EXPONENTENGESETZE (MIT BEISPIELEN UND GELÖSTEN ÜBUNGEN) - MATHE - 2025

Die Gesetze der Exponenten gelten für diese Zahl, die angibt, wie oft eine Basiszahl mit sich selbst multipliziert werden muss. Die Exponenten werden auch als Potenzen bezeichnet. Empowerment ist eine mathematische Operation, die aus einer Basis (a), dem Exponenten (m) und der Potenz (b) besteht, die das Ergebnis der Operation ist.

Exponenten werden im Allgemeinen verwendet, wenn sehr große Mengen verwendet werden, da dies nichts anderes als Abkürzungen sind, die die Multiplikation derselben Zahl eine bestimmte Anzahl von Malen darstellen. Exponenten können sowohl positiv als auch negativ sein.

Erklärung der Exponentengesetze

Wie bereits erwähnt, sind Exponenten eine Kurzform, die das mehrfache Multiplizieren von Zahlen darstellt, wobei sich der Exponent nur auf die Zahl links bezieht. Beispielsweise:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

In diesem Fall ist die Zahl 2 die Basis der Potenz, die dreimal multipliziert wird, wie durch den Exponenten in der oberen rechten Ecke der Basis angegeben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Ausdruck zu lesen: 2 auf 3 erhöht oder 2 auf den Würfel erhöht.

Die Exponenten geben auch an, wie oft sie geteilt werden können. Um diese Operation von der Multiplikation zu unterscheiden, hat der Exponent das Minuszeichen (-) vor sich (es ist negativ), was bedeutet, dass der Exponent im Nenner von a steht Fraktion. Beispielsweise:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Dies sollte nicht mit dem Fall verwechselt werden, in dem die Basis negativ ist, da dies davon abhängt, ob der Exponent ungerade oder gerade ist, um zu bestimmen, ob die Leistung positiv oder negativ ist. Also musst du:

- Wenn der Exponent gerade ist, ist die Leistung positiv. Beispielsweise:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Wenn der Exponent ungerade ist, ist die Leistung negativ. Beispielsweise:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Es gibt einen Sonderfall, in dem, wenn der Exponent gleich 0 ist, die Potenz gleich 1 ist. Es besteht auch die Möglichkeit, dass die Basis 0 ist; In diesem Fall ist die Leistung je nach Exponent unbestimmt oder nicht.

Um mathematische Operationen mit Exponenten durchzuführen, müssen verschiedene Regeln oder Normen befolgt werden, die es einfacher machen, die Lösung für diese Operationen zu finden.

Erstes Gesetz: Potenz des Exponenten gleich 1

Wenn der Exponent 1 ist, ist das Ergebnis der gleiche Wert der Basis: a ¹ = a.

Beispiele

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Zweites Gesetz: Potenz des Exponenten gleich 0

Wenn der Exponent 0 ist und die Basis ungleich Null ist, ist das Ergebnis: a ⁰ = 1.

Beispiele

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Drittes Gesetz: negativer Exponent

Da das Exponte negativ ist, ist das Ergebnis ein Bruchteil, wobei die Potenz der Nenner ist. Wenn beispielsweise m positiv ist , dann wird ein ^-m = 1 / a ^m .

Beispiele

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- ^8-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Viertes Gesetz: Multiplikation von Kräften mit gleicher Basis

Um Potenzen zu multiplizieren, bei denen die Basen gleich und verschieden von 0 sind, bleibt die Basis erhalten und die Exponenten werden addiert: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Beispiele

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Fünftes Gesetz: Gewaltenteilung mit gleicher Basis

Um Potenzen zu teilen, bei denen die Basen gleich und verschieden von 0 sind, wird die Basis beibehalten und die Exponenten wie folgt subtrahiert: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Beispiele

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^October = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49. ^Dezember / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Sechstes Gesetz: Multiplikation von Kräften mit unterschiedlicher Basis

Dieses Gesetz hat das Gegenteil von dem, was im vierten ausgedrückt wird; Das heißt, wenn Sie unterschiedliche Basen haben, aber dieselben Exponenten haben, werden die Basen multipliziert und der Exponent wird beibehalten: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Beispiele

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Eine andere Möglichkeit, dieses Gesetz darzustellen, besteht darin, eine Multiplikation zu einer Potenz zu erheben. Somit gehört der Exponent zu jedem der Begriffe: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Beispiele

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Siebtes Gesetz: Gewaltenteilung mit unterschiedlicher Basis

Wenn Sie unterschiedliche Basen mit denselben Exponenten haben, teilen Sie die Basen und behalten Sie den Exponenten bei: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Beispiele

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) , ⁴ = 5,5 ⁴ .

In ähnlicher Weise gehört der Exponent zu jedem der Begriffe, wenn eine Division zu einer Potenz erhoben wird: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Beispiele

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Es gibt den Fall, in dem der Exponent negativ ist. Um positiv zu sein, wird der Wert des Zählers wie folgt mit dem des Nenners invertiert:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Achtes Gesetz: Macht einer Macht

Wenn Sie eine Potenz haben, die auf eine andere Potenz erhöht wird - das heißt, zwei Exponenten gleichzeitig -, bleibt die Basis erhalten und die Exponenten werden multipliziert: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Beispiele

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Neuntes Gesetz: Bruchexponent

Wenn die Potenz einen Bruch als Exponenten hat, wird dies gelöst, indem sie in eine n-te Wurzel umgewandelt wird, wobei der Zähler als Exponent verbleibt und der Nenner den Index der Wurzel darstellt:

Beispiel

Gelöste Übungen

Übung 1

Berechnen Sie die Operationen zwischen Mächten mit unterschiedlichen Grundlagen:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Lösung

Unter Anwendung der Exponentenregeln werden die Basen im Zähler multipliziert und der Exponent wird wie folgt beibehalten:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Da wir nun die gleichen Basen mit unterschiedlichen Exponenten haben, wird die Basis beibehalten und die Exponenten subtrahiert:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Übung 2

Berechnen Sie die Operationen zwischen Mächten, die zu einer anderen Macht erhoben wurden:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Lösung

Bei Anwendung der Gesetze müssen Sie:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Verweise

1. Aponte, G. (1998). Grundlagen der Grundmathematik. Pearson Ausbildung.
2. Corbalán, F. (1997). Mathematik im Alltag.
3. Jiménez, JR (2009). Mathe 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra und Trigonometrie.
5. Rees, PK (1986). Reverte.