NATÜRLICHE ZAHLEN: GESCHICHTE, EIGENSCHAFTEN, OPERATIONEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die natürlichen Zahlen sind diejenigen, die dazu dienen, die Anzahl der Elemente einer bestimmten Menge zu zählen. Zum Beispiel sind natürliche Zahlen diejenigen, die verwendet werden, um herauszufinden, wie viele Äpfel sich in einer Schachtel befinden. Sie werden auch verwendet, um die Elemente eines Satzes zu ordnen, beispielsweise die Erstklässler in der Reihenfolge ihrer Größe.

Im ersten Fall sprechen wir von Kardinalzahlen und im zweiten von Ordnungszahlen sind "erste" und "zweite" tatsächlich natürliche Ordnungszahlen. Im Gegenteil, eins (1), zwei (2) und drei (3) sind natürliche Kardinalzahlen.

Abbildung 1. Natürliche Zahlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet. Quelle: Pixabay.

Natürliche Zahlen werden nicht nur zum Zählen und Ordnen verwendet, sondern auch zum Identifizieren und Unterscheiden der Elemente einer bestimmten Menge.

Beispielsweise hat der Personalausweis eine eindeutige Nummer, die jeder Person zugewiesen wird, die zu einem bestimmten Land gehört.

In der mathematischen Notation wird die Menge der natürlichen Zahlen folgendermaßen bezeichnet:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}

Und die Menge der natürlichen Zahlen mit Null wird auf andere Weise bezeichnet:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

In beiden Sätzen zeigen die Ellipsen an, dass die Elemente nacheinander bis unendlich fortfahren, wobei das Wort unendlich die Art und Weise ist, zu sagen, dass der Satz kein Ende hat.

Egal wie groß eine natürliche Zahl sein mag, Sie können immer die nächsthöhere erhalten.

Geschichte

Bevor die natürlichen Zahlen erschienen, dh der Satz von Symbolen und Namen, um eine bestimmte Menge zu bezeichnen, verwendeten die ersten Menschen einen anderen Satz von Vergleichen, zum Beispiel die Finger der Hände.

Um zu sagen, dass sie eine Herde von fünf Mammuts gefunden haben, haben sie die Finger einer Hand benutzt, um diese Zahl zu symbolisieren.

Dieses System kann von einer menschlichen Gruppe zur anderen variieren, vielleicht verwenden andere anstelle ihrer Finger eine Gruppe von Stöcken, Steinen, Halskettenperlen oder Knoten in einem Seil. Aber das Sicherste ist, dass sie ihre Finger benutzt haben.

Dann tauchten Symbole auf, die eine bestimmte Menge repräsentierten. Zuerst waren es Markierungen auf einem Knochen oder einem Stock.

Keilschriftstiche auf Tonbrettern, die numerische Symbole darstellen und aus dem Jahr 400 v. Chr. Stammen, sind aus Mesopotamien bekannt, das heute die Nation des Irak ist.

Die Symbole entwickelten sich weiter, so dass die Griechen und später die Römer Buchstaben verwendeten, um Zahlen zu bezeichnen.

Arabische Zahlen

Arabische Zahlen sind das System, das wir heute verwenden, und sie wurden von den Arabern, die die Iberische Halbinsel besetzten, nach Europa gebracht, aber sie wurden tatsächlich in Indien erfunden, weshalb sie als indo-arabisches Nummerierungssystem bekannt sind.

Unser Nummerierungssystem basiert auf zehn, weil es zehn Finger gibt.

Wir haben zehn Symbole, um eine beliebige numerische Größe auszudrücken, ein Symbol für jeden Finger der Hand.

Diese Symbole sind:

Mit diesen Symbolen ist es möglich, jede Größe unter Verwendung des Positionssystems darzustellen: 10 ist eine Zehn-Null-Einheit, 13 ist eine Zehn- und Drei-Einheit, 22 ist eine Zwei-Zehn-Zwei-Einheit.

Es muss klargestellt werden, dass jenseits der Symbole und des Nummerierungssystems natürliche Zahlen immer existierten und immer auf die eine oder andere Weise von Menschen verwendet wurden.

Eigenschaften natürlicher Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Und mit ihnen können Sie die Anzahl der Elemente in einem anderen Satz zählen oder diese Elemente auch ordnen, wenn jedem eine natürliche Nummer zugewiesen ist.

Es ist unendlich und zählbar

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine geordnete Menge mit unendlichen Elementen.

Es ist jedoch eine zählbare Menge in dem Sinne, dass es möglich ist zu wissen, wie viele Elemente oder natürliche Zahlen zwischen einer Zahl und einer anderen liegen.

Zum Beispiel wissen wir, dass es zwischen 5 und 9 fünf Elemente gibt, einschließlich 5 und 9.

