REELLE ZAHLEN: GESCHICHTE, BEISPIELE, EIGENSCHAFTEN, OPERATIONEN - MATHE - 2025

Die reellen Zahlen bilden die numerische Menge, die die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen und die irrationalen enthält. Sie werden mit dem Symbol ℝ oder einfach R bezeichnet, und ihr Umfang in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft ist so, dass es fast selbstverständlich ist, dass es sich um eine reelle Zahl handelt, wenn man von „Zahl“ spricht.

Reelle Zahlen werden seit der Antike verwendet, obwohl ihnen dieser Name nicht gegeben wurde. Bereits aus der Zeit, als Pythagoras seinen berühmten Satz entwickelte, entstanden Zahlen, die nicht als Quotienten natürlicher Zahlen oder Ganzzahlen erhalten werden konnten.

Abbildung 1. Venn-Diagramm, das zeigt, wie die Menge der reellen Zahlen die anderen Zahlensätze enthält. Quelle> Wikimedia Commons.

Beispiele für Zahlen sind √2, √3 und π. Diese Zahlen werden irrational genannt, im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die aus Quotienten ganzer Zahlen stammen. Es war daher ein numerischer Satz erforderlich, der beide Zahlenklassen umfasst.

Der Begriff "reelle Zahl" wurde vom großen Mathematiker René Descartes (1596-1650) geschaffen, um zwischen den beiden Arten von Wurzeln zu unterscheiden, die sich aus der Lösung einer Polynomgleichung ergeben können.

Einige dieser Wurzeln können sogar Wurzeln negativer Zahlen sein, Descartes nannte diese "imaginären Zahlen" und diejenigen, die es nicht waren, waren reelle Zahlen.

Die Bezeichnung blieb über die Zeit bestehen und führte zu zwei großen numerischen Mengen: den reellen Zahlen und den komplexen Zahlen, einer größeren Menge, die reelle Zahlen, imaginäre Zahlen und solche enthält, die teils real und teils imaginär sind.

Die Entwicklung der reellen Zahlen setzte ihren Lauf fort, bis der Mathematiker Richard Dedekind (1831-1936) 1872 die Menge der reellen Zahlen durch die sogenannten Dedekind-Schnitte formell definierte. Die Synthese seiner Arbeit wurde in einem Artikel veröffentlicht, der im selben Jahr das Licht der Welt erblickte.

Beispiele für reelle Zahlen

Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für reelle Zahlen. Diese Menge hat als Teilmengen die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen und die irrationalen. Eine beliebige Anzahl dieser Sätze ist an sich eine reelle Zahl.

Daher sind 0, Negative, Positive, Brüche und Dezimalstellen reelle Zahlen.

Abbildung 2. Beispiele für reelle Zahlen sind natürlich, ganzzahlig, rational, irrational und transzendent. Quelle: F. Zapata.

Darstellung von reellen Zahlen auf der reellen Linie

Reelle Zahlen können auf der reellen Linie R dargestellt werden , wie in der Abbildung gezeigt. Es ist nicht notwendig, dass die 0 immer vorhanden ist, es ist jedoch zweckmäßig zu wissen, dass die negativen Realzahlen links und die positiven rechts liegen. Deshalb ist es ein ausgezeichneter Bezugspunkt.

Auf der realen Linie wird eine Skala genommen, in der die ganzen Zahlen gefunden werden:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Der Pfeil zeigt an, dass sich die Linie bis ins Unendliche erstreckt. Aber das ist noch nicht alles, in jedem betrachteten Intervall werden wir auch immer unendliche reelle Zahlen finden.

Die reellen Zahlen werden der Reihe nach dargestellt. Zunächst gibt es die Reihenfolge der ganzen Zahlen, in der die positiven Werte immer größer als 0 sind, während die negativen Werte kleiner sind.

Diese Reihenfolge wird innerhalb der reellen Zahlen gehalten. Die folgenden Ungleichungen werden als Beispiel gezeigt:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Abbildung 3.- Die reale Linie. Quelle: Wikimedia Commons.

Eigenschaften von reellen Zahlen

- Reale Zahlen umfassen natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen.

