TRANSZENDENTE ZAHLEN: WAS SIND DAS, FORMELN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die transzendentalen Zahlen sind diejenigen, die aufgrund einer Polynomgleichung nicht erhalten werden können. Das Gegenteil einer transzendenten Zahl ist eine algebraische Zahl, die Lösungen einer Polynomgleichung vom Typ sind:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Wobei die Koeffizienten a _n , a _n-1 , … a ₂ , a ₁ , a ₀ rationale Zahlen sind, die als Koeffizienten des Polynoms bezeichnet werden. Wenn eine Zahl x eine Lösung für die vorherige Gleichung ist, ist diese Zahl nicht transzendent.

Abbildung 1. Zwei Zahlen von großer Bedeutung in der Wissenschaft sind transzendente Zahlen. Quelle: publicdomainpictures.net.

Wir werden einige Zahlen analysieren und sehen, ob sie transzendent sind oder nicht:

a) 3 ist nicht transzendent, weil es eine Lösung von x - 3 = 0 ist.

b) -2 kann nicht transzendent sein, da es sich um eine Lösung von x + 2 = 0 handelt.

c) ⅓ ist eine Lösung von 3x - 1 = 0

d) Eine Lösung der Gleichung x ² - 2x + 1 = 0 ist √2 -1, so dass die Zahl per Definition nicht transzendent ist.

e) Weder ist √2, weil es das Ergebnis der Gleichung x ² - 2 = 0 ist. Durch Quadrieren von √2 ergibt sich 2, das von 2 subtrahiert gleich Null ist. √2 ist also eine irrationale Zahl, aber nicht transzendent.

Was sind transzendente Zahlen?

Das Problem ist, dass es keine allgemeine Regel gibt, um sie zu erhalten (wir werden es später sagen), aber einige der bekanntesten sind die Zahl pi und die Neper-Zahl, die jeweils mit π und e bezeichnet werden.

Die Zahl π

Die Zahl π erscheint natürlich, wenn man beobachtet, dass der mathematische Quotient zwischen dem Umfang P eines Kreises und seinem Durchmesser D, unabhängig davon, ob es sich um einen kleinen oder einen großen Kreis handelt, immer dieselbe Zahl ergibt, die pi genannt wird:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Dies bedeutet, dass, wenn der Durchmesser des Umfangs als Maßeinheit genommen wird, für alle, ob groß oder klein, der Umfang immer P = 3,14… = π ist, wie in der Animation in Abbildung 2 zu sehen ist.

Abbildung 2. Die Länge des Umfangs eines Kreises beträgt das pi-fache der Länge des Durchmessers, wobei pi ungefähr 3,1416 beträgt.

Um mehr Dezimalstellen zu bestimmen, ist es notwendig, P und D genauer zu messen und dann den Quotienten zu berechnen, was mathematisch durchgeführt wurde. Die Schlussfolgerung ist, dass die Dezimalstellen des Quotienten kein Ende haben und sich nie wiederholen, so dass die Zahl π nicht nur transzendent ist, sondern auch irrational.

Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht als Division zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann.

Es ist bekannt, dass jede transzendente Zahl irrational ist, aber es ist nicht wahr, dass alle irrationalen Zahlen transzendent sind. Zum Beispiel ist √2 irrational, aber nicht transzendent.

Abbildung 3. Die transzendenten Zahlen sind irrational, aber das Gegenteil ist nicht der Fall.

Die Nummer e

Die transzendente Zahl e ist die Basis natürlicher Logarithmen und ihre Dezimalnäherung lautet:

und ≈ 2.718281828459045235360….

Wenn Sie die Zahl e genau schreiben möchten, müssen Sie unendliche Dezimalstellen schreiben, da jede transzendente Zahl, wie bereits erwähnt, irrational ist.

Die ersten zehn Ziffern von e sind leicht zu merken:

2,7 1828 1828 und obwohl es einem sich wiederholenden Muster zu folgen scheint, wird dies nicht in Dezimalstellen von mehr als neun erreicht.

Eine formalere Definition von e lautet wie folgt:

Dies bedeutet, dass der genaue Wert von e erhalten wird, indem die in dieser Formel angegebene Operation ausgeführt wird, wenn die natürliche Zahl n gegen unendlich tendiert.

Dies erklärt, warum wir nur Näherungen von e erhalten können, da unabhängig davon, wie groß die Zahl n ist, immer ein größeres n gefunden werden kann.

Lassen Sie uns selbst nach Annäherungen suchen:

-Wenn n = 100 ist, dann ist (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, was in der ersten Dezimalstelle kaum mit dem "wahren" Wert von e übereinstimmt.

-Wenn Sie n = 10.000 wählen, haben Sie (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, was mit dem „exakten“ Wert von e in den ersten drei Dezimalstellen übereinstimmt.

