MESSUNGEN DER ZENTRALEN TENDENZ FÜR GEPOOLTE DATEN (BEISPIELE) - MATHE - 2025

Die Maße der zentralen Tendenz gruppierter Daten werden in Statistiken verwendet, um bestimmte Verhaltensweisen einer Gruppe gelieferter Daten zu beschreiben, z. B. welchen Wert sie nahe haben, wie hoch der Durchschnitt der gesammelten Daten ist.

Wenn Sie eine große Datenmenge aufnehmen, ist es hilfreich, sie zu gruppieren, um eine bessere Reihenfolge zu erhalten und damit bestimmte Maße der zentralen Tendenz berechnen zu können.

Zu den am häufigsten verwendeten Maßen für die zentrale Tendenz gehören das arithmetische Mittel, der Median und der Modus. Diese Zahlen geben Aufschluss über bestimmte Eigenschaften der in einem bestimmten Experiment gesammelten Daten.

Um diese Kennzahlen verwenden zu können, müssen Sie zunächst wissen, wie ein Datensatz gruppiert wird.

Gruppierte Daten

Um Daten zu gruppieren, müssen Sie zuerst den Bereich der Daten berechnen, der durch Subtrahieren des höchsten Werts abzüglich des niedrigsten Werts der Daten erhalten wird.

Dann wird eine Zahl "k" gewählt, die die Anzahl der Klassen ist, in denen wir die Daten gruppieren möchten.

Der Bereich wird durch "k" geteilt, um die Amplitude der zu gruppierenden Klassen zu erhalten. Diese Zahl ist C = R / k.

Schließlich beginnt die Gruppierung, für die eine Zahl gewählt wird, die kleiner als der niedrigste Wert der erhaltenen Daten ist.

Diese Zahl ist die Untergrenze der ersten Klasse. Dazu kommt C. Der erhaltene Wert ist die Obergrenze der ersten Klasse.

Dann wird C zu diesem Wert addiert und die Obergrenze der zweiten Klasse erhalten. Auf diese Weise erhalten wir die Obergrenze der letzten Klasse.

Nachdem die Daten gruppiert wurden, können Mittelwert, Median und Modus berechnet werden.

Um zu veranschaulichen, wie das arithmetische Mittel, der Median und der Modus berechnet werden, werden wir mit einem Beispiel fortfahren.

Beispiel

Daher wird beim Gruppieren der Daten eine Tabelle wie die folgende erhalten:

Die 3 Hauptmaße der zentralen Tendenz

Nun werden wir das arithmetische Mittel, den Median und den Modus berechnen. Das obige Beispiel wird verwendet, um dieses Verfahren zu veranschaulichen.

1- Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel besteht darin, jede Frequenz mit dem Durchschnitt des Intervalls zu multiplizieren. Dann werden alle diese Ergebnisse addiert und schließlich durch die Gesamtdaten geteilt.

Unter Verwendung des vorherigen Beispiels würde erhalten, dass das arithmetische Mittel gleich ist:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5,11111

Dies zeigt an, dass der Mittelwert der Daten in der Tabelle 5,11111 beträgt.

2- Mittel

Um den Median eines Datensatzes zu berechnen, ordnen wir zuerst alle Daten vom kleinsten zum größten. Zwei Fälle können auftreten:

- Wenn die Anzahl der Daten ungerade ist, ist der Median die Daten, die genau in der Mitte liegen.

- Wenn die Anzahl der Daten gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden Daten, die sich in der Mitte befinden.

Bei gruppierten Daten erfolgt die Berechnung des Medians wie folgt:

- N / 2 wird berechnet, wobei N die Gesamtdaten sind.

- Das erste Intervall, in dem die akkumulierte Frequenz (die Summe der Frequenzen) größer als N / 2 ist, wird gesucht und die untere Grenze dieses Intervalls ausgewählt, Li genannt.

Der Median ergibt sich aus folgender Formel:

Me = Li + (Ls-Li) * (N / 2 - akkumulierte Frequenz vor Li) / Frequenz von [Li, Ls)

Ls ist die Obergrenze des oben genannten Intervalls.

Wenn die vorherige Datentabelle verwendet wird, ist N / 2 = 18/2 = 9. Die akkumulierten Frequenzen sind 4, 8, 14 und 18 (eine für jede Zeile der Tabelle).

Daher muss das dritte Intervall ausgewählt werden, da die kumulative Häufigkeit größer als N / 2 = 9 ist.

Also Li = 5 und Ls = 7. Wenn Sie die oben beschriebene Formel anwenden, müssen Sie:

Me = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≤ 5,3333.

3- Mode

Der Modus ist der Wert mit der höchsten Häufigkeit unter allen gruppierten Daten. Dies ist der Wert, der im ursprünglichen Datensatz am häufigsten wiederholt wird.

Wenn Sie eine sehr große Datenmenge haben, wird die folgende Formel verwendet, um den Modus der gruppierten Daten zu berechnen:

Mo = Li + (Ls-Li) * (Frequenz von Li - Frequenz von L (i-1)) / ((Frequenz von Li - Frequenz von L (i-1)) + (Frequenz von Li - Frequenz von L ( i + 1)))

Das Intervall [Li, Ls) ist das Intervall, in dem die höchste Frequenz gefunden wird. Für das in diesem Artikel erstellte Beispiel ist der Modus gegeben durch:

Mo = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

Eine andere Formel, die verwendet wird, um einen ungefähren Wert für den Modus zu erhalten, ist die folgende:

Mo = Li + (Ls-Li) * (Frequenz L (i + 1)) / (Frequenz L (i-1) + Frequenz L (i + 1)).

Mit dieser Formel lauten die Konten wie folgt:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

Verweise

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