GAUSS-SEIDEL-METHODE: ERKLÄRUNG, ANWENDUNGEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Gauß-Seidel- Methode ist ein iteratives Verfahren zum Finden von Näherungslösungen für ein System linearer algebraischer Gleichungen mit willkürlich gewählter Genauigkeit. Das Verfahren wird auf quadratische Matrizen mit Nicht-Null-Elementen in ihren Diagonalen angewendet, und die Konvergenz ist garantiert, wenn die Matrix diagonal dominant ist.

Es wurde von Carl Friedrich Gauss (1777-1855) geschaffen, der 1823 einem seiner Schüler eine private Demonstration gab. Später wurde es 1874 von Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) offiziell veröffentlicht, daher der Name beider Mathematiker.

Abbildung 1. Die Gauß-Seidel-Methode konvergiert schnell, um die Lösung eines Gleichungssystems zu erhalten. Quelle: F. Zapata.

Für ein vollständiges Verständnis des Verfahrens muss bekannt sein, dass eine Matrix diagonal dominant ist, wenn der Absolutwert des diagonalen Elements jeder Zeile größer oder gleich der Summe der Absolutwerte der anderen Elemente derselben Zeile ist.

Mathematisch wird es so ausgedrückt:

Erklärung anhand eines einfachen Falls

Um zu veranschaulichen, woraus die Gauß-Seidel-Methode besteht, nehmen wir einen einfachen Fall, in dem die Werte von X und Y im unten gezeigten 2 × 2-System linearer Gleichungen gefunden werden können:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Schritte zum folgen

1- Zuerst müssen Sie feststellen, ob die Konvergenz sicher ist. Es ist sofort zu beobachten, dass es sich tatsächlich um ein diagonal dominantes System handelt, da in der ersten Reihe der erste Koeffizient einen höheren absoluten Wert hat als die anderen in der ersten Reihe:

-5 -> - 2-

Ebenso ist der zweite Koeffizient in der zweiten Reihe diagonal dominant:

--4 -> - 1-

2- Die Variablen X und Y werden gelöscht:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Es wird ein beliebiger Anfangswert gesetzt, der als "Startwert" bezeichnet wird: Xo = 1, I = 2.

4-Die Iteration beginnt: Um die erste Näherung X1, Y1 zu erhalten, wird der Startwert in die erste Gleichung von Schritt 2 und das Ergebnis in die zweite Gleichung von Schritt 2 eingesetzt:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Wir gehen auf ähnliche Weise vor, um die zweite Näherung der Lösung des Gleichungssystems zu erhalten:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Dritte Iteration:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Vierte Iteration als letzte Iteration dieses veranschaulichenden Falles:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Diese Werte stimmen ziemlich gut mit der Lösung überein, die mit anderen Auflösungsmethoden gefunden wurde. Der Leser kann dies mithilfe eines Online-Mathematikprogramms schnell überprüfen.

Analyse der Methode

Wie zu sehen ist, müssen bei der Gauß-Seidel-Methode die ungefähren Werte, die für die vorherige Variable in demselben Schritt erhalten wurden, durch die folgende Variable ersetzt werden. Dies unterscheidet es von anderen iterativen Methoden wie der von Jacobi, bei denen jeder Schritt die Annäherungen der vorherigen Stufe erfordert.

Die Gauß-Seidel-Methode ist keine parallele Prozedur, während die Gauß-Jordan-Methode dies ist. Dies ist auch der Grund dafür, dass die Gauß-Seidel-Methode eine schnellere Konvergenz aufweist - in weniger Schritten - als die Jordan-Methode.

Die diagonal dominante Matrixbedingung ist nicht immer erfüllt. In den meisten Fällen reicht es jedoch aus, nur die Zeilen des ursprünglichen Systems auszutauschen, um die Bedingung zu erfüllen. Darüber hinaus konvergiert das Verfahren fast immer, selbst wenn die diagonale Dominanzbedingung nicht erfüllt ist.

Das vorherige Ergebnis, das durch vier Iterationen der Gauß-Seidel-Methode erhalten wurde, kann in Dezimalform geschrieben werden:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Die genaue Lösung für das vorgeschlagene Gleichungssystem lautet:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Mit nur 4 Iterationen erhalten Sie ein Ergebnis mit einer Tausendstel Genauigkeit (0,001).

Abbildung 1 zeigt, wie aufeinanderfolgende Iterationen schnell zur exakten Lösung konvergieren.

Anwendungen

Die Gauß-Seidel-Methode ist nicht nur auf das 2 × 2-System linearer Gleichungen beschränkt. Das vorherige Verfahren kann verallgemeinert werden, um ein lineares System von n Gleichungen mit n Unbekannten zu lösen, das in einer Matrix wie dieser dargestellt wird:

A X = b

Wobei A eine nxn-Matrix ist, während X der Vektor n Komponenten der zu berechnenden n Variablen ist; und b ist ein Vektor, der die Werte der unabhängigen Terme enthält.

Um die Folge von Iterationen zu verallgemeinern, die im veranschaulichenden Fall auf ein nxn-System angewendet werden, aus dem die Variable Xi berechnet werden soll, wird die folgende Formel angewendet:

In dieser Gleichung:

- k ist der Index für den in Iteration k erhaltenen Wert.

-k + 1 gibt im Folgenden den neuen Wert an.

Die endgültige Anzahl von Iterationen wird bestimmt, wenn sich der in Iteration k + 1 erhaltene Wert von dem unmittelbar zuvor erhaltenen um einen Betrag & egr; unterscheidet, der genau die gewünschte Genauigkeit ist.

Beispiele für die Gauß-Seidel-Methode

- Beispiel 1

Schreiben Sie einen allgemeinen Algorithmus, der es ermöglicht, den Vektor der Näherungslösungen X eines linearen Gleichungssystems nxn unter Berücksichtigung der Koeffizientenmatrix A, des Vektors der unabhängigen Terme b , der Anzahl der Iterationen (i ter) und des Anfangswertes oder "Startwerts" zu berechnen „des Vektors X .

Lösung

Der Algorithmus besteht aus zwei "To" -Zyklen, einer für die Anzahl der Iterationen und der andere für die Anzahl der Variablen. Es wäre wie folgt:

Für k ∊

Für i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Beispiel 2

Überprüfen Sie die Funktionsweise des vorherigen Algorithmus anhand seiner Anwendung in der kostenlosen und kostenlos zu verwendenden mathematischen Software SMath Studio, die für Windows und Android verfügbar ist. Nehmen Sie als Beispiel den Fall der 2 × 2-Matrix, die uns geholfen hat, die Gauß-Seidel-Methode zu veranschaulichen.

Lösung

Abbildung 2. Lösung des Gleichungssystems des 2 x 2-Beispiels mit der SMath Studio-Software. Quelle: F. Zapata.

- Beispiel 3

Wenden Sie den Gauß-Seidel-Algorithmus für das folgende 3 × 3-Gleichungssystem an, das zuvor so angeordnet wurde, dass die Koeffizienten der Diagonale dominant sind (dh einen größeren absoluten Wert als die absoluten Werte der Koeffizienten von haben die gleiche Reihe):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 x 1 + 8 x 2 + 5 x 3 = 3

3 x 1 + 4 x 2 - 10 x 3 = 6

Verwenden Sie den Nullvektor als Startwert und berücksichtigen Sie fünf Iterationen. Kommentar zum Ergebnis.

Lösung

Abbildung 3. Lösung des Gleichungssystems von gelöstem Beispiel 3 mit SMath Studio. Quelle: F. Zapata.

Für dasselbe System mit 10 Iterationen anstelle von 5 werden die folgenden Ergebnisse erhalten: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Dies zeigt uns, dass fünf Iterationen ausreichen, um drei Dezimalstellen Genauigkeit zu erhalten, und dass die Methode schnell zur Lösung konvergiert.

- Beispiel 4

Finden Sie unter Verwendung des oben angegebenen Gauß-Seidel-Algorithmus die Lösung für das unten angegebene 4 × 4-Gleichungssystem:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x 1 - 1 x 2 + 10 x 3 - 1 x 4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Verwenden Sie diesen Startwert, um die Methode zu starten:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 und x4 = 0

Betrachten Sie 10 Iterationen und schätzen Sie den Fehler des Ergebnisses im Vergleich zur Iterationsnummer 11.

Lösung

Abbildung 4. Lösung des Gleichungssystems des gelösten Beispiels 4 mit SMath Studio. Quelle: F. Zapata.

Beim Vergleich mit der nächsten Iteration (Nummer 11) ist das Ergebnis identisch. Die größten Unterschiede zwischen den beiden Iterationen liegen in der Größenordnung von 2 × 10 ^-8 , was bedeutet, dass die angezeigte Lösung eine Genauigkeit von mindestens sieben Dezimalstellen aufweist.

Verweise

1. Iterative Lösungsmethoden. Gauß-Seidel. Wiederhergestellt von: cimat.mx
2. Numerische Methoden. Gauß-Seidel. Wiederhergestellt von: test.cua.uam.mx
3. Numerisch: Gauß-Seidel-Methode. Wiederhergestellt von: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauß-Seidel-Methode. Wiederhergestellt von: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauß-Seidel-Methode. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com