EULERNUMMER ODER E-NUMMER: WIE VIEL IST ES WERT, EIGENSCHAFTEN, ANWENDUNGEN - MATHE - 2025

Die Euler-Zahl oder Zahl e ist eine bekannte mathematische Konstante, die in zahlreichen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Anwendungen häufig vorkommt, zusammen mit der Zahl π und anderen wichtigen Zahlen in der Mathematik.

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner gibt den folgenden Wert für die Zahl e zurück:

Abbildung 1. Eulers Nummer erscheint häufig in der Wissenschaft. Quelle: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Es sind jedoch noch viele weitere Dezimalstellen bekannt, zum Beispiel:

e = 2.71828182845904523536…

Und moderne Computer haben Billionen von Dezimalstellen für die Zahl e gefunden.

Es ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie eine unendliche Anzahl von Dezimalstellen ohne sich wiederholendes Muster hat (die Folge 1828 erscheint am Anfang zweimal und wird nicht mehr wiederholt).

Und es bedeutet auch, dass die Zahl e nicht als Quotient aus zwei ganzen Zahlen erhalten werden kann.

Geschichte

Die Zahl e wurde 1683 vom Wissenschaftler Jacques Bernoulli identifiziert, als er das Problem des Zinseszinses untersuchte. Zuvor war sie jedoch indirekt in den Werken des schottischen Mathematikers John Napier aufgetaucht, der um 1618 Logarithmen erfand.

Es war jedoch Leonhard Euler im Jahr 1727, der ihm den Namen Nummer e gab und seine Eigenschaften intensiv untersuchte. Aus diesem Grund wird es auch als Eulernummer und als natürliche Basis für die derzeit verwendeten natürlichen Logarithmen (Exponenten) bezeichnet.

Wie viel ist die Zahl e wert?

Die Zahl e ist wert:

e = 2.71828182845904523536…

Die Auslassungspunkte bedeuten, dass es unendlich viele Dezimalstellen gibt, und tatsächlich sind bei heutigen Computern Millionen von ihnen bekannt.

Darstellungen der Nummer e

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, e zu definieren, die wir unten beschreiben:

Die Zahl e als Grenze

Eine der verschiedenen Arten, wie die Zahl e ausgedrückt wird, ist die, die der Wissenschaftler Bernoulli in seinen Arbeiten zum Zinseszins gefunden hat:

In dem müssen Sie den Wert n zu einer sehr großen Zahl machen.

Mit Hilfe eines Taschenrechners kann leicht überprüft werden, ob der vorherige Ausdruck bei sehr großen n zu dem oben angegebenen Wert von e tendiert.

Natürlich können wir uns fragen, wie groß n gemacht werden kann, also versuchen wir es mit runden Zahlen, wie zum Beispiel:

n = 1000; 10.000 oder 100.000

Im ersten Fall erhalten wir e = 2.7169239…. Im zweiten e = 2.7181459… und im dritten ist es viel näher am Wert von e: 2.7182682. Wir können uns bereits vorstellen, dass mit n = 1.000.000 oder mehr die Annäherung noch besser ist.

In der mathematischen Sprache wird das Verfahren, n einem sehr großen Wert immer näher zu bringen, als Grenze zur Unendlichkeit bezeichnet und wie folgt bezeichnet:

Zur Bezeichnung der Unendlichkeit wird das Symbol "∞" verwendet.

Die Zahl e als Summe

Es ist auch möglich, die Nummer e durch diese Operation zu definieren:

Die Zahlen im Nenner: 1, 2, 6, 24, 120… entsprechen der Operation n!, Wobei:

Und per Definition 0! = 1.

Es ist leicht zu überprüfen, ob die Anzahl e umso genauer erreicht wird, je mehr Addends hinzugefügt werden.

Lassen Sie uns einige Tests mit dem Taschenrechner durchführen und immer mehr Addends hinzufügen:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Je mehr Begriffe zur Summe hinzugefügt werden, desto ähnlicher ist das Ergebnis e.

Mathematiker entwickelten eine kompakte Notation für diese Summen mit vielen Begriffen unter Verwendung des Summationssymbols Σ:

Dieser Ausdruck wird wie folgt gelesen: "Summe von n = 0 bis unendlich 1 zwischen n Fakultät".

Die Zahl e aus geometrischer Sicht

Die Zahl e hat eine grafische Darstellung in Bezug auf die Fläche unter dem Diagramm der Kurve:

y = 1 / x

Wenn die Werte von x zwischen 1 und e liegen, ist dieser Bereich gleich 1, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Abbildung 2. Grafische Darstellung der Zahl e: Die Fläche unter der 1 / x-Kurve zwischen x = 1 und x = e ist 1 wert. Quelle: F. Zapata.

