FERMAT LIMIT: WORAUS ES BESTEHT UND ÜBUNGEN GELÖST - MATHE - 2025

Die Fermat-Grenze ist eine numerische Methode, mit der der Wert der Steigung einer Linie ermittelt wird, die eine Funktion an einem bestimmten Punkt in ihrem Bereich tangiert. Es wird auch verwendet, um kritische Punkte einer Funktion zu erhalten. Sein Ausdruck ist definiert als:

Es ist offensichtlich, dass Fermat die Grundlagen der Ableitung nicht kannte, aber es waren seine Studien, die eine Gruppe von Mathematikern dazu veranlassten, sich nach Tangentenlinien und ihren Anwendungen in der Analysis zu erkundigen.

Was ist die Fermat-Grenze?

Es besteht aus einem Ansatz von 2 Punkten, die unter früheren Bedingungen eine Sekantenlinie zur Funktion mit Schnittpunkt in Wertepaaren bilden.

Durch Annäherung der Variablen an den Wert "a" wird das Punktepaar gezwungen, sich zu treffen. Auf diese Weise tangiert die zuvor sekantierte Linie den Punkt (a; f (a)).

Der Wert des Quotienten (x - a) ergibt bei Auswertung am Punkt "a" eine Unbestimmtheit der Grenzen des Typs K zwischen Null (K / 0). Wo durch verschiedene Factoring-Techniken diese Unbestimmtheiten gebrochen werden können.

Die am häufigsten verwendeten Betriebstechniken sind:

-Differenz der Quadrate (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Die Existenz des Elements (a - b) impliziert in den meisten Fällen den Faktor, der den Ausdruck (x - a) im Quotienten der Fermat-Grenze vereinfacht.

- Vervollständigung von Quadraten (ax ² + bx); Nach dem Vervollständigen der Quadrate wird ein Newton-Binom erhalten, wobei einer seiner beiden Faktoren durch den Ausdruck (x - a) vereinfacht wird, wodurch die Unbestimmtheit gebrochen wird.

- Konjugieren Sie (a + b) / (a ​​+ b); Das Multiplizieren und Teilen des Ausdrucks durch das Konjugat eines Faktors kann eine große Hilfe sein, um die Unbestimmtheit zu brechen.

- Gemeinsamer Faktor; In vielen Fällen verbirgt das Ergebnis der Betätigung des Zählers der Fermat-Grenze f (x) - f (a) den zum Faktorieren erforderlichen Faktor (x - a). Hierzu wird sorgfältig beobachtet, welche Elemente in jedem Faktor des Ausdrucks wiederholt werden.

Anwendung der Fermat-Grenze für Maxima und Minima

Obwohl die Fermat-Grenze nicht zwischen Maxima und Minima unterscheidet, da sie nur die kritischen Punkte gemäß ihrer Definition identifizieren kann, wird sie üblicherweise bei der Berechnung von Kappen oder Etagen von Funktionen in der Ebene verwendet.

Grundkenntnisse der grafischen Funktionstheorie in Verbindung mit diesem Theorem können ausreichen, um Maximal- und Minimalwerte zwischen Funktionen festzulegen. Tatsächlich können die Wendepunkte zusätzlich zum Fermatschen Theorem mit Hilfe des Mittelwertsatzes definiert werden.

Das kubische Gleichnis

Das wichtigste Paradoxon für Fermat war das Studium der kubischen Parabel. Da seine Aufmerksamkeit auf die Tangentenlinien einer Funktion für einen bestimmten Punkt gerichtet war, stieß er auf das Problem, diese Tangentenlinie am Wendepunkt in der Funktion zu definieren.

Es schien unmöglich, die Tangentenlinie zu einem Punkt zu bestimmen. Damit beginnt die Untersuchung, die zur Differentialrechnung führen würde. Wird später von wichtigen Vertretern der Mathematik definiert.

Maximus und minimal

Das Studium von Maxima und Minima einer Funktion war eine Herausforderung für die klassische Mathematik, für deren Definition eine eindeutige und praktische Methode erforderlich war.

