MORGAN LAWS - MATHE - 2025

Die Augen von Morgan sind Inferenzregeln, die in der Aussagenlogik verwendet werden und die das Ergebnis der Ablehnung einer Disjunktion und einer Verbindung von Sätzen oder Satzvariablen festlegen. Diese Gesetze wurden vom Mathematiker Augustus De Morgan definiert.

Morgans Gesetze sind ein sehr nützliches Werkzeug, um die Gültigkeit des mathematischen Denkens zu demonstrieren. Später wurden sie vom Mathematiker George Boole innerhalb des Mengenkonzepts verallgemeinert.

Diese von Boole vorgenommene Verallgemeinerung entspricht vollständig den ursprünglichen Morganschen Gesetzen, wurde jedoch speziell für Mengen und nicht für Sätze entwickelt. Diese Verallgemeinerung wird auch als Morgans Gesetze bezeichnet.

Überprüfung der Aussagenlogik

Bevor wir uns ansehen, was speziell Morgans Gesetze sind und wie sie angewendet werden, ist es hilfreich, sich an einige Grundbegriffe der Aussagenlogik zu erinnern. (Weitere Einzelheiten finden Sie im Artikel zur Aussagenlogik).

Im Bereich der mathematischen (oder aussagekräftigen) Logik ist eine Folgerung eine Schlussfolgerung, die aus einer Reihe von Prämissen oder Hypothesen hervorgeht. Diese Schlussfolgerung führt zusammen mit den oben genannten Prämissen zu einem sogenannten mathematischen Denken.

Eine solche Argumentation muss nachweisbar sein oder geleugnet werden. Das heißt, nicht alle Schlussfolgerungen oder Schlussfolgerungen im mathematischen Denken sind gültig.

Irrtum

Eine falsche Schlussfolgerung aus bestimmten Hypothesen, von denen angenommen wird, dass sie wahr sind, wird als Irrtum bezeichnet. Die Irrtümer haben die Besonderheit, Argumente zu sein, die richtig erscheinen, aber mathematisch nicht.

Die Aussagenlogik ist genau dafür verantwortlich, Methoden zu entwickeln und bereitzustellen, mit denen es ohne Mehrdeutigkeit möglich ist, eine mathematische Argumentation zu validieren oder zu widerlegen. das heißt, schließen Sie eine gültige Schlussfolgerung aus den Prämissen. Diese Methoden sind als Inferenzregeln bekannt, zu denen Morgans Gesetze gehören.

Vorschläge

Die wesentlichen Elemente der Aussagenlogik sind Sätze. Sätze sind Aussagen, von denen gesagt werden kann, dass sie gültig sind oder nicht, aber nicht gleichzeitig wahr oder falsch sein können. In dieser Angelegenheit sollte es keine Unklarheiten geben.

So wie Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kombiniert werden können, können Sätze mit den bekannten logischen Konnektiven (oder Konnektoren) betrieben werden: Negation (¬, "nicht"), Disjunktion (V. , "Oder"), Konjunktion (Ʌ, "und"), bedingt (→, "wenn …, dann …") und bikonditional (↔, "wenn und nur wenn").

Um allgemeiner zu arbeiten, werden, anstatt bestimmte Sätze zu berücksichtigen, Satzvariablen berücksichtigt, die irgendwelche Sätze darstellen, und sie werden normalerweise mit Kleinbuchstaben p, q, r, s usw. bezeichnet.

Eine Satzformel ist eine Kombination von Satzvariablen mittels einiger logischer Verknüpfungen. Mit anderen Worten, es ist eine Zusammensetzung von Satzvariablen. Sie werden normalerweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Es wird gesagt, dass eine Satzformel logischerweise eine andere impliziert, wenn die letztere jedes Mal wahr ist, wenn die erstere wahr ist. Dies wird bezeichnet durch:

Wenn die logische Implikation zwischen zwei Satzformeln wechselseitig ist - das heißt, wenn die vorherige Implikation auch im entgegengesetzten Sinne gültig ist -, werden die Formeln als logisch äquivalent bezeichnet und mit bezeichnet

Logische Äquivalenz ist eine Art Gleichheit zwischen Satzformeln und ermöglicht es, bei Bedarf eine durch die andere zu ersetzen.

Morgans Gesetze

Morgans Gesetze bestehen aus zwei logischen Äquivalenzen zwischen zwei Satzformen, nämlich:

Diese Gesetze erlauben es, die Negation einer Disjunktion oder Konjunktion als Negation der beteiligten Variablen zu trennen.

