VEKTORALGEBRA: GRUNDLAGEN, GRÖSSEN, VEKTOREN - MATHE

Die Vektoralgebra ist ein Zweig der Mathematik, der Systeme linearer Gleichungen, Vektoren, Matrizen, Vektorräume und linearer Transformationen untersucht. Es bezieht sich unter anderem auf Bereiche wie Engineering, Lösen von Differentialgleichungen, Funktionsanalyse, Operations Research, Computergrafik.

Ein weiterer Bereich, den die lineare Algebra übernommen hat, ist die Physik, da dadurch die Untersuchung physikalischer Phänomene entwickelt und mithilfe von Vektoren beschrieben werden konnte. Dies hat ein besseres Verständnis des Universums ermöglicht.

Grundlagen

Die Vektoralgebra entstand aus der Untersuchung der Quaternionen (Erweiterung reeller Zahlen) 1, i, j und k sowie aus der von Gibbs und Heaviside geförderten kartesischen Geometrie, die erkannte, dass Vektoren als Instrument für dienen würden verschiedene physikalische Phänomene darstellen.

Die Vektoralgebra wird anhand von drei Grundlagen untersucht:

Geometrisch

Vektoren werden durch Linien dargestellt, die eine Ausrichtung haben, und Operationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen Zahlen werden durch geometrische Methoden definiert.

Analytisch

Die Beschreibung der Vektoren und ihrer Operationen erfolgt mit Zahlen, die als Komponenten bezeichnet werden. Diese Art der Beschreibung ist das Ergebnis einer geometrischen Darstellung, da ein Koordinatensystem verwendet wird.

Axiomatisch

Eine Beschreibung der Vektoren erfolgt unabhängig vom Koordinatensystem oder jeder Art von geometrischer Darstellung.

Die Untersuchung von Figuren im Raum erfolgt durch ihre Darstellung in einem Bezugssystem, das in einer oder mehreren Dimensionen vorliegen kann. Zu den Hauptsystemen gehören:

- Eindimensionales System, bei dem es sich um eine gerade Linie handelt, bei der ein Punkt (O) den Ursprung darstellt und ein anderer Punkt (P) den Maßstab (die Länge) und seine Richtung bestimmt:

- Rechteckiges Koordinatensystem (zweidimensional), das aus zwei senkrechten Linien besteht, die als x-Achse und y-Achse bezeichnet werden und durch einen Punktursprung (O) verlaufen; Auf diese Weise wird die Ebene in vier Bereiche unterteilt, die als Quadranten bezeichnet werden. In diesem Fall ist ein Punkt (P) in der Ebene durch die Abstände gegeben, die zwischen den Achsen und P bestehen.

- Polarkoordinatensystem (zweidimensional). In diesem Fall besteht das System aus einem Punkt O (Ursprung), der als Pol bezeichnet wird, und einem Strahl mit Ursprung in O, der als Polarachse bezeichnet wird. In diesem Fall ist der Punkt P der Ebene in Bezug auf den Pol und die Polarachse durch den Winkel (Ɵ) gegeben, der durch den Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt P gebildet wird.

- Rechteckiges dreidimensionales System, gebildet aus drei senkrechten Linien (x, y, z), deren Ursprung ein Punkt O im Raum ist. Es werden drei Koordinatenebenen gebildet: xy, xz und yz; Der Raum wird in acht Regionen unterteilt, die als Oktanten bezeichnet werden. Die Referenz eines Punktes P im Raum ergibt sich aus den Abständen zwischen den Ebenen und P.

Größen

Eine Größe ist eine physikalische Größe, die durch einen numerischen Wert gezählt oder gemessen werden kann, wie im Fall einiger physikalischer Phänomene; Oft ist es jedoch notwendig, diese Phänomene mit anderen als numerischen Faktoren beschreiben zu können. Aus diesem Grund werden die Größen in zwei Typen eingeteilt:

Skalare Größe

Dies sind die Größen, die numerisch definiert und dargestellt werden. das heißt, durch ein Modul zusammen mit einer Maßeinheit. Beispielsweise:

a) Zeit: 5 Sekunden.

b) Masse: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatur: 40 ºC.

Vektorgröße

Dies sind die Größen, die durch ein Modul zusammen mit einer Einheit sowie durch einen Sinn und eine Richtung definiert und dargestellt werden. Beispielsweise:

a) Geschwindigkeit: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Beschleunigung: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120 °.

d) Gewicht: -40 ĵ kg-f.

Vektorgrößen werden grafisch durch Vektoren dargestellt.

Was sind Vektoren?

Vektoren sind grafische Darstellungen einer Vektorgröße; Das heißt, sie sind Liniensegmente, in denen ihr letztes Ende die Spitze eines Pfeils ist.

Diese werden durch sein Modul oder die Länge des Segments, seine Richtung, die durch die Pfeilspitze angezeigt wird, und seine Richtung gemäß der Linie, zu der es gehört, bestimmt. Der Ursprung eines Vektors wird auch als Anwendungspunkt bezeichnet.