Fermat hat eine Methode entwickelt, die auf der Operation kleiner Differenzwerte basiert, die nach Faktorisierungsprozessen eliminiert werden und dem angestrebten Maximal- und Minimalwert weichen.

Diese Variable muss im ursprünglichen Ausdruck ausgewertet werden, um die Koordinate dieses Punkts zu bestimmen, die zusammen mit analytischen Kriterien als Maximum oder Minimum des Ausdrucks definiert wird.

Methode

In seiner Methode verwendet Fermat die wörtliche Symbolik von Vieta, die in der ausschließlichen Verwendung von Großbuchstaben bestand: Vokale für Unbekannte und Konsonanten für bekannte Mengen.

Für den Fall radikaler Werte implementierte Fermat einen bestimmten Prozess, der später bei der Faktorisierung der Grenzen der Unendlichkeit unendlich zwischen unendlich verwendet werden sollte.

Dieser Prozess besteht darin, jeden Ausdruck durch den Wert des verwendeten Differentials zu teilen. Im Fall von Fermat verwendete er den Buchstaben E, wobei nach Division durch die höchste Potenz von E der gesuchte Wert des kritischen Punktes klar wird.

Geschichte

Die Fermat-Grenze ist in der Tat einer der am wenigsten bekannten Beiträge in der langen Liste des Mathematikers. Seine Studien gingen von Primzahlen bis zur Schaffung der Berechnungsgrundlage.

Fermat wiederum war bekannt für seine Exzentrizität in Bezug auf seine Hypothesen. Es war üblich, dass er den anderen Mathematikern der Zeit, als er bereits die Lösung oder den Beweis hatte, eine Art Herausforderung überließ.

Er hatte eine Vielzahl von Streitigkeiten und Allianzen mit verschiedenen Mathematikern seiner Zeit, die die Arbeit mit ihm entweder liebten oder hassten.

Sein letzter Satz war der Hauptverantwortliche für seinen weltweiten Ruhm, in dem er erklärte, dass eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für jeden Grad "n" unmöglich sei. Er behauptete, einen gültigen Beweis dafür zu haben, starb jedoch, bevor er ihn veröffentlichte.

Diese Demonstration musste ungefähr 350 Jahre warten. 1995 beendeten die Mathematiker Andrew Wiles und Richard Taylor die von Fermat hinterlassene Angst und bewiesen durch einen gültigen Beweis seines letzten Satzes, dass er Recht hatte.

Übungen

Übung 1

Definieren Sie die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve f (x) = x ² am Punkt (4, 16).

Wenn wir den Ausdruck der Fermat-Grenze einsetzen, haben wir:

Die Faktoren (x - 4) sind vereinfacht

Bei der Bewertung haben Sie

M = 4 + 4 = 8

Übung 2

Definieren Sie den kritischen Punkt des Ausdrucks f (x) = x ² + 4x mit der Fermat-Grenze

Eine strategische Gruppierung von Elementen wird durchgeführt, um die Paare XX ₀ zu gruppieren

Die kleinsten Quadrate werden entwickelt

Beachten Sie den gemeinsamen Faktor XX _{0 und extrahieren Sie}

Der Ausdruck kann jetzt vereinfacht und die Unbestimmtheit gebrochen werden

An den minimalen Punkten ist bekannt, dass die Steigung der Tangentenlinie gleich Null ist. Auf diese Weise können wir den gefundenen Ausdruck auf Null setzen und nach dem Wert X _{0 auflösen}

2 x ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Um die fehlende Koordinate zu erhalten, muss nur der Punkt in der ursprünglichen Funktion ausgewertet werden

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Der kritische Punkt ist P (-2, -4).

Verweise

1. Echte Analyse. Ein historischer Ansatz Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. August. 1999.
2. Die mathematische Karriere von Pierre de Fermat, 1601-1665: Zweite Auflage. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. Juni. 2018
3. Von Fermat bis Minkowski: Vorlesungen über die Zahlentheorie und ihre historische Entwicklung. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermats letzter Satz: Eine genetische Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. Januar 2000
5. Fermat Days 85: Mathematik zur Optimierung. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. Januar. 1986