISES: WIE MAN ES HERAUSHOLT UND FORMELN, GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Der Umfang des Kreises ist die Menge der Punkte, die den Umriss eines Kreises bilden, und wird auch als Länge des Umfangs bezeichnet. Dies hängt vom Radius ab, da ein größerer Umfang offensichtlich eine größere Kontur aufweist.

Sei P der Umfang eines Kreises und R sein Radius, dann können wir P mit der folgenden Gleichung berechnen:

Der Umfang des Kreises (in diesem Fall eine Pizza) hängt von seinem Radius ab. Quelle: Pixabay.

Wobei π eine reelle Zahl ist (lesen Sie „pi“), die ungefähr 3,1416 wert ist… Die Ellipse beruht auf der Tatsache, dass π unendliche Dezimalstellen hat. Daher ist es bei den Berechnungen erforderlich, den Wert zu runden.

Für die meisten Anwendungen reicht es jedoch aus, den hier angegebenen Betrag zu verwenden oder alle Dezimalstellen zu verwenden, die der Taschenrechner, mit dem Sie arbeiten, zurückgibt.

Wenn anstelle des Radius der Durchmesser D bevorzugt wird, von dem wir wissen, dass er doppelt so groß ist wie der Radius, wird der Umfang wie folgt ausgedrückt:

Da der Umfang eine Länge ist, muss er je nach dem bevorzugten System immer in Einheiten wie Metern, Zentimetern, Fuß, Zoll und mehr angegeben werden.

Umfänge und Kreise

Dies sind häufig Begriffe, die synonym verwendet werden, dh als Synonyme. Aber es kommt vor, dass es Unterschiede zwischen ihnen gibt.

Das Wort "Umfang" kommt aus dem Griechischen "Peri", was Kontur und "Meter" oder Maß bedeutet. Der Umfang ist der Umriss oder Umfang des Kreises. Formal ist es wie folgt definiert:

Der Kreis seinerseits ist wie folgt definiert:

Der Leser kann den subtilen Unterschied zwischen den beiden Konzepten erkennen. Der Umfang bezieht sich nur auf die Menge der Punkte an der Kante, während der Kreis die Menge der Punkte von der Kante nach innen ist, deren Umfang die Grenze ist.

Übungen d emostración des Umfangs des Kreises Berechnung

In den folgenden Übungen werden die oben beschriebenen Konzepte sowie einige andere, die so erläutert werden, wie sie erscheinen, in die Praxis umgesetzt. Wir werden von den einfachsten ausgehen und der Schwierigkeitsgrad wird schrittweise zunehmen.

- Übung 1

Finden Sie den Umfang und die Fläche des Kreises mit einem Radius von 5 cm.

Lösung

Die am Anfang angegebene Gleichung wird direkt angewendet:

Zur Berechnung der Fläche A wird folgende Formel verwendet:

- Übung 2

a) Finden Sie den Umfang und die Fläche des leeren Bereichs in der folgenden Abbildung. Der Mittelpunkt des schattierten Kreises liegt am roten Punkt, während der Mittelpunkt des weißen Kreises der grüne Punkt ist.

b) Wiederholen Sie den vorherigen Abschnitt für den schattierten Bereich.

Kreise für Übung 2. Quelle: F. Zapata.

Lösung

a) Der Radius des weißen Kreises beträgt 3 cm, daher wenden wir die gleichen Gleichungen wie in Übung 1 an:

b) Für den schattierten Kreis beträgt der Radius 6 cm, sein Umfang ist doppelt so groß wie in Abschnitt a) berechnet:

Und schließlich wird die Fläche des schattierten Bereichs wie folgt berechnet:

- Zuerst finden wir den Bereich des schattierten Kreises, als ob er vollständig wäre, den wir A 'nennen werden, wie folgt:

- Übung 3

Finden Sie den Bereich und den Umfang des schattierten Bereichs in der folgenden Abbildung:

Abbildung für Übung 3. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Berechnung der Fläche des schattierten Bereichs

Wir berechnen zuerst die Fläche des Kreissektors oder Keils zwischen den geraden Segmenten OA und OB und dem Kreissegment AB, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Dazu wird die folgende Gleichung verwendet, die uns die Fläche eines Kreissektors gibt, wobei der Radius R und der zentrale Winkel zwischen den Segmenten OA und OB bekannt sind, dh zwei der Radien des Umfangs:

Wobei αº der zentrale Winkel ist - es ist zentral, weil sein Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Umfangs ist - zwischen zwei Radien.

