PARALLELEPIPED: EIGENSCHAFTEN, TYPEN, FLÄCHE, VOLUMEN - MATHE - 2025

Ein Parallelepiped ist ein geometrischer Körper, der aus sechs Flächen besteht. Das Hauptmerkmal besteht darin, dass alle Flächen Parallelogramme sind und auch die gegenüberliegenden Flächen parallel zueinander sind. Es ist ein weit verbreitetes Polyeder in unserem täglichen Leben, da wir es in Schuhkartons, in der Form eines Ziegels, in der Form einer Mikrowelle usw. finden können.

Als Polyeder umschließt das Parallelepiped ein endliches Volumen und alle seine Flächen sind flach. Es ist Teil der Gruppe von Prismen, dh solchen Polyedern, in denen alle ihre Eckpunkte in zwei parallelen Ebenen enthalten sind.

Elemente des Parallelepipeds

Gesichter

Sie sind jeweils die Regionen, die durch Parallelogramme gebildet werden, die das Parallelepiped begrenzen. Ein Parallelepiped hat sechs Flächen, wobei jede Fläche vier benachbarte Flächen und eine gegenüberliegende hat. Außerdem ist jedes Gesicht parallel zu seinem Gegenteil.

Kanten

Sie sind die gemeinsame Seite zweier Gesichter. Insgesamt hat ein Parallelepiped zwölf Kanten.

Scheitel

Es ist der gemeinsame Punkt von drei Flächen, die zwei mal zwei nebeneinander liegen. Ein Parallelepiped hat acht Eckpunkte.

Diagonale

Bei zwei einander gegenüberliegenden Seiten eines Parallelepipeds können wir ein Liniensegment zeichnen, das vom Scheitelpunkt einer Seite zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt der anderen verläuft.

Dieses Segment ist als Diagonale des Parallelepipeds bekannt. Jedes Parallelepiped hat vier Diagonalen.

Center

Es ist der Punkt, an dem sich alle Diagonalen schneiden.

Eigenschaften des Parallelepipeds

Wie bereits erwähnt, hat dieser geometrische Körper zwölf Kanten, sechs Flächen und acht Eckpunkte.

In einem Parallelepiped können drei Sätze identifiziert werden, die durch vier Kanten gebildet werden, die parallel zueinander sind. Darüber hinaus haben die Kanten dieser Sätze auch die Eigenschaft, die gleiche Länge zu haben.

Eine weitere Eigenschaft, die Parallelepipeds besitzen, besteht darin, dass sie konvex sind. Wenn wir also ein Punktpaar nehmen, das zum Inneren des Parallelepipeds gehört, befindet sich das durch dieses Punktpaar bestimmte Segment auch innerhalb des Parallelepipeds.

Außerdem entsprechen Parallelepipeds, die konvexe Polyeder sind, dem Satz von Euler für Polyeder, der eine Beziehung zwischen der Anzahl der Flächen, der Anzahl der Kanten und der Anzahl der Eckpunkte ergibt. Diese Beziehung wird in Form der folgenden Gleichung angegeben:

C + V = A + 2

Diese Eigenschaft ist als Euler-Eigenschaft bekannt.

Dabei ist C die Anzahl der Flächen, V die Anzahl der Eckpunkte und A die Anzahl der Kanten.

Typen

Wir können Parallelepipeds anhand ihrer Gesichter in die folgenden Typen einteilen:

Orthohedron

Sie sind die Parallelepipeds, bei denen ihre Gesichter aus sechs Rechtecken bestehen. Jedes Rechteck ist senkrecht zu denen, die sich eine Kante teilen. Sie sind die häufigsten in unserem täglichen Leben, dies ist die übliche Form von Schuhkartons und Ziegeln.

Normaler Würfel oder Hexaeder

Dies ist ein besonderer Fall des vorherigen, bei dem jede der Flächen ein Quadrat ist.

Der Würfel ist auch Teil der geometrischen Körper, die als platonische Körper bezeichnet werden. Ein platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder, so dass sowohl seine Flächen als auch seine Innenwinkel gleich sind.

Rhomboeder

Es ist ein Parallelepiped mit Rauten für sein Gesicht. Diese Rauten sind alle gleich, da sie Kanten teilen.

Rhomboeder

Seine sechs Gesichter sind Rhomboide. Denken Sie daran, dass ein Rhomboid ein Polygon mit vier Seiten und vier Winkeln ist, die zwei bis zwei entsprechen. Rhomboide sind Parallelogramme, die weder Quadrate noch Rechtecke oder Rauten sind.

