ORTHOEDER: FORMELN, FLÄCHE, VOLUMEN, DIAGONALE, BEISPIELE - MATHE - 2025

Das Orthoeder ist eine volumetrische oder dreidimensionale geometrische Figur, die durch sechs rechteckige Flächen gekennzeichnet ist, so dass die gegenüberliegenden Flächen in parallelen Ebenen liegen und identische oder kongruente Rechtecke sind. Andererseits liegen die Flächen neben einer bestimmten Fläche in Ebenen senkrecht zu der der Anfangsfläche.

Das Orthoeder kann auch als orthogonales Prisma mit rechteckiger Basis betrachtet werden, bei dem die Diederwinkel, die durch die Ebenen zweier Flächen neben einer gemeinsamen Kante gebildet werden, 90 ° betragen. Der Diederwinkel zwischen zwei Flächen wird am Schnittpunkt der Flächen mit einer ihnen gemeinsamen senkrechten Ebene gemessen.

Abbildung 1. Orthoheder. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.

Ebenso ist das Ortoeder ein Rechteck mit Parallelepiped, da auf diese Weise das Parallelepiped als die volumetrische Zahl von sechs Flächen definiert wird, die zwei mal zwei parallel sind.

In jedem Parallelepiped sind die Flächen Parallelogramme, aber in dem rechteckigen Parallelepiped müssen die Flächen rechteckig sein.

Teile des Ortoeders

Die Teile eines Polyeders sind wie das Orthoeder:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Der Winkel zwischen zwei Kanten einer Seite des Orthoeders fällt mit dem Diederwinkel zusammen, der durch die beiden anderen Seiten neben jeder der Kanten gebildet wird und einen rechten Winkel bildet. Das folgende Bild verdeutlicht jedes Konzept:

Abbildung 2. Teile eines Ortoeders. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.

- Insgesamt hat ein Ortoeder 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Eckpunkte.

-Der Winkel zwischen zwei beliebigen Kanten ist ein rechter Winkel.

-Der Diederwinkel zwischen zwei beliebigen Flächen ist ebenfalls richtig.

-In jeder Fläche gibt es vier Eckpunkte und an jedem Eckpunkt gibt es drei zueinander orthogonale Flächen.

Orthoederformeln

Bereich

Die Oberfläche oder Fläche eines Ortoeders ist die Summe der Flächen seiner Flächen.

Wenn die drei Kanten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, die Maße a, b und c haben, wie in Abbildung 3 gezeigt, hat die Vorderseite die Fläche c⋅b und die Unterseite auch die Fläche c⋅b.

Dann haben die beiden Seitenflächen jeweils eine Fläche a⋅b. Und schließlich haben die Boden- und Deckenflächen jeweils eine Fläche.

Abbildung 3. Orthoeder mit den Abmessungen a, b, c. Innendiagonale D und Außendiagonale d.

Das Hinzufügen des Bereichs aller Gesichter ergibt:

Nehmen Sie einen gemeinsamen Faktor und bestellen Sie die Begriffe:

Volumen

Wenn das Ortoeder als Prisma betrachtet wird, wird sein Volumen wie folgt berechnet:

In diesem Fall wird der Boden mit den Abmessungen c und a als rechteckige Basis verwendet, sodass die Fläche der Basis c⋅a beträgt.

Die Höhe ergibt sich aus der Länge b der Kanten senkrecht zu den Flächen der Seiten a und c.

Multipliziert man die Fläche der Basis (a⋅c) mit der Höhe b, so erhält man das Volumen V des Ortoeders:

Interne Diagonale

In einem Orthoeder gibt es zwei Arten von Diagonalen: die äußeren Diagonalen und die inneren Diagonalen.

Die äußeren Diagonalen befinden sich auf den rechteckigen Flächen, während die inneren Diagonalen die Segmente sind, die zwei gegenüberliegende Scheitelpunkte verbinden, wobei unter entgegengesetzten Scheitelpunkten diejenigen verstanden werden, die keine Kante gemeinsam haben.

In einem Orthoeder gibt es vier interne Diagonalen, die alle gleich groß sind. Die Länge der inneren Diagonalen kann durch Anwendung des Satzes von Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke erhalten werden.

Die Länge d der Außendiagonale der Bodenfläche des Ortoeders erfüllt die pythagoreische Beziehung:

d ² = a ² + c ²

In ähnlicher Weise erfüllt die innere Diagonale von Maß D die pythagoreische Beziehung:

D ² = d ² + b ² .

Kombinieren Sie die beiden vorherigen Ausdrücke, die wir haben:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Schließlich wird die Länge einer der inneren Diagonalen des Orthoeders durch die folgende Formel angegeben:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Beispiele

- Beispiel 1

Ein Maurer baut einen Tank in Form eines Ortoeders mit den Innenabmessungen: 6 mx 4 m Boden und 2 m Höhe. Es fragt:

a) Bestimmen Sie die Innenfläche des Tanks, wenn dieser oben vollständig geöffnet ist.

b) Berechnen Sie das Volumen des Innenraums des Tanks.

c) Ermitteln Sie die Länge einer Innendiagonale.

d) Wie groß ist der Tank in Litern?

Lösung für

Wir nehmen die Abmessungen der rechteckigen Basis a = 4 m und c = 6 m und die Höhe als b = 2 m

Die Fläche eines Ortoeders mit den angegebenen Abmessungen ergibt sich aus folgender Beziehung:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Das heißt:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Das vorherige Ergebnis ist die Fläche des geschlossenen Orthoeders mit den angegebenen Abmessungen. Da es sich jedoch um einen Tank handelt, der in seinem oberen Teil vollständig freigelegt ist, muss die Fläche des fehlenden Deckels abgezogen werden, um die Oberfläche der Innenwände des Tanks zu erhalten.

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Schließlich beträgt die Innenfläche des Tanks: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Lösung b

Das Innenvolumen des Tanks ergibt sich aus dem Volumen eines Orthoeders der Innenabmessungen des Tanks:

V = a · b · c = 4 m · 2 m · 6 m = 48 m ³ .

Lösung c

Die Innendiagonale eines Oktaeders mit den Abmessungen des Tankinneren hat eine Länge D, die gegeben ist durch:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Durchführung der angegebenen Operationen, die wir haben:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = ² √ (14) m = 7,48 m.

Lösung d

Um das Fassungsvermögen des Tanks in Litern zu berechnen, muss bekannt sein, dass das Volumen eines Kubikdezimeters dem Fassungsvermögen eines Liters entspricht. Das Volumen wurde zuvor in Kubikmetern berechnet, muss aber in Kubikdezimeter und dann in Liter umgerechnet werden:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 l

- Übung 2

Ein Glasaquarium hat eine kubische Form mit einer Seite von 25 cm. Bestimmen Sie die Fläche in m ² , das Volumen in Litern und die Länge einer Innendiagonale in cm.

Abbildung 4. Kubisches Glasaquarium.

Lösung

Die Fläche wird nach der gleichen Orthoederformel berechnet, wobei jedoch zu berücksichtigen ist, dass alle Abmessungen identisch sind:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Das Volumen des Würfels ist gegeben durch:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 l.

Die Länge D der Innendiagonale beträgt:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Verweise

1. Arien J. GeoGebra: Prisma. Wiederhergestellt von: youtube.com.
2. Berechnung.cc. Übungen und gelöste Probleme von Bereichen und Volumen. Wiederhergestellt von: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramide + Orthoeder mit GEOGEBRA (IHM). Wiederhergestellt von: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com