-Die kommutative Eigenschaft der Addition ist erfüllt: Die Reihenfolge der Addenden ändert nichts an der Summe. Wenn a und b zwei reelle Zahlen sind, ist es immer wahr, dass:

a + b = b + a

-Die 0 ist das neutrale Element der Summe: a + 0 = a

-Für die Summe ist die assoziative Eigenschaft erfüllt. Wenn a, b und c reelle Zahlen sind: (a + b) + c = a + (b + c).

-Das Gegenteil einer reellen Zahl zu ist -a.

-Die Subtraktion ist definiert als die Summe des Gegenteils: a - b = a + (-b).

-Die kommutative Eigenschaft des Produkts ist erfüllt: Die Reihenfolge der Faktoren ändert das Produkt nicht: ab = ba

-In dem Produkt wird auch die assoziative Eigenschaft angewendet: (ab) .c = a. (Bc)

-Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: a.1 = a

-Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation gilt in Bezug auf die Addition: a. (b + c) = ab + ac

-Division durch 0 ist nicht definiert.

- Jede reelle Zahl a mit Ausnahme von 0 hat eine multiplikative Inverse von ^-1, so dass aa ^-1 = 1 ist.

-Wenn a eine reelle Zahl ist: a ⁰ = 1 und a ¹ = a.

-Der Absolutwert oder Modul einer reellen Zahl ist der Abstand zwischen dieser Zahl und 0.

Operationen mit reellen Zahlen

Mit den reellen Zahlen können Sie die Operationen ausführen, die mit den anderen numerischen Mengen ausgeführt werden, einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Ermächtigung, Radikation, Logarithmen und mehr.

Wie immer ist die Division durch 0 nicht definiert, ebenso wenig wie die Logarithmen negativer Zahlen oder 0, obwohl log 1 = 0 ist und die Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 negativ sind.

Anwendungen

Die Anwendung von reellen Zahlen auf alle Arten von Situationen ist äußerst vielfältig. Reelle Zahlen erscheinen als Antwort auf viele Probleme in den Bereichen exakte Wissenschaft, Informatik, Ingenieurwesen, Wirtschaft und Sozialwissenschaften.

Alle Arten von Größen und Größen wie Entfernungen, Zeiten, Kräfte, Schallintensität, Geld und vieles mehr drücken sich in reellen Zahlen aus.

Die Übertragung von Telefonsignalen, das Bild und der Ton eines Videos, die Temperatur einer Klimaanlage, einer Heizung oder eines Kühlschranks können digital gesteuert werden, was bedeutet, dass physikalische Größen in numerische Sequenzen umgewandelt werden.

Das gleiche passiert, wenn Sie eine Banküberweisung über das Internet tätigen oder Instant Messaging konsultieren. Die reellen Zahlen sind überall.

Übung gelöst

Wir werden anhand von Übungen sehen, wie diese Zahlen in alltäglichen Situationen funktionieren.

Übung 1

Die Post akzeptiert nur Pakete, bei denen die Länge zuzüglich des Umfangs 108 Zoll nicht überschreitet. Damit das angezeigte Paket akzeptiert werden kann, muss Folgendes erfüllt sein:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Wird ein Paket, das 6 Zoll breit, 8 Zoll hoch und 5 Fuß lang ist, durchkommen?

b) Was ist mit einem, der 2 x 2 x 4 ft ³ misst ?

c) Was ist die höchste akzeptable Höhe für ein Paket, dessen Basis quadratisch ist und 9 x 9 Zoll ² misst ?

Antwort auf

L = 5 Fuß = 60 Zoll

x = 6 Zoll

y = 8 Zoll

Die zu lösende Operation ist:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) Zoll = 60 + 2 x 14 Zoll = 60 + 28 Zoll = 88 Zoll

Das Paket wird angenommen.

Antwort b

Die Abmessungen dieses Pakets sind kleiner als die des Pakets a), daher schaffen es beide durch.

Antwort c

In diesem Paket:

x = L = 9 Zoll

Es muss beachtet werden, dass:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

und ≤ 40,5 Zoll

Verweise

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