Eigenschaften der Nummer e

Einige der Eigenschaften der Zahl e sind:

-Es ist irrational, mit anderen Worten, es kann nicht einfach durch Teilen von zwei ganzen Zahlen erhalten werden.

-Die Zahl e ist auch eine transzendente Zahl, was bedeutet, dass e keine Lösung für eine Polynomgleichung ist.

-Es ist verwandt mit vier anderen berühmten Zahlen auf dem Gebiet der Mathematik, nämlich: π, i, 1 und 0, durch die Euler-Identität:

-Die sogenannten komplexen Zahlen können durch e ausgedrückt werden.

-Es bildet die Basis der natürlichen oder natürlichen Logarithmen der Gegenwart (die ursprüngliche Definition von John Napier unterscheidet sich ein wenig).

-Es ist die einzige Zahl, bei der der natürliche Logarithmus gleich 1 ist, dh:

Anwendungen

Statistiken

Die Zahl e erscheint sehr häufig im Bereich der Wahrscheinlichkeit und Statistik und kommt in verschiedenen Verteilungen vor, wie z. B. Normal oder Gauß, Poisson und anderen.

Ingenieurwesen

In der Technik ist dies häufig, da die Exponentialfunktion y = e ^x beispielsweise in der Mechanik und im Elektromagnetismus vorhanden ist. Unter den vielen Anwendungen können wir erwähnen:

- Ein Kabel oder eine Kette, die an den Enden hängt, nimmt die Form der Kurve an, die gegeben ist durch:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

- Ein anfänglich entladener Kondensator C, der zum Laden in Reihe mit einem Widerstand R und einer Spannungsquelle V geschaltet ist, erhält eine bestimmte Ladung Q als Funktion der Zeit t, gegeben durch:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

Biologie

Die Exponentialfunktion y = Ae ^Bx mit A- und B-Konstante wird verwendet, um das Zellwachstum und das Bakterienwachstum zu modellieren.

Körperlich

In der Kernphysik werden radioaktiver Zerfall und Altersbestimmung durch Radiokarbondatierung modelliert.

Wirtschaft

Bei der Berechnung des Zinseszinses ergibt sich natürlich die Zahl e.

Angenommen, Sie haben einen bestimmten Geldbetrag P _o , um mit einem Zinssatz von i% pro Jahr zu investieren.

Wenn Sie das Geld für 1 Jahr verlassen, haben Sie nach dieser Zeit:

Nach einem weiteren Jahr ohne es zu berühren, haben Sie:

Und das n Jahre lang so:

Erinnern wir uns nun an eine der Definitionen von e:

Es sieht ein bisschen wie der Ausdruck für P aus, also muss es eine Beziehung geben.

Wir werden den Nominalzins i in n Zeiträumen verteilen. Auf diese Weise beträgt der Zinseszins i / n:

Dieser Ausdruck ähnelt eher unserer Grenze, ist aber immer noch nicht genau derselbe.

Nach einigen algebraischen Manipulationen kann jedoch gezeigt werden, dass durch diese Änderung der Variablen:

Unser Geld P wird:

Und was zwischen den geschweiften Klammern steht, selbst wenn es mit dem Buchstaben h geschrieben ist, entspricht dem Argument der Grenze, die die Zahl e definiert, wobei nur die Grenze fehlt.

Machen wir h → ∞, und was zwischen den Klammern steht, wird zur Zahl e. Dies bedeutet nicht, dass wir unendlich lange warten müssen, um unser Geld abzuheben.

Wenn wir genau hinschauen, indem wir h = n / i machen und zu ∞ tendieren, haben wir tatsächlich den Zinssatz über sehr, sehr kleine Zeiträume verteilt:

i = n / h

Dies wird als kontinuierliches Compoundieren bezeichnet. In einem solchen Fall lässt sich der Geldbetrag leicht wie folgt berechnen:

Wobei i der jährliche Zinssatz ist. Wenn Sie beispielsweise nach einem Jahr 12 € zu 9% pro Jahr durch kontinuierliche Kapitaleinzahlung einzahlen, haben Sie:

Mit einem Gewinn von 1,13 €.

Verweise

1. Viel Spaß mit Mathe. Zinseszins: Periodische Zusammensetzung. Wiederhergestellt von: Enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. CO-BO-Ausgaben.
3. García, M. Die Zahl e in der Elementarrechnung. Wiederhergestellt von: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. McGraw Hill.