Schritt 1: Berechnen Sie die Fläche des Kreissektors

Auf diese Weise ist der in der Abbildung gezeigte Bereich des Sektors:

Schritt 2: Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks

Als nächstes berechnen wir die Fläche des weißen Dreiecks in Abbildung 3. Dieses Dreieck ist gleichseitig und seine Fläche ist:

Die Höhe ist die gepunktete rote Linie in Abbildung 4. Um sie zu finden, können Sie beispielsweise den Satz von Pythagoras verwenden. Aber es ist nicht der einzige Weg.

Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass das gleichseitige Dreieck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke unterteilt ist, deren Basis 4 cm beträgt:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Satz von Pythagoras erfüllt:

Schritt 3: Berechnung des schattierten Bereichs

Es reicht aus, die größere Fläche (die des Kreissektors) von der kleineren Fläche (die des gleichseitigen Dreiecks) zu subtrahieren: Ein _{schattierter Bereich} = 33,51 cm ² - 27,71 cm ² = 5,80 cm ² .

Berechnung des Umfangs des schattierten Bereichs

Der gesuchte Umfang ist die Summe der geradlinigen Seite von 8 cm und des Umfangsbogens AB. Der gesamte Umfang liegt nun bei 360 °, daher ist ein Bogen bei 60 ° ein Sechstel der gesamten Länge, von der wir wissen, dass sie 2.π.R beträgt:

Beim Einsetzen beträgt der Umfang des schattierten Bereichs:

Anwendungen

Der Umfang ist ebenso wie der Bereich ein sehr wichtiges Konzept in der Geometrie und mit vielen Anwendungen im täglichen Leben.

Künstler, Designer, Architekten, Ingenieure und viele andere Menschen nutzen den Umfang bei der Entwicklung ihrer Arbeit, insbesondere der eines Kreises, da die runde Form überall ist: von der Werbung über Lebensmittel bis hin zu Maschinen.

Umfang und Kreis gehören zu den am häufigsten verwendeten Geometrien. Quelle: Pixabay.

Um die Länge eines Umfangs direkt zu bestimmen, reicht es aus, ihn mit einem Faden oder einer Schnur zu umwickeln, diesen Faden dann zu verlängern und mit einem Maßband zu messen. Die andere Alternative besteht darin, den Radius oder Durchmesser des Kreises zu messen und eine der oben beschriebenen Formeln zu verwenden.

In der täglichen Arbeit wird das Konzept des Perimeters verwendet, wenn:

-Die geeignete Form wird für eine bestimmte Größe von Pizza oder Kuchen gewählt.

-Eine städtische Straße wird entworfen, indem die Größe eines Fläschchens berechnet wird, in dem sich Autos drehen können, um die Richtung zu ändern.

- Wir wissen, dass sich die Erde in einer ungefähr kreisförmigen Umlaufbahn um die Sonne dreht - tatsächlich sind Planetenbahnen nach Keplers Gesetzen elliptisch -, aber der Umfang ist für die meisten Planeten eine sehr gute Annäherung.

-Die geeignete Größe eines Rings wird ausgewählt, um in einem Online-Shop gekauft zu werden.

-Wir wählen einen Schraubenschlüssel der richtigen Größe, um eine Mutter zu lösen.

Und viele mehr.

Verweise

1. Kostenlose Mathematik-Tutorials. Fläche und Umfang eines Kreises - Geometrie-Rechner. Wiederhergestellt von: analyseemath.com.
2. Math Open Reference. Umfang, Umfang eines Kreises. Wiederhergestellt von: mathopenref.com.
3. Monterey Institute. Umfang und Fläche. Wiederhergestellt von: montereyinstitute.org.
4. Wissenschaft. So finden Sie den Umfang eines Kreises. Wiederhergestellt von: sciencing.com.
5. Wikipedia. Umfang. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.