ENTWICKELTE NOTATION: WAS ES IST, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2024

Die entwickelte Notation ist eine, in der eine numerische Zahl als Summe ausgedrückt wird, in der der Stellenwert jeder Ziffer, aus der die Zahl besteht, berücksichtigt wird.

Wenn Sie beispielsweise eine Zahl wie 2345 schreiben, hat jede Ziffer eine Positionshierarchie. Wenn Sie von der ganz rechten Ziffer nach links lesen, wächst die Hierarchie oder der Wert.

Abbildung 1. Mit neun Graphemen ist es möglich, eine beliebige Zahl darzustellen.

In der Figur 2345 repräsentiert die Ziffer 5 fünf Einheiten, die Ziffer 4 repräsentiert vier Zehner, die 3 entspricht der dritten Position von links nach rechts und daher repräsentiert die 3 dreihundert, schließlich repräsentiert die 2 zweitausend. Mit anderen Worten, in entwickelter oder erweiterter Notation ist die Abbildung 2345 wie folgt geschrieben:

2345 = 2 Tausend + 3 Hundert + 4 Zehner + 5 Einsen

Es kann aber auch folgendermaßen ausgedrückt werden:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Auch die Zahl 2345 kann als Summe der Potenzen von 10 geschrieben werden:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Wobei der Zirkumflex bedeutet, auf den angegebenen Exponenten anzuheben. Beispiel: 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Eine andere Möglichkeit, die Exponenten zu schreiben, besteht darin, einen hochgestellten Index zu verwenden:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Positionsnummerierungssystem

Das arabische Zahlensystem sind die Zahlen, die in den allermeisten Kontinenten und Ländern der Welt täglich verwendet werden. Arabische Ziffern sind ein Basis-10-System, da zehn Symbole oder Grapheme zum Schreiben einer beliebigen Zahl verwendet werden. Diese zehn Symbole sind:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mit nur einem dieser Symbole können Zahlen zwischen null und neun ausgedrückt werden. Um Zahlen größer als neun auszudrücken, wird das Positionssystem in Basis zehn verwendet. Die Zahl 10 ist eine Zehn und eine Null. Die Zahl 11 ist eine Zehn und eine Einheit. Die Zahl 123 (einhundertdreiundzwanzig) ist einhundert, zwei Zehner und drei Einsen. In Form von Zehnerpotenzen geschrieben lautet die Zahl 123:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Wo:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

In diesem Beispiel ist klar, dass die Position der Ziffer ganz rechts die Position 0 ist und die Anzahl der Einheiten darstellt, die der zweiten Ziffer von rechts nach links die Position 1 und die Anzahl der Zehner, die dritte Ziffer (von rechts) links) hat Position 2 und repräsentiert die Hunderte.

Abbildung 2. Entwickelte Notation der Abbildung 123.

Bruch- oder Dezimalzahlen

Mit dem Dezimalpositionssystem ist es auch möglich, Zahlen oder Zahlen darzustellen, die kleiner als die Einheit oder größer als die Einheit sind, aber keine ganzen Zahlen, dh sie haben Bruchteile der Einheit.

Um den Bruch ½ im arabischen Dezimalsystem darzustellen, dh die Hälfte der Einheit, wird geschrieben:

½ = 0,5

Um zu diesem Ausdruck in unserem Basis-10-System zu gelangen, wurden implizit die folgenden Operationen ausgeführt:

1- Der Zähler und der Nenner werden mit 5 multipliziert, um den äquivalenten Bruch 5/10 = 1/2 zu erhalten.

2- Das Teilen durch 10 entspricht dem Multiplizieren mit der Potenz in Basis 10 mit dem Exponenten minus eins (10 ^ -1), dh 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- Der negative Exponent gibt an, wie oft die angegebene Ziffer von der Einheitsposition nach rechts verschoben oder positioniert wird, in unserem Fall wäre es 0,5.