Die Elemente eines Vektors sind wie folgt:

Modul

Dies ist der Abstand vom Ursprung bis zum Ende eines Vektors, dargestellt durch eine reelle Zahl zusammen mit einer Einheit. Beispielsweise:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresse

Es ist das Maß für den Winkel, der zwischen der x-Achse (vom Positiv) und dem Vektor besteht, sowie die Kardinalpunkte (Nord, Süd, Ost und West) werden verwendet.

Sinn

Es wird durch die Pfeilspitze am Ende des Vektors angezeigt, die angibt, wohin es geht.

Klassifikation von Vektoren

Im Allgemeinen werden Vektoren wie folgt klassifiziert:

Vektor behoben

Es ist eines, dessen Anwendungspunkt (Ursprung) festgelegt ist; Das heißt, es bleibt mit einem Punkt im Raum verbunden, sodass es sich nicht darin bewegen kann.

Freier Vektor

Es kann sich frei im Raum bewegen, da sich sein Ursprung zu einem beliebigen Punkt bewegt, ohne sein Modul, seine Richtung oder Richtung zu ändern.

Schiebereglervektor

Es ist eines, das seinen Ursprung entlang seiner Wirkungslinie übertragen kann, ohne sein Modul, seine Richtung oder Richtung zu ändern.

Eigenschaften von Vektoren

Zu den Haupteigenschaften von Vektoren gehören:

Vektoren Teamlinsen

Sie sind jene freien Vektoren, die das gleiche Modul, die gleiche Richtung (oder sie sind parallel) haben und als Gleitvektor oder fester Vektor erfassen.

Äquivalente Vektoren

Es tritt auf, wenn zwei Vektoren dieselbe Richtung haben (oder parallel sind), denselben Sinn haben und trotz unterschiedlicher Module und Anwendungspunkte dieselben Effekte verursachen.

Vektorgleichheit

Diese haben das gleiche Modul, die gleiche Richtung und den gleichen Sinn, auch wenn ihre Startpunkte unterschiedlich sind, wodurch sich ein paralleler Vektor selbst verschieben kann, ohne ihn zu beeinflussen.

Gegenüberliegende Vektoren

Sie sind diejenigen, die das gleiche Modul und die gleiche Richtung haben, aber ihre Bedeutung ist entgegengesetzt.

Einheitsvektor

Es ist eines, bei dem das Modul gleich der Einheit (1) ist. Dies wird durch Teilen des Vektors durch sein Modul erhalten und verwendet, um die Richtung und den Sinn eines Vektors entweder in der Ebene oder im Raum unter Verwendung der Basis- oder normalisierten Einheitsvektoren zu bestimmen, die sind:

Nullvektor

Es ist eines, dessen Modul gleich 0 ist; Das heißt, sein Ursprungs- und Endpunkt fallen am selben Punkt zusammen.

Komponenten eines Vektors

Die Komponenten eines Vektors sind jene Werte der Projektionen des Vektors auf die Achsen des Referenzsystems; Abhängig von der Zerlegung des Vektors, die auf zwei oder dreidimensionalen Achsen liegen kann, werden zwei bzw. drei Komponenten erhalten.

Die Komponenten eines Vektors sind reelle Zahlen, die positiv, negativ oder sogar null (0) sein können.

Wenn wir also einen Vektor Ā mit Ursprung in einem rechteckigen Koordinatensystem in der xy-Ebene (zweidimensional) haben, ist die Projektion auf der x-Achse Āx und die Projektion auf der y-Achse ist isy. Somit wird der Vektor als die Summe seiner Komponentenvektoren ausgedrückt.

Beispiele

Erstes Beispiel

Wir haben einen Vektor Ā, der vom Ursprung ausgeht und dessen Koordinaten angegeben sind. Somit ist der Vektor Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Wenn der Vektor Ā am Ursprung eines dreidimensionalen dreieckigen Koordinatensystems (im Raum) x, y, z bis zu einem anderen Punkt (P) wirkt, sind die Projektionen auf seinen Achsen Āx, Āy und Āz; Somit wird der Vektor als die Summe seiner drei Komponentenvektoren ausgedrückt.

Zweites Beispiel

Wir haben einen Vektor Ā, der vom Ursprung ausgeht und dessen Koordinaten angegeben sind. Somit ist der Vektor Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektoren mit ihren rechteckigen Koordinaten können als Basisvektoren ausgedrückt werden. Dazu darf jede Koordinate nur mit ihrem jeweiligen Einheitsvektor so multipliziert werden, dass sie für die Ebene und den Raum wie folgt ist:

Für die Ebene gilt: Ā = A _x i + A _y j.

Für den Raum gilt: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektoroperationen

Es gibt viele Größen, die ein Modul, einen Sinn und eine Richtung haben, wie z. B. Beschleunigung, Geschwindigkeit, Verschiebung, Kraft.

