INVERSE MATRIX: BERECHNUNG UND GELÖSTE ÜBUNG - MATHE - 2024

Die inverse Matrix einer gegebenen Matrix ist die Matrix, die mit dem Original multipliziert wird und die Identitätsmatrix ergibt. Die inverse Matrix ist nützlich zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, daher ist es wichtig zu wissen, wie man sie berechnet.

Matrizen sind in Physik, Ingenieurwesen und Mathematik sehr nützlich, da sie ein kompaktes Werkzeug zur Lösung komplexer Probleme sind. Die Nützlichkeit von Matrizen wird verbessert, wenn sie invertierbar sind und ihre Umkehrung ebenfalls bekannt ist.

Abbildung 1. Eine generische 2 × 2-Matrix und ihre inverse Matrix sind dargestellt. (Vorbereitet von Ricardo Pérez)

In den Bereichen Grafikverarbeitung, Big Data, Data Mining, maschinelles Lernen und anderen werden effiziente und schnelle Algorithmen verwendet, um die inverse Matrix von nxn-Matrizen mit sehr großem n in der Größenordnung von Tausenden oder Millionen zu bewerten.

Um die Verwendung der inversen Matrix bei der Handhabung eines linearen Gleichungssystems zu veranschaulichen, beginnen wir mit dem einfachsten Fall von allen: 1 × 1-Matrizen.

Der einfachste Fall: Eine lineare Gleichung einer einzelnen Variablen wird betrachtet: 2 x = 10.

Die Idee ist, den Wert von x zu finden, aber es wird "Matrix" gemacht.

Die Matrix M = (2), die den Vektor (x) multipliziert, ist eine 1 × 1-Matrix, die den Vektor (10) ergibt:

M (x) = (10)

Die Inverse der Matrix M durch M bezeichnet ^-1 .

Die allgemeine Art, dieses "lineare System" zu schreiben, ist:

MX = B, wobei X der Vektor (x) und B der Vektor (10) ist.

Per Definition ist die inverse Matrix diejenige, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird und die Identitätsmatrix I ergibt:

M ^-1 M = I.

Im betrachteten Fall ist die Matrix M ^-1 die Matrix (½), ^dh M ^-1 = (½), da M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I.

Um den unbekannten Vektor X = (x) zu finden, werden in der vorgeschlagenen Gleichung beide Elemente mit der inversen Matrix multipliziert:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Es wurde eine Gleichheit von zwei Vektoren erreicht, die nur dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind, dh x = 5.

Berechnung der Inversen einer Matrix

Was die Berechnung der inversen Matrix motiviert, ist die Suche nach einer universellen Methode zur Lösung linearer Systeme wie dem folgenden 2 × 2-System:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

In Anlehnung an die im vorherigen Abschnitt untersuchten Schritte des 1 × 1-Falls schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform:

Abbildung 2. Lineares System in Matrixform.

Beachten Sie, dass dieses System wie folgt in kompakter Vektornotation geschrieben ist:

MX = B.

wo

Der nächste Schritt besteht darin, die Umkehrung von M zu finden.

Methode 1: Verwenden der Gaußschen Eliminierung

Die Gaußsche Eliminierungsmethode wird angewendet. Diese Operationen bestehen aus elementaren Operationen an den Zeilen der Matrix:

- Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Zahl ungleich Null.

- Addieren oder subtrahieren Sie eine andere Zeile von einer Zeile oder das Vielfache einer anderen Zeile.

- Tauschen Sie die Reihen.

Ziel ist es, durch diese Operationen die ursprüngliche Matrix in die Identitätsmatrix umzuwandeln.

Dabei werden in der Matrix M genau die gleichen Operationen auf die Identitätsmatrix angewendet. Wenn nach mehreren Operationen an den Zeilen M in die einheitliche Matrix transformiert wird, wird diejenige, die ursprünglich die Einheit war, zur inversen Matrix von M, ^dh M ^-1 .

1- Wir beginnen den Prozess mit dem Schreiben der Matrix M und daneben der Einheitsmatrix:

2- Wir addieren die beiden Zeilen und setzen das Ergebnis in die zweite Zeile. Auf diese Weise erhalten wir eine Null im ersten Element der zweiten Zeile:

3- Wir multiplizieren die zweite Reihe mit -1, um 0 und 1 in der zweiten Reihe zu erhalten:

4- Die erste Zeile wird mit ½ multipliziert:

5- Die zweite und die erste werden hinzugefügt und das Ergebnis wird in die erste Zeile gestellt:

6- Um den Prozess zu beenden, wird die erste Zeile mit 2 multipliziert, um die Identitätsmatrix in der ersten Zeile und die inverse Matrix der ursprünglichen Matrix M in der zweiten zu erhalten:

Das heißt:

Systemlösung

Sobald die inverse Matrix erhalten ist, wird das Gleichungssystem gelöst, indem die inverse Matrix auf beide Elemente der kompakten Vektorgleichung angewendet wird:

M ^-1 M X = M ^-1 B.

X = M ^-1 B.

Was explizit so aussieht:

Dann wird eine Matrixmultiplikation durchgeführt, um den Vektor X zu erhalten:

Methode 2: Verwenden der angehängten Matrix

Bei diesem zweiten Verfahren wird die inverse Matrix aus der adjungierten Matrix der ursprünglichen Matrix A berechnet .

Angenommen, eine Matrix A ist gegeben durch:

wobei _{i, j} ist das Element in Zeile i und Spalte j der Matrix A .

Die adjungierten der Matrix A wird aufgerufen werden Adj (A) und seine Elemente sind:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

wobei Ai, j die komplementäre untere Matrix ist, die durch Eliminieren der Zeile i und der Spalte j der ursprünglichen Matrix A erhalten wird . Die Balken ¦ ¦ zeigen an, dass die Determinante berechnet wird , dh ¦Ai, j¦ ist die Determinante der kleinen komplementären Matrix.

Inverse Matrixformel

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ausgehend von der angrenzenden Matrix der ursprünglichen Matrix lautet wie folgt:

Ist die inverse Matrix von A , A ^-1 , ist die Transponierte des adjungierten von A geteilt durch die Determinante von A .

Die Transponierung A ^T einer Matrix A wird erhalten, indem Zeilen gegen Spalten ausgetauscht werden, dh die erste Zeile wird zur ersten Spalte und die zweite Zeile wird zur zweiten Spalte usw., bis die n Zeilen der ursprünglichen Matrix abgeschlossen sind.

Übung gelöst

Die Matrix A sei wie folgt:

Jedes Element der adjungierten Matrix von A wird berechnet: Adj (A)

Daraus resultiert, dass die adjungierte Matrix von A, Adj (A) die folgende ist:

Dann wird die Determinante der Matrix A, det (A) berechnet:

Schließlich wird die inverse Matrix von A erhalten:

Verweise

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanten & Matrizen. Pass-Veröffentlichung.
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