Auf der anderen Seite sind schräge Parallelepipeds solche, bei denen mindestens eine Höhe nicht mit ihrer Kante übereinstimmt. In diese Klassifikation können wir Rhomboeder und Rhomboeder einschließen.

Diagonalenberechnung

Um die Diagonale eines Orthoeders zu berechnen, können wir den Satz von Pythagoras für R ^{3 verwenden} .

Denken Sie daran, dass ein Ortoeder die Eigenschaft hat, dass jede Seite senkrecht zu den Seiten ist, die eine Kante teilen. Aus dieser Tatsache können wir schließen, dass jede Kante senkrecht zu denen ist, die einen Scheitelpunkt teilen.

Um die Länge einer Diagonale eines Orthoeders zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir berechnen die Diagonale einer der Flächen, die wir als Basis verwenden. Hierfür verwenden wir den Satz von Pythagoras. Nennen wir diese Diagonale d _b .

2. Dann können wir mit d _b ein neues rechtwinkliges Dreieck bilden, so dass die Hypotenuse dieses Dreiecks die gesuchte Diagonale D ist.

3. Wir verwenden wieder den Satz von Pythagoras und haben die Länge dieser Diagonale:

Eine andere Möglichkeit, Diagonalen grafischer zu berechnen, besteht in der Hinzufügung freier Vektoren.

Denken Sie daran, dass zwei freie Vektoren A und B hinzugefügt werden, indem der Schwanz von Vektor B mit der Spitze von Vektor A platziert wird.

Der Vektor (A + B) beginnt am Ende von A und endet an der Spitze von B.

Betrachten wir ein Parallelepiped, für das wir eine Diagonale berechnen möchten.

Wir identifizieren die Kanten mit bequem ausgerichteten Vektoren.

Dann addieren wir diese Vektoren und der resultierende Vektor ist die Diagonale des Parallelepipeds.

Bereich

Die Fläche eines Parallelepipeds ergibt sich aus der Summe der Flächen seiner Flächen.

Wenn wir eine der Seiten als Basis bestimmen,

A _L + 2A _B = Gesamtfläche

Wobei A _L gleich der Summe der Flächen aller an die Basis angrenzenden Seiten ist, die als Seitenfläche bezeichnet werden, und A _B die Fläche der Basis ist.

Abhängig von der Art des Parallelepipeds, mit dem wir arbeiten, können wir diese Formel neu schreiben.

Fläche eines Ortoeders

Es ist durch die Formel gegeben

A = 2 (ab + bc + ca).

Beispiel 1

Berechnen Sie für das folgende Orthoeder mit den Seiten a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm die Fläche des Parallelepipeds und die Länge seiner Diagonale.

Mit der Formel für die Fläche eines Ortoeders haben wir das

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Beachten Sie, dass die Länge einer der vier Diagonalen gleich ist, da es sich um ein Orthoeder handelt.

Mit dem Satz von Pythagoras für den Raum haben wir das

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Fläche eines Würfels

Da jede Kante die gleiche Länge hat, haben wir a = b und a = c. Einsetzen in die vorherige Formel haben wir

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Beispiel 2

Die Box einer Spielekonsole hat die Form eines Würfels. Wenn wir diese Schachtel mit Geschenkpapier umwickeln möchten, wie viel Papier würden wir ausgeben, wenn wir wissen, dass die Kanten des Würfels 45 cm lang sind?

Mit der Formel für die Fläche des Würfels erhalten wir das

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Fläche eines Rhomboeders

Da alle Gesichter gleich sind, berechnen Sie einfach die Fläche eines von ihnen und multiplizieren Sie sie mit sechs.

Wir haben, dass die Fläche einer Raute durch ihre Diagonalen mit der folgenden Formel berechnet werden kann

A _R = (Dd) / 2

Unter Verwendung dieser Formel folgt, dass die Gesamtfläche des Rhomboeders ist

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Beispiel 3

Die Flächen des folgenden Rhomboeders werden von einer Raute gebildet, deren Diagonalen D = 7 cm und d = 4 cm sind. Ihre Region wird sein

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Fläche eines Rhomboeders

Um die Fläche eines Rhomboeders zu berechnen, müssen wir die Fläche der Rhomboide berechnen, aus denen es besteht. Da Parallelepipeds die Eigenschaft erfüllen, dass gegenüberliegende Seiten dieselbe Fläche haben, können wir die Seiten in drei Paaren zuordnen.

Auf diese Weise haben wir, dass Ihre Region sein wird

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Wobei das b _i die mit den Seiten verbundenen Basen sind und das h _i ihre relative Höhe, die diesen Basen entspricht.