Diese werden in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft angewendet, und um sie anzuwenden, ist es in einigen Fällen erforderlich, Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Vektoren und Skalaren durchzuführen.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Die Addition und Subtraktion von Vektoren wird als eine einzige algebraische Operation betrachtet, da die Subtraktion als Summe geschrieben werden kann; Zum Beispiel kann die Subtraktion der Vektoren Ā und Ē ausgedrückt werden als:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Es gibt verschiedene Methoden, um die Addition und Subtraktion von Vektoren durchzuführen: Sie können grafisch oder analytisch sein.

Grafische Methoden

Wird verwendet, wenn ein Vektor Modul, Richtung und Richtung hat. Dazu werden Linien gezeichnet, die eine Figur bilden, die später zur Ermittlung des Ergebnisses beiträgt. Zu den bekanntesten gehören:

Parallelogrammmethode

Um zwei Vektoren zu addieren oder zu subtrahieren, wird auf der Koordinatenachse ein gemeinsamer Punkt ausgewählt, der den Ursprungspunkt der Vektoren darstellt, wobei Modul, Richtung und Richtung beibehalten werden.

Linien werden dann parallel zu den Vektoren gezeichnet, um ein Parallelogramm zu bilden. Der resultierende Vektor ist die Diagonale, die vom Ursprungspunkt beider Vektoren zum Scheitelpunkt des Parallelogramms verläuft:

Dreiecksmethode

Bei dieser Methode werden die Vektoren nacheinander platziert, wobei ihre Module, Richtungen und Richtungen beibehalten werden. Der resultierende Vektor ist die Vereinigung des Ursprungs des ersten Vektors mit dem Ende des zweiten Vektors:

analytische Methoden

Zwei oder mehr Vektoren können durch eine geometrische oder Vektormethode addiert oder subtrahiert werden:

Geometrische Methode

Wenn zwei Vektoren ein Dreieck oder Parallelogramm bilden, wird m) .push ({});

- Skalare Verteilungseigenschaft: Wenn ein Vektor mit der Summe zweier Skalare multipliziert wird, entspricht dies der Multiplikation des Vektors für jeden Skalar.

Multiplikation von Vektoren

Die Multiplikation oder das Produkt von Vektoren könnte als Addition oder Subtraktion erfolgen, aber auf diese Weise verliert die physikalische Bedeutung und wird in Anwendungen fast nie gefunden. Aus diesem Grund sind die am häufigsten verwendeten Produkttypen das Skalar- und das Vektorprodukt.

Skalarprodukt

Es ist auch als Punktprodukt zweier Vektoren bekannt. Wenn die Module zweier Vektoren mit dem Kosinus des kleinsten zwischen ihnen gebildeten Winkels multipliziert werden, wird ein Skalar erhalten. Um ein Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren auszudrücken, wird ein Punkt zwischen ihnen platziert. Dies kann wie folgt definiert werden:

Der Wert des Winkels, der zwischen den beiden Vektoren besteht, hängt davon ab, ob sie parallel oder senkrecht sind. Sie müssen also:

- Wenn die Vektoren parallel sind und den gleichen Sinn haben, ist Cosinus 0º = 1.

- Wenn die Vektoren parallel sind und entgegengesetzte Richtungen haben, ist der Kosinus 180º = -1.

- Wenn die Vektoren senkrecht sind, ist Cosinus 90º = 0.

Dieser Winkel kann auch berechnet werden, wenn man weiß:

Das Punktprodukt hat folgende Eigenschaften:

- Kommutative Eigenschaft: Die Reihenfolge der Vektoren ändert den Skalar nicht.

-Verteilungseigenschaft: Wenn ein Skalar mit der Summe zweier Vektoren multipliziert wird, entspricht dies der Multiplikation des Skalars für jeden Vektor.

Vektorprodukt

Die Vektormultiplikation oder das Kreuzprodukt zweier Vektoren A und B führt zu einem neuen Vektor C und wird unter Verwendung einer Kreuzung zwischen den Vektoren ausgedrückt:

Der neue Vektor hat seine eigenen Eigenschaften. Dieser Weg:

- Die Richtung: Dieser neue Vektor verläuft senkrecht zur Ebene, die durch die ursprünglichen Vektoren bestimmt wird.

- Die Richtung: Dies wird mit der Regel der rechten Hand bestimmt, wobei der Vektor A in Richtung B gedreht wird, wobei die Drehrichtung mit den Fingern angegeben wird und die Richtung des Vektors mit dem Daumen markiert wird.

- Das Modul: Es wird durch die Multiplikation der Module der Vektoren AxB mit dem Sinus des kleinsten Winkels bestimmt, der zwischen diesen Vektoren besteht. Es wird ausgedrückt:

Der Wert des Winkels, der zwischen den beiden Vektoren besteht, hängt davon ab, ob sie parallel oder senkrecht sind. Es ist also möglich, Folgendes anzugeben:

- Wenn die Vektoren parallel sind und den gleichen Sinn haben, ist Sinus 0º = 0.

- Wenn die Vektoren parallel sind und entgegengesetzte Richtungen haben, ist Sinus 180º = 0.

- Wenn die Vektoren senkrecht sind, ist Sinus 90º = 1.

Wenn ein Vektorprodukt in Form seiner Basisvektoren ausgedrückt wird, haben wir: