- Was ist Eulers Methode?
- Gelöste Übungen
- Übung 1
- Lösung
- Übung 2
- Lösung
- Übung 3
- Lösung
- Newtonsche Dynamik und Eulers Methode
- Übung 4
- Lösung
- Vorgeschlagene Übungen für zu Hause
- Übung 1
- Übung 2
- Verweise
Die Euler-Methode ist das grundlegendste und einfachste Verfahren, um numerische Lösungen zu finden, die einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung entsprechen, vorausgesetzt, die Anfangsbedingung ist bekannt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) ist die Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer einzelnen unabhängigen Variablen mit ihren Ableitungen in Beziehung setzt.
Aufeinanderfolgende Approximationen nach Eulers Methode. Quelle: Oleg Alexandrov
Wenn die größte Ableitung, die in der Gleichung erscheint, Grad eins ist, dann ist es eine gewöhnliche Differentialgleichung ersten Grades.
Der allgemeinste Weg, eine Gleichung ersten Grades zu schreiben, ist:
x = x 0
y = y 0
Was ist Eulers Methode?
Die Idee der Euler-Methode besteht darin, eine numerische Lösung für die Differentialgleichung im Intervall zwischen X 0 und X f zu finden .
Zunächst wird das Intervall in n + 1 Punkte diskretisiert:
x 0 , x 1 , x 2 , x 3 …, x n
Welche werden so erhalten:
x i = x 0 + ih
Wobei h die Breite oder Stufe der Teilintervalle ist:
Mit der Anfangsbedingung ist es dann auch möglich, die Ableitung am Anfang zu kennen:
y '(x o ) = f (x o , y o )
Diese Ableitung repräsentiert die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve der Funktion y (x) genau am Punkt:
Ao = (x o , y o )
Dann wird an dem folgenden Punkt eine ungefähre Vorhersage des Wertes der Funktion y (x) gemacht:
y (x 1 ) ≈ y 1
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Der nächste ungefähre Punkt der Lösung wurde dann erhalten, der entsprechen würde:
A 1 = (x 1 , y 1 )
Der Vorgang wird wiederholt, um die aufeinanderfolgenden Punkte zu erhalten
A 2 , A 3 …, x n
In der zu Beginn gezeigten Abbildung stellt die blaue Kurve die exakte Lösung der Differentialgleichung dar, und die rote Kurve repräsentiert die aufeinanderfolgenden Näherungspunkte, die durch das Euler-Verfahren erhalten wurden.
Gelöste Übungen
Übung 1
I ) Die Differentialgleichung sei:
Mit der Anfangsbedingung x = a = 0; und a = 1
Ermitteln Sie mit der Euler-Methode eine ungefähre Lösung von y an der Koordinate X = b = 0,5, indem Sie das Intervall in n = 5 Teile unterteilen.
Lösung
Die numerischen Ergebnisse sind wie folgt zusammengefasst:
Daraus wird geschlossen, dass die Lösung Y für den Wert 0,5 1,4851 beträgt.
Hinweis: Smath Studio, ein kostenloses Programm zur kostenlosen Verwendung, wurde zur Durchführung der Berechnungen verwendet.
Übung 2
II ) Fahren Sie mit der Differentialgleichung aus Übung I) fort, finden Sie die genaue Lösung und vergleichen Sie sie mit dem Ergebnis nach Eulers Methode. Finden Sie den Fehler oder Unterschied zwischen dem genauen und dem ungefähren Ergebnis.
Lösung
Die genaue Lösung ist nicht sehr schwer zu finden. Die Ableitung der Funktion sin (x) ist bekanntlich die Funktion cos (x). Daher lautet die Lösung y (x):
y (x) = sin x + C.
Damit die Anfangsbedingung erfüllt ist und (0) = 1 ist, muss die Konstante C gleich 1 sein. Das genaue Ergebnis wird dann mit dem ungefähren verglichen:
Es wird gefolgert, dass die Näherung in dem berechneten Intervall drei signifikante Genauigkeitszahlen aufweist.
Übung 3
III ) Betrachten Sie die unten angegebene Differentialgleichung und ihre Anfangsbedingungen:
y '(x) = - y 2
Mit der Anfangsbedingung x 0 = 0; und 0 = 1
Verwenden Sie die Euler-Methode, um ungefähre Werte der Lösung y (x) für das Intervall x = zu ermitteln. Verwenden Sie Schritt h = 0,1.
Lösung
Die Euler-Methode eignet sich sehr gut für die Verwendung mit einer Tabelle. In diesem Fall verwenden wir die Geogebra-Tabelle, ein kostenloses Open-Source-Programm.
Die Tabelle in der Abbildung zeigt drei Spalten (A, B, C), die erste ist die Variable x, die zweite Spalte repräsentiert die Variable y und die dritte Spalte ist die Ableitung y '.
Zeile 2 enthält die Anfangswerte von X, Y, Y '.
Der Werteschritt 0.1 wurde in die Zelle für die absolute Position ($ D $ 4) gestellt.
Der Anfangswert von y0 befindet sich in Zelle B2 und y1 befindet sich in Zelle B3. Zur Berechnung von y 1 wird die Formel verwendet:
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Diese Tabellenkalkulationsformel wäre Nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
In ähnlicher Weise würde sich y2 in Zelle B4 befinden und seine Formel ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
Die Abbildung zeigt auch den Graphen der exakten Lösung und die Punkte A, B,…, P der Näherungslösung nach Eulers Methode.
Newtonsche Dynamik und Eulers Methode
Die klassische Dynamik wurde von Isaac Newton (1643 - 1727) entwickelt. Die ursprüngliche Motivation von Leonard Euler (1707 - 1783), seine Methode zu entwickeln, bestand darin, die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes in verschiedenen physikalischen Situationen genau zu lösen.
Newtons zweites Gesetz wird normalerweise als Differentialgleichung zweiten Grades ausgedrückt:
Wobei x die Position eines Objekts zum Zeitpunkt t darstellt. Das Objekt hat eine Masse m und ist einer Kraft F ausgesetzt. Die Funktion f bezieht sich wie folgt auf Kraft und Masse:
Um die Euler-Methode anzuwenden, sind die Anfangswerte der Zeit t, der Geschwindigkeit v und der Position x erforderlich.
Die folgende Tabelle erklärt, wie ausgehend von den Anfangswerten t1, v1, x1 eine Annäherung der Geschwindigkeit v2 und der Position x2 zum Zeitpunkt t2 = t1 + & Dgr; t erhalten werden kann, wobei & Dgr; t eine kleine Zunahme darstellt und dem Schritt in dem Verfahren von entspricht Euler.
Übung 4
IV ) Eines der grundlegenden Probleme in der Mechanik ist das eines Massenblocks M, der an eine Feder (oder Feder) der elastischen Konstante K gebunden ist.
Newtons zweites Gesetz für dieses Problem würde folgendermaßen aussehen:
In diesem Beispiel nehmen wir der Einfachheit halber M = 1 und K = 1. Finden Sie ungefähre Lösungen für die Position x und die Geschwindigkeit v nach Eulers Methode für das Zeitintervall, indem Sie das Intervall in 12 Teile unterteilen.
Nehmen Sie 0 als Anfangszeitpunkt, Anfangsgeschwindigkeit 0 und Anfangsposition 1.
Lösung
Die numerischen Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
Die Diagramme der Position und Geschwindigkeit zwischen den Zeiten 0 und 1,44 werden ebenfalls angezeigt.
Vorgeschlagene Übungen für zu Hause
Übung 1
Verwenden Sie eine Tabelle, um eine ungefähre Lösung unter Verwendung der Euler-Methode für die Differentialgleichung zu bestimmen:
y '= - Exp (-y) mit den Anfangsbedingungen x = 0, y = -1 im Intervall x =
Beginnen Sie mit einem Schritt von 0,1. Zeichnen Sie das Ergebnis.
Übung 2
Finden Sie mithilfe einer Tabelle numerische Lösungen für die folgende quadratische Gleichung, wobei y eine Funktion der unabhängigen Variablen t ist.
y '' = - 1 / y² mit der Anfangsbedingung t = 0; und (0) = 0,5; y '(0) = 0
Finden Sie die Lösung im Intervall in einem Schritt von 0,05.
Zeichnen Sie das Ergebnis: y vs t; y 'vs t
Verweise
- Eurler-Methode Entnommen aus wikipedia.org
- Euler-Löser. Entnommen aus en.smath.com