Beispiel 4

Betrachten Sie das folgende Parallelepiped:

wobei Seite A und Seite A '(ihre gegenüberliegende Seite) eine Basis b = 10 und eine Höhe h = 6 haben. Der markierte Bereich hat einen Wert von

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

Das B und B 'haben also b = 4 und h = 6

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC und C 'haben also b = 10 und h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Schließlich ist die Fläche des Rhomboeders

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen eines Parallelepipeds

Die Formel, die uns das Volumen eines Parallelepipeds gibt, ist das Produkt der Fläche einer seiner Flächen durch die Höhe, die dieser Fläche entspricht.

V = A _C h _C.

Abhängig von der Art des Parallelepipeds kann diese Formel vereinfacht werden.

So haben wir zum Beispiel, dass das Volumen eines Orthoeders gegeben wäre durch

V = abc.

Wobei a, b und c die Länge der Kanten des Ortoeders darstellen.

Und im besonderen Fall ist der Würfel

V = a ³

Beispiel 1

Es gibt drei verschiedene Modelle für Cookie-Boxen, und Sie möchten wissen, in welchem ​​dieser Modelle Sie mehr Cookies speichern können, dh welche der Boxen das größte Volumen hat.

Der erste ist ein Würfel, dessen Kante eine Länge von a = 10 cm hat

Sein Volumen beträgt V = 1000 cm ³

Die zweite hat Kanten b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Und deshalb ist sein Volumen V = 765 cm ³

Und der dritte hat e = 9 cm, f = 9 cm und g = 13 cm

Und sein Volumen beträgt V = 1053 cm ³

Daher ist die Box mit dem größten Volumen die dritte.

Eine andere Methode, um das Volumen eines Parallelepipeds zu erhalten, ist die Verwendung der Vektoralgebra. Insbesondere das Triple-Dot-Produkt.

Eine der geometrischen Interpretationen, die das dreifach skalare Produkt hat, ist die des Volumens des Parallelepipeds, dessen Kanten drei Vektoren sind, die denselben Scheitelpunkt als Ausgangspunkt haben.

Auf diese Weise reicht es aus, wenn wir ein Parallelepiped haben und wissen möchten, wie groß sein Volumen ist, es in einem Koordinatensystem in R ³ darzustellen, indem einer seiner Eckpunkte mit dem Ursprung übereinstimmt.

Dann stellen wir die Kanten, die am Ursprung zusammenfallen, mit Vektoren dar, wie in der Abbildung gezeigt.

Und auf diese Weise haben wir, dass das Volumen des Parallelepipeds gegeben ist durch

V = - AxB ∙ C-

Oder äquivalent dazu ist das Volumen die Determinante der 3 × 3-Matrix, die durch die Komponenten der Kantenvektoren gebildet wird.

Beispiel 2

Wenn wir das folgende Parallelepiped in R ^{3 darstellen} , können wir sehen, dass die Vektoren, die es bestimmen, die folgenden sind

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) und w = (-0,25, -4, 4)

Mit dem dreifach skalaren Produkt haben wir

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Daraus schließen wir, dass V = 60 ist

Betrachten wir nun das folgende Parallelepiped in R3, dessen Kanten durch die Vektoren bestimmt werden

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) und C = (3, 4, 4)

Die Verwendung von Determinanten gibt uns das

Wir haben also, dass das Volumen des Parallelepipeds 112 beträgt.

Beides sind äquivalente Methoden zur Volumenberechnung.

Perfektes Parallelepiped

Ein Orthoeder ist als Euler-Stein (oder Euler-Block) bekannt, der die Eigenschaft erfüllt, dass sowohl die Länge seiner Kanten als auch die Länge der Diagonalen jeder seiner Flächen ganze Zahlen sind.

Obwohl Euler nicht der erste Wissenschaftler war, der die Ortoeder untersuchte, die diese Eigenschaft erfüllen, fand er interessante Ergebnisse über sie.

Der kleinste Euler-Stein wurde von Paul Halcke entdeckt und die Kantenlängen betragen a = 44, b = 117 und c = 240.

Ein offenes Problem in der Zahlentheorie ist wie folgt

Gibt es perfekte Ortoeder?

Gegenwärtig wurde diese Frage nicht beantwortet, da nicht nachgewiesen werden konnte, dass solche Stellen nicht existieren, aber auch keine gefunden wurden.

Bisher wurde gezeigt, dass es perfekte Parallelepipeds gibt. Der erste, der entdeckt wird, hat die Länge seiner Kanten die Werte 103, 106 und 271.

Literaturverzeichnis

1. Guy, R. (1981). Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie. Fortschritt.
3. Leithold, L. (1992). Die Berechnung mit analytischer Geometrie. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Technische Zeichnung: Aufgabenheft 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexiko: Continental.