RATIONALE ZAHLEN: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND OPERATIONEN - MATHE - 2025

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die als Division von zwei ganzen Zahlen erhalten werden können. Beispiele für rationale Zahlen sind: 3/4, 8/5, -16/3 und diejenigen, die in der folgenden Abbildung erscheinen. In einer rationalen Zahl wird der Quotient angegeben, was bei Bedarf später möglich ist.

Die Figur stellt jedes Objekt dar, rund für mehr Komfort. Wenn wir es wie rechts in zwei gleiche Teile teilen wollen, haben wir noch zwei Hälften übrig und jede ist 1/2 wert.

Abbildung 1. Rationale Zahlen werden verwendet, um das Ganze in mehrere Teile zu unterteilen. Quelle: Freesvg.

Wenn wir es in 4 gleiche Teile teilen, erhalten wir 4 Teile, von denen jedes 1/4 wert ist, wie im Bild in der Mitte. Und wenn es in 6 gleiche Teile geteilt werden muss, wäre jeder Teil 1/6 wert, was wir auf dem Bild links sehen.

Natürlich könnten wir es auch in zwei ungleiche Teile teilen, zum Beispiel könnten wir 3/4 Teile behalten und 1/4 Teil sparen. Andere Unterteilungen sind ebenfalls möglich, wie 4/6 Teile und 2/6 Teile. Wichtig ist, dass die Summe aller Teile 1 ist.

Auf diese Weise ist es offensichtlich, dass Sie mit rationalen Zahlen Dinge wie Nahrung, Geld, Land und alle Arten von Objekten in Bruchteilen teilen, zählen und verteilen können. Und so wird die Anzahl der Operationen, die mit Zahlen ausgeführt werden können, erweitert.

Rationale Zahlen können auch in Dezimalform ausgedrückt werden, wie aus den folgenden Beispielen hervorgeht:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Später werden wir anhand von Beispielen zeigen, wie Sie von einem Formular zum anderen wechseln können.

Eigenschaften rationaler Zahlen

Rationale Zahlen, deren Menge wir mit dem Buchstaben Q bezeichnen, haben folgende Eigenschaften:

-Q enthält natürliche Zahlen N und ganze Zahlen Z.

Wenn man berücksichtigt, dass jede Zahl a als Quotient zwischen sich und 1 ausgedrückt werden kann, ist leicht zu erkennen, dass es unter den rationalen Zahlen auch natürliche Zahlen und ganze Zahlen gibt.

Somit kann die natürliche Zahl 3 als Bruch geschrieben werden und auch -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Auf diese Weise ist Q eine numerische Menge, die eine größere Anzahl von Zahlen enthält, was sehr notwendig ist, da die "runden" Zahlen nicht ausreichen, um alle möglichen Operationen zu beschreiben.

-Rationale Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und geteilt werden, wobei das Ergebnis der Operation eine rationale Zahl ist: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Zwischen jedem Paar rationaler Zahlen kann immer eine andere rationale Zahl gefunden werden. Tatsächlich gibt es zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen.

Zum Beispiel befinden sich zwischen den Rationalen 1/4 und 1/2 die Rationalen 3/10, 7/20, 2/5 (und viele mehr), die überprüft werden können, indem sie als Dezimalstellen ausgedrückt werden.

-Jede rationale Zahl kann ausgedrückt werden als: i) eine ganze Zahl oder ii) eine begrenzte (strenge) oder periodische Dezimalzahl: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Eine gleiche Zahl kann durch unendlich viele äquivalente Brüche dargestellt werden, und alle gehören zu Q. Sehen wir uns diese Gruppe an:

Sie alle repräsentieren die Dezimalzahl 0,428571 …

- Von allen äquivalenten Brüchen, die dieselbe Zahl darstellen, ist der irreduzible Bruch, der einfachste von allen, der kanonische Vertreter dieser Zahl. Der kanonische Vertreter des obigen Beispiels ist 3/7.

Abbildung 2.- Die Menge Q der rationalen Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Beispiele für rationale Zahlen

- Richtige Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist:

-Unkorrekte Brüche, deren Zähler größer als der Nenner ist:

-Natürliche Zahlen und ganze Zahlen:

-Äquivalente Fraktionen:

Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl

Wenn der Zähler durch den Nenner geteilt wird, wird die Dezimalform der rationalen Zahl gefunden. Beispielsweise:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

In den ersten beiden Beispielen ist die Anzahl der Dezimalstellen begrenzt. Dies bedeutet, dass nach Abschluss der Division schließlich ein Rest von 0 erhalten wird.

Andererseits ist in den nächsten beiden die Anzahl der Dezimalstellen unendlich und deshalb werden die Auslassungspunkte gesetzt. Im letzteren Fall gibt es ein Muster in den Dezimalstellen. Im Fall der Fraktion 1/9 wird die Zahl 1 auf unbestimmte Zeit wiederholt, während sie in 6/11 54 ist.