4- ½ = 0,5 in erweiterter Notation wird wie folgt geschrieben:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

Wobei 10 ^ -1 = 0,1 ein Zehntel ist (der Bruchteil, der der Einheit entspricht, die in 10 gleiche Teile geteilt ist).

Auf diese Weise entspricht die Zahl 0,5 fünf Zehnteln, aber die Zahl 0,05 entspricht 5 Hundertstel und 0,005 bis 5 Tausendstel.

Beispiele für erweiterte Notation

Beispiel 1

Konvertieren Sie die Abbildung 40201 in Standardnotation in eine erweiterte Notation.

Lösung:

4 × 10000 + 0 × 1000 + 2 × 100 + 0 × 10 + 1 × 1 = 40201

Beispiel 2

Schreiben Sie den Bruch ¾ in erweiterter Notation.

Lösung:

In diesem Fall haben Sie drei Viertel der Einheit.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

In Worten würde es so aussehen:

Der Bruch ¾ entspricht sieben Zehnteln plus fünf Hundertstel.

Notationsübungen entwickelt

Übung 1

Sagen Sie in Worten den erweiterten Ausdruck der Nummer 40201 aus Beispiel 1.

Lösung:

Die entwickelte Notation sieht folgendermaßen aus:

40201 = 4 × 10000 + 0 × 1000 + 2 × 100 + 0 × 10 + 1 × 1

Das in Wortsprache heißt es:

Vier Zehntausende plus null Tausend plus zweihundert plus null Zehner plus eine Einheit.

Übung 2

Drücken Sie die vorherige Zahl in Worten aus und teilen Sie den entsprechenden Satz in erweiterter Form auf.

Lösung:

Die Zahl 40201 in Worten wird folgendermaßen ausgedrückt:

Vierzigtausendzweihundertein

Der vorherige Satz kann wie folgt entwickelt werden:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

Man kann sagen, dass die Art und Weise, die Figuren auszusprechen, eine halb entwickelte Art ist, sie auszudrücken.

Übung 3

Schreiben Sie die Nummer 7/3 in erweiterter Form.

Lösung:

Es ist eine Zahl, die als unpassender Bruch ausgedrückt wird, da der Zähler größer als der Nenner ist und die Zahl größer als Eins ist.

Diese falsche Fraktion kann als die Summe der Fraktionen 6/3 + 1/3 zerlegt werden. Der erste der Brüche ergibt eine ganze Zahl 2, während 1/3 = 0,333333, wobei sich die Ziffer 3 auf unbestimmte Zeit wiederholt. Der erweiterte Dezimalausdruck der Abbildung 7/3 ist also immer ein ungefährer Ausdruck:

7/3 = 2 + 1/3 ≤ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Übung 6

Schreiben Sie in Standardnotation und dann in erweiterter Form die Zahl: 23 Milliarden zweihundertfünfzig Millionen fünfhundertsechsundzwanzigtausenddreihundertfünfundzwanzig und drei dreiundzwanzig Tausendstel.

Lösung:

Es sei daran erinnert, dass eine Milliarde einer Milliarde entspricht. Das Wort Milliarde wurde 1995 von der Royal Spanish Academy auf Antrag des verstorbenen venezolanischen Präsidenten Rafael Caldera, einem Mitglied der venezolanischen Akademie der Sprachen, akzeptiert. In diesem Fall lautet die Abbildung für die Übung in Standardnotation wie folgt:

23,2501526,325,023

23 Milliarden + 250 Millionen + 526 Tausend + 325 Einheiten + 23 Tausendstel.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Schließlich wird die Figur in erweiterter Notation geschrieben:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Verweise

1. Khan Akademie. Platzieren Sie Wertediagramme. Wiederhergestellt von: es.khanacademy.org
2. Khan Akademie. Schreiben Sie eine Nummer in erweiterter Form (Video). Wiederhergestellt von: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Universelle Figurengeschichte. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Positionsnotation. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Milliarde. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com