Es ist ein ordentliches Set

Als bestellter Satz können Sie wissen, welche Nummern nach oder vor einer bestimmten Nummer stehen. Auf diese Weise ist es möglich, zwischen zwei Elementen der natürlichen Menge Vergleichsbeziehungen wie diese herzustellen:

7> 3 bedeutet, dass sieben größer als drei ist

2 <11 wird gelesen, zwei ist kleiner als elf

Sie können zusammengefasst werden (Additionsoperation)

3 + 2 = 5 bedeutet, dass Sie fünf Elemente haben, wenn Sie drei Elemente mit zwei Elementen verbinden. Das Symbol + kennzeichnet die Additionsoperation.

Operationen mit natürlichen Zahlen

- Summe

1.- Die Addition ist eine interne Operation in dem Sinne, dass, wenn zwei Elemente der Menge ℕ natürlicher Zahlen hinzugefügt werden, ein anderes Element erhalten wird, das zu dieser Menge gehört. Symbolisch würde es so lauten:

2.- Die Summenoperation auf den Naturwerten ist kommutativ, was bedeutet, dass das Ergebnis das gleiche ist, selbst wenn die Addenden invertiert sind. Symbolisch wird es so ausgedrückt:

Wenn a ∊ ℕ und b ∊ ℕ , dann ist a + b = b + a = c, wobei c ∊ ℕ ist

Zum Beispiel 3 + 5 = 8 und 5 + 3 = 8, wobei 8 ein Element der natürlichen Zahlen ist.

3.- Die Summe der natürlichen Zahlen erfüllt die assoziative Eigenschaft:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Ein Beispiel wird es klarer machen. Wir können so hinzufügen:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

Und so auch:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Wenn Sie auf diese Weise hinzufügen, erhalten Sie schließlich auch das gleiche Ergebnis:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Es gibt das neutrale Element der Summe und dieses Element ist Null: a + 0 = 0 + a = a. Beispielsweise:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- Subtraktion

- Der Subtraktionsoperator ist mit dem Symbol gekennzeichnet. Beispielsweise:

5 - 3 = 2.

Es ist wichtig, dass der erste Operand größer oder gleich (≥) als der zweite Operand ist, da sonst die Subtraktionsoperation in den Naturwerten nicht definiert wäre:

a - b = c, wobei c ∊ ℕ genau dann ist, wenn a ≥ b ist.

- Multiplikation

-Multiplikation wird mit a ⋅ bezeichnet, indem b-mal zu sich selbst addiert wird. Zum Beispiel: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Aufteilung

Die Division wird bezeichnet mit: a ÷ bedeutet, wie oft b in a ist. Zum Beispiel ist 6 ÷ 2 = 3, weil 2 dreimal in 6 enthalten ist (3).

Beispiele

Abbildung 2. Mit natürlichen Zahlen können Sie zählen, wie viele Äpfel eine Schachtel hat. Quelle: pixabay

- Beispiel 1

In einer Schachtel werden 15 Äpfel gezählt, in einer anderen 22 Äpfel. Wenn alle Äpfel aus der zweiten Schachtel in die erste Schachtel gelegt werden, wie viele Äpfel enthält die erste Schachtel?

Antworten

15 + 22 = 37 Äpfel.

- Beispiel 2

Wenn in der Schachtel mit 37 Äpfeln 5 entfernt werden, wie viele bleiben dann in der Schachtel?

Antworten

37 - 5 = 32 Äpfel.

- Beispiel 3

Wenn Sie 5 Kartons mit jeweils 32 Äpfeln haben, wie viele Äpfel gibt es insgesamt?

Antworten

Die Operation wäre, 32 mit sich selbst fünfmal zu addieren, was so bezeichnet wird:

32 ≤ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Beispiel 4

Sie möchten eine Schachtel mit 32 Äpfeln in 4 Teile teilen. Wie viele Äpfel enthält jeder Teil?

Antworten

Die Operation ist eine Abteilung, die wie folgt bezeichnet wird:

32 ÷ 4 = 8

Das heißt, es gibt vier Gruppen mit jeweils acht Äpfeln.

Verweise

1. Satz natürlicher Zahlen für die fünfte Klasse der Grundschule. Wiederhergestellt von: activityeducativas.net
2. Mathematik für Kinder. Natürliche Zahlen. Wiederhergestellt von: elhuevodechocolate.com
3. Martha. Natürliche Zahlen. Wiederhergestellt von: superprof.es
4. Ein Lehrer. Die natürlichen Zahlen. Wiederhergestellt von: unprofesor.com
5. Wikipedia. Natürliche Zahl. Wiederhergestellt von: wikipedia.com