In diesem Fall wird die Dezimalstelle als periodisch bezeichnet und durch ein Caret wie folgt gekennzeichnet:

Transformieren Sie eine Dezimalstelle in einen Bruch

Wenn es sich um eine begrenzte Dezimalstelle handelt, wird das Komma einfach entfernt und der Nenner wird zur Einheit, gefolgt von so vielen Nullen, wie Zahlen in der Dezimalstelle vorhanden sind. Um beispielsweise die Dezimalzahl 1,26 in einen Bruch umzuwandeln, schreiben Sie sie wie folgt:

1,26 = 126/100

Dann wird der resultierende Bruch maximal vereinfacht:

126/100 = 63/50

Wenn die Dezimalstelle unbegrenzt ist, wird zuerst der Punkt identifiziert. Dann werden diese Schritte befolgt, um die resultierende Fraktion zu finden:

-Der Zähler ist die Subtraktion zwischen der Zahl (ohne Komma oder Caret) und dem Teil, der das Caret nicht enthält.

-Der Nenner ist eine Ganzzahl mit so vielen 9, wie es Zahlen unter dem Zirkumflex gibt, und so vielen 0, wie es Zahlen des Dezimalteils gibt, die nicht unter dem Zirkumflex liegen.

Befolgen Sie diese Prozedur, um die Dezimalzahl 0.428428428… in einen Bruch umzuwandeln.

- Zuerst wird die Periode identifiziert, die die Sequenz ist, die wiederholt wird: 428.

-Dann wird die Operation ausgeführt, um die Zahl ohne Komma oder Akzent zu subtrahieren: 0428 von dem Teil, der keinen Zirkumflex hat, der 0 ist. Es bleibt so 428 - 0 = 428.

-Der Nenner ist konstruiert und weiß, dass sich unter dem Zirkumflex 3 Ziffern befinden und alle unter dem Zirkumflex liegen. Daher ist der Nenner 999.

- Schließlich wird die Fraktion gebildet und wenn möglich vereinfacht:

0,428 = 428/999

Mehr kann nicht vereinfacht werden.

Operationen mit rationalen Zahlen

- Addieren und subtrahieren

Brüche mit dem gleichen Nenner

Wenn die Brüche den gleichen Nenner haben, ist das Addieren und / oder Subtrahieren sehr einfach, da die Zähler einfach algebraisch addiert werden und die gleichen wie die Addenden als Nenner des Ergebnisses verbleiben. Schließlich wird es, wenn möglich, vereinfacht.

Beispiel

Führen Sie die folgende algebraische Addition durch und vereinfachen Sie das Ergebnis:

Der resultierende Anteil ist bereits irreduzibel.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern

In diesem Fall werden die Addenden durch äquivalente Brüche mit demselben Nenner ersetzt, und dann wird das bereits beschriebene Verfahren befolgt.

Beispiel

Fügen Sie algebraisch die folgenden rationalen Zahlen hinzu, um das Ergebnis zu vereinfachen:

Die Schritte sind:

- Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (lcm) der Nenner 5, 8 und 3:

lcm (5,8,3) = 120

Dies ist der Nenner der resultierenden Fraktion ohne zu vereinfachen.

-Für jeden Bruch: Teilen Sie das LCM durch den Nenner und multiplizieren Sie es mit dem Zähler. Das Ergebnis dieser Operation wird mit dem entsprechenden Vorzeichen in den Zähler des Bruchs eingetragen. Auf diese Weise wird ein Bruch erhalten, der dem Original entspricht, jedoch mit dem LCM als Nenner.

Zum Beispiel ist der Zähler für den ersten Bruch folgendermaßen aufgebaut: (120/5) x 4 = 96 und wir erhalten:

Gehen Sie für die verbleibenden Fraktionen genauso vor:

Schließlich werden die äquivalenten Brüche ersetzt, ohne ihr Vorzeichen zu vergessen, und die algebraische Summe der Zähler wird ausgeführt:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplikation und Division

Die Multiplikation und Division erfolgt nach den folgenden Regeln:

Abbildung 3. Regeln zum Multiplizieren und Teilen rationaler Zahlen. Quelle: F. Zapata.

In jedem Fall ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Multiplikation kommutativ ist, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert. Dies ist bei der Teilung nicht der Fall, daher muss darauf geachtet werden, dass die Reihenfolge zwischen Dividende und Teiler eingehalten wird.

Beispiel 1

Führen Sie die folgenden Vorgänge aus und vereinfachen Sie das Ergebnis:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Antwort auf

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Antwort b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Beispiel 2

Luisa hatte 45 Dollar. Er verbrachte ein Zehntel davon damit, ein Buch zu kaufen und 2/5 von dem, was auf einem T-Shirt übrig war. Wie viel Geld hat Luisa noch? Drücken Sie das Ergebnis als irreduziblen Bruch aus.

Lösung

Das Buch kostet (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Deshalb blieb Luisa mit:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Mit diesem Geld ging Luisa zum Bekleidungsgeschäft und kaufte das Hemd, dessen Preis ist:

(2/5) x 40,5 $ = 16,2 $

Jetzt hat Luisa in ihrem Portfolio:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Um es als Bruch auszudrücken, ist es so geschrieben:

24,3 = 243/10

Das ist nicht reduzierbar.

Verweise

1. Baldor, A. 1986. Arithmetik. Codex für Editionen und Distributionen.
2. Carena, M. 2019. Handbuch der Mathematik. Nationale Universität des Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Mathematik 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Die rationalen Zahlen. Wiederhergestellt von: Cimanet.uoc.edu.
6. Rationale Zahlen. Wiederhergestellt von: webdelprofesor.ula.ve.