Die erste kann wie folgt gelesen werden: Die Negation einer Disjunktion ist gleich der Konjunktion der Negationen. Und die zweite lautet wie folgt: Die Negation einer Konjunktion ist die Disjunktion von Negationen.

Mit anderen Worten, das Leugnen der Disjunktion zweier Satzvariablen entspricht der Konjunktion der Negationen beider Variablen. Ebenso ist das Leugnen der Konjunktion zweier Satzvariablen gleichbedeutend mit der Disjunktion der Negationen beider Variablen.

Wie bereits erwähnt, hilft das Ersetzen dieser logischen Äquivalenz, wichtige Ergebnisse zusammen mit den anderen vorhandenen Inferenzregeln zu beweisen. Mit diesen können Sie viele Satzformeln vereinfachen, so dass es nützlicher ist, mit ihnen zu arbeiten.

Das Folgende ist ein Beispiel für einen mathematischen Beweis unter Verwendung von Inferenzregeln, einschließlich Morgans Gesetzen. Insbesondere wird gezeigt, dass die Formel:

Es ist äquivalent zu:

Letzteres ist einfacher zu verstehen und zu entwickeln.

Demonstration

Es ist erwähnenswert, dass die Gültigkeit von Morgans Gesetzen mathematisch nachgewiesen werden kann. Eine Möglichkeit besteht darin, Ihre Wahrheitstabellen zu vergleichen.

Sets

Dieselben Inferenzregeln und die Begriffe der Logik, die auf Sätze angewendet werden, können auch unter Berücksichtigung von Mengen entwickelt werden. Dies ist nach dem Mathematiker George Boole die sogenannte Boolesche Algebra.

Um die Fälle zu unterscheiden, ist es notwendig, die Notation zu ändern und in Mengen zu übertragen, alle bereits gesehenen Begriffe der Aussagenlogik.

Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten. Mengen werden durch Großbuchstaben A, B, C, X, … und die Elemente einer Menge durch Kleinbuchstaben a, b, c, x usw. bezeichnet. Wenn ein Element a zu einer Menge X gehört, wird es bezeichnet mit:

Wenn es nicht zu X gehört, lautet die Notation:

Die Darstellung von Mengen erfolgt durch Platzieren ihrer Elemente in geschweiften Klammern. Zum Beispiel wird die Menge der natürlichen Zahlen dargestellt durch:

Mengen können auch dargestellt werden, ohne eine explizite Liste ihrer Elemente zu schreiben. Sie können in der Form {:} ausgedrückt werden. Der Doppelpunkt wird "so dass" gelesen. Links von den beiden Punkten befindet sich eine Variable, die die Elemente der Menge darstellt, und rechts die Eigenschaft oder Bedingung, die sie erfüllen. Das ist:

Zum Beispiel kann die Menge ganzer Zahlen größer als -4 ausgedrückt werden als:

Oder gleichwertig und abgekürzt als:

In ähnlicher Weise repräsentieren die folgenden Ausdrücke die Mengen von ungeraden bzw. geraden Zahlen:

Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzungen von Mengen

Als nächstes werden wir die Analoga von logischen Verknüpfungen im Fall von Mengen sehen, die Teil der Grundoperationen zwischen Mengen sind.

Union und Kreuzung

Die Vereinigung und der Schnittpunkt von Mengen werden jeweils wie folgt definiert:

Betrachten Sie zum Beispiel die Mengen:

Also musst du:

Ergänzen

Das Komplement einer Menge wird durch die Elemente gebildet, die nicht zu dieser Menge gehören (vom gleichen Typ, den das Original darstellt). Das Komplement einer Menge A wird bezeichnet mit:

Beispielsweise ist innerhalb natürlicher Zahlen das Komplement der Menge der geraden Zahlen das der ungeraden Zahlen und umgekehrt.

Um das Komplement einer Menge zu bestimmen, muss die universelle oder prinzipielle Menge der betrachteten Elemente von Anfang an klar sein. Zum Beispiel ist es nicht dasselbe, das Komplement einer Menge über natürliche Zahlen als über rationale Zahlen zu betrachten.

Die folgende Tabelle zeigt die Beziehung oder Analogie, die zwischen den Operationen an zuvor definierten Mengen und den Konnektiven der Aussagenlogik besteht:

Morgans Gesetze für Sets

Schließlich sind Morgans Gesetze für Sets:

Mit Worten: Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnittpunkt der Komplemente, und das Komplement einer Schnittmenge ist die Vereinigung der Komplemente.

Ein mathematischer Beweis für die erste Gleichheit wäre der folgende:

Der Beweis des zweiten ist analog.

Verweise

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