IMAGINÄRE ZAHLEN: EIGENSCHAFTEN, ANWENDUNGEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die imaginären Zahlen sind diejenigen, die die Gleichung lösen, in der das Unbekannte, das zum Quadrat erhoben wird, einer negativen reellen Zahl entspricht. Die imaginäre Einheit ist i = √ (-1).

In der Gleichung: z ² = - a ist z eine imaginäre Zahl, die wie folgt ausgedrückt wird:

z = √ (-a) = i√ (a)

Eine positive reelle Zahl sein. Wenn a = 1, dann ist z = i, wobei i die imaginäre Einheit ist.

Abbildung 1. Komplexe Ebene mit einigen reellen Zahlen, einigen imaginären Zahlen und einigen komplexen Zahlen. Quelle: F. Zapata.

Im Allgemeinen wird eine reine imaginäre Zahl z immer in folgender Form ausgedrückt:

z = y⋅i

Wobei y eine reelle Zahl und i die imaginäre Einheit ist.

So wie reelle Zahlen auf einer Linie dargestellt werden, die als reelle Linie bezeichnet wird, werden auch imaginäre Zahlen auf der imaginären Linie dargestellt.

Die imaginäre Linie ist immer orthogonal (90º-Form) zur realen Linie und die beiden Linien definieren eine kartesische Ebene, die als komplexe Ebene bezeichnet wird.

In Abbildung 1 ist die komplexe Ebene dargestellt, auf der einige reelle Zahlen, einige imaginäre Zahlen und auch einige komplexe Zahlen dargestellt sind:

X ₁ , X ₂ , X ₃ sind reelle Zahlen

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ sind imaginäre Zahlen

Z ₂ und Z ₃ sind komplexe Zahlen

Die Zahl O ist die reale Null und es ist auch die imaginäre Null, so dass der Ursprung O die komplexe Null ist, ausgedrückt durch:

0 + 0i

Eigenschaften

Die Menge der imaginären Zahlen wird bezeichnet mit:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Und Sie können einige Operationen für diesen numerischen Satz definieren. Aus diesen Operationen wird nicht immer eine imaginäre Zahl erhalten. Schauen wir sie uns also etwas genauer an:

Addiere und subtrahiere imaginär

Imaginäre Zahlen können addiert und voneinander subtrahiert werden, was zu einer neuen imaginären Zahl führt. Beispielsweise:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt des Imaginären

Wenn das Produkt einer imaginären Zahl mit einer anderen hergestellt wird, ist das Ergebnis eine reelle Zahl. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um dies zu überprüfen:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Und wie wir sehen können, ist -6 eine reelle Zahl, obwohl sie durch Multiplikation zweier reiner imaginärer Zahlen erhalten wurde.

Produkt einer reellen Zahl von einem anderen Imaginären

Wenn eine reelle Zahl mit i multipliziert wird, ist das Ergebnis eine imaginäre Zahl, die einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn entspricht.

Und es ist so, dass i ² zwei aufeinanderfolgenden Umdrehungen von 90 Grad entspricht, was einer Multiplikation mit -1 entspricht, dh i ² = -1. Es ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Abbildung 2. Die Multiplikation mit der imaginären Einheit i entspricht einer Drehung um 90 ° gegen den Uhrzeigersinn. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispielsweise:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Ermächtigung eines Imaginären

Sie können die Potenzierung einer imaginären Zahl zu einem ganzzahligen Exponenten definieren:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Im Allgemeinen haben wir i ⁿ = i ^ (n mod 4), wobei mod der Rest der Division zwischen n und 4 ist.

Eine negative ganzzahlige Potenzierung kann auch durchgeführt werden:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i - ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Im Allgemeinen ist die auf die Potenz n erhobene imaginäre Zahl b⋅i:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Einige Beispiele sind die folgenden:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Summe einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl

Wenn Sie eine reelle Zahl mit einer imaginären Zahl hinzufügen, ist das Ergebnis weder reell noch imaginär. Es handelt sich um einen neuen Zahlentyp, der als komplexe Zahl bezeichnet wird.

Wenn beispielsweise X = 3,5 und Y = 3,75i ist, ist das Ergebnis die komplexe Zahl:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Beachten Sie, dass in der Summe der Real- und der Imaginärteil nicht zusammen gruppiert werden können, sodass eine komplexe Zahl immer einen Realteil und einen Imaginärteil hat.

Diese Operation erweitert den Satz reeller Zahlen auf die breitesten komplexen Zahlen.

Anwendungen

Der Name der imaginären Zahlen wurde vom französischen Mathematiker René Descartes (1596-1650) als Spott oder Widerspruch zu dem Vorschlag des italienischen Mathematikers Raffaelle Bombelli aus dem Jahrhundert vorgeschlagen.

Andere große Mathematiker wie Euler und Leibniz unterstützten Descartes bei dieser Meinungsverschiedenheit und nannten imaginäre Zahlen amphibische Zahlen, die zwischen Sein und Nichts hin- und hergerissen wurden.

Der Name der imaginären Zahlen bleibt bis heute erhalten, aber ihre Existenz und Bedeutung ist sehr real und greifbar, da sie in vielen Bereichen der Physik auf natürliche Weise vorkommen, wie zum Beispiel:

-Die Relativitätstheorie.

-Im Elektromagnetismus.

-Quantenmechanik.

Übungen mit imaginären Zahlen

- Übung 1

Finden Sie die Lösungen der folgenden Gleichung:

z ² + 16 = 0

Lösung

z ² = -16

Wir haben in beiden Mitgliedern eine Quadratwurzel:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Mit anderen Worten sind die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

z = + 4i oz = -4i.

- Übung 2

Finden Sie das Ergebnis der Erhöhung der imaginären Einheit auf die Potenz 5 abzüglich der Subtraktion der imaginären Einheit auf die Potenz -5.

Lösung

i ⁵ - i - ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Übung 3

Finden Sie das Ergebnis der folgenden Operation:

(3i) ³ + 9i

Lösung

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Übung 4

Finden Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

(-2x) ² + 2 = 0

Lösung

Die Gleichung wird wie folgt neu angeordnet:

(-2x) ² = -2

Dann wird die Quadratwurzel beider Mitglieder gezogen

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Dann lösen wir nach x, um endlich zu erhalten:

x = ± √2 / 2 i

Das heißt, es gibt zwei mögliche Lösungen:

x = (√2 / 2) i

Oder dieses andere:

x = - (√2 / 2) i

- Übung 5

Finden Sie den Wert von Z definiert durch:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Lösung

Wir wissen, dass die Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl eine imaginäre Zahl ist, zum Beispiel ist √ (-9) gleich √ (9) x √ (-1) = 3i.

Andererseits ist √ (-4) gleich √ (4) x √ (-1) = 2i.

Die ursprüngliche Gleichung kann also ersetzt werden durch:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Übung 6

Finden Sie den Wert von Z, der sich aus der folgenden Division zweier komplexer Zahlen ergibt:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Lösung

Der Zähler des Ausdrucks kann mit der folgenden Eigenschaft berücksichtigt werden:

So:

Z = / (3 + i)

Der resultierende Ausdruck wird unten vereinfacht

Z = (3 - i)

Verweise

1. Earl, R. Komplexe Zahlen. Wiederhergestellt von: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. CO-BO-Ausgaben.
3. Hoffmann, J. 2005. Auswahl mathematischer Themen. Monfort Veröffentlichungen.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Imaginäre Zahl. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org