Dieser Prozess müsste unendlich verfolgt werden, um den "wahren" Wert von e zu erhalten. Ich glaube nicht, dass wir Zeit dafür haben, aber versuchen wir es noch einmal:

Verwenden wir n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2,7182682372

Das hat nur vier Dezimalstellen, die dem exakten Wert entsprechen.

Es ist wichtig zu verstehen, dass je höher der Wert von n ist, der zur Berechnung von e _n gewählt wurde, desto näher er dem wahren Wert kommt. Aber dieser wahre Wert wird nur haben, wenn n unendlich ist.

Abbildung 4. Es wird grafisch gezeigt, wie je höher der Wert von n ist, desto näher an e, aber um den genauen Wert n zu erreichen, muss unendlich sein.

Andere wichtige Zahlen

Neben diesen berühmten Zahlen gibt es noch andere transzendente Zahlen, zum Beispiel:

- 2 ^√2

-Die Champernowne-Nummer in Basis 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Die Champernowne-Nummer in Basis 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Die Gammazahl γ oder Euler-Mascheroni-Konstante:

γ ≤ 0,577 215 664 901 532 860 606

Was durch folgende Berechnung erhalten wird:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Denn wenn n sehr sehr groß ist. Um den genauen Wert der Gammazahl zu erhalten, müsste die Berechnung mit n unendlich durchgeführt werden. Ähnliches wie oben.

Und es gibt viel mehr transzendente Zahlen. Der große Mathematiker Georg Cantor, geboren in Russland und zwischen 1845 und 1918 lebend, zeigte, dass die Menge der transzendenten Zahlen viel größer ist als die Menge der algebraischen Zahlen.

Formeln, in denen die transzendente Zahl π erscheint

Der Umfang des Umfangs

P = π D = 2 π R, wobei P der Umfang, D der Durchmesser und R der Radius des Umfangs ist. Es sollte daran erinnert werden, dass:

-Der Durchmesser des Umfangs ist das längste Segment, das zwei Punkte desselben verbindet und das immer durch seine Mitte verläuft.

-Der Radius ist der halbe Durchmesser und das Segment, das von der Mitte zur Kante verläuft.

Fläche eines Kreises

A = π R ² = ¼ π D ²

Oberfläche einer Kugel

S = 4 π R ^2.

Ja. Obwohl es nicht so scheint, ist die Oberfläche einer Kugel dieselbe wie die von vier Kreisen mit demselben Radius wie die Kugel.

Volumen der Kugel

V = 4/3 π R ³

Übungen

- Übung 1

Die Pizzeria „EXÓTICA“ verkauft Pizzen mit drei Durchmessern: kleine 30 cm, mittlere 37 cm und große 45 cm. Ein Junge ist sehr hungrig und erkannte, dass zwei kleine Pizzen genauso viel kosten wie eine große. Was ist besser für ihn, zwei kleine oder eine große Pizza zu kaufen?

Abbildung 5.- Die Fläche einer Pizza ist proportional zum Quadrat des Radius, wobei pi die Proportionalitätskonstante ist. Quelle: Pixabay.

Lösung

Je größer die Fläche, desto größer die Menge an Pizza. Aus diesem Grund wird die Fläche einer großen Pizza berechnet und mit der von zwei kleinen Pizzen verglichen:

Fläche der großen Pizza = ¼ π D ² = ¼ ⋅ 3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Fläche der kleinen Pizza = ¼ π d ² = ¼ ⋅ 3,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Daher haben zwei kleine Pizzen eine Fläche von

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Es ist klar: Sie werden eine größere Menge Pizza haben, wenn Sie eine einzelne große kaufen als zwei kleine.

- Übung 2

Die Pizzeria „EXÓTICA“ verkauft auch eine halbkugelförmige Pizza mit einem Radius von 30 cm zum gleichen Preis wie eine rechteckige Pizza mit einer Größe von 30 x 40 cm auf jeder Seite. Was würden Sie wählen?

Abbildung 6.- Die Oberfläche einer Halbkugel ist doppelt so groß wie die kreisförmige Oberfläche der Basis. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, ist die Oberfläche einer Kugel viermal so groß wie die eines Kreises mit demselben Durchmesser, sodass eine Halbkugel mit einem Durchmesser von 30 cm Folgendes aufweist:

30 cm halbkugelförmige Pizza: 1413,72 cm ² (zweimal kreisförmig mit gleichem Durchmesser)

Rechteckige Pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Die halbkugelförmige Pizza hat eine größere Fläche.

Verweise

1. Fernández J. Die Nummer e. Herkunft und Kuriositäten. Wiederhergestellt von: soymatematicas.com
2. Viel Spaß mit Mathe. Eulers Nummer. Wiederhergestellt von: Enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. CO-BO-Ausgaben.
4. García, M. Die Zahl e in der Elementarrechnung. Wiederhergestellt von: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-Nummer. Wiederhergestellt von: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transzendente Zahlen. Wiederhergestellt von: wikipedia.com