MATHEMATISCHE LOGIK: URSPRUNG, WAS ES STUDIERT, TYPEN - MATHE - 2025

Die mathematische Logik oder symbolische Logik ist eine mathematische Sprache, die die Werkzeuge abdeckt, mit denen man eine mathematische Argumentation bestätigen oder leugnen kann.

Es ist bekannt, dass es in der Mathematik keine Unklarheiten gibt. Bei einem mathematischen Argument ist es entweder gültig oder einfach nicht. Es kann nicht gleichzeitig falsch und wahr sein.

Ein besonderer Aspekt der Mathematik ist, dass sie eine formale und strenge Sprache hat, mit der die Gültigkeit eines Arguments bestimmt werden kann. Was macht eine bestimmte Argumentation oder einen mathematischen Beweis unwiderlegbar? Darum geht es in der mathematischen Logik.

Logik ist also die Disziplin der Mathematik, die für das Studium des mathematischen Denkens und der Beweise verantwortlich ist und die Werkzeuge bereitstellt, um aus früheren Aussagen oder Aussagen auf eine korrekte Schlussfolgerung schließen zu können.

Zu diesem Zweck werden Axiome und andere mathematische Aspekte verwendet, die später entwickelt werden.

Herkunft und Geschichte

Die genauen Daten in Bezug auf viele Aspekte der mathematischen Logik sind ungewiss. Die meisten Bibliographien zu diesem Thema gehen jedoch auf das antike Griechenland zurück.

Aristoteles

Der Beginn der rigorosen Behandlung der Logik wird teilweise Aristoteles zugeschrieben, der eine Reihe von Logikwerken schrieb, die später von verschiedenen Philosophen und Wissenschaftlern bis zum Mittelalter zusammengestellt und entwickelt wurden. Dies könnte als "die alte Logik" angesehen werden.

Später, in der sogenannten Gegenwart, beeinflusste Leibniz, bewegt von dem tiefen Wunsch, eine universelle Sprache zu etablieren, um mathematisch zu argumentieren, und andere Mathematiker wie Gottlob Frege und Giuseppe Peano beeinflussten insbesondere die Entwicklung der mathematischen Logik mit großen Beiträgen darunter die Peano-Axiome, die unverzichtbare Eigenschaften natürlicher Zahlen formulieren.

Zu dieser Zeit waren auch die Mathematiker George Boole und Georg Cantor von großem Einfluss. Sie leisteten wichtige Beiträge in der Mengenlehre und in den Wahrheitstabellen und hoben unter anderem die Boolesche Algebra (von George Boole) und das Axiom of Choice hervor (von George Cantor).

Es gibt auch Augustus De Morgan mit den bekannten Morgan-Gesetzen, die Negationen, Konjunktionen, Disjunktionen und Bedingungen zwischen Sätzen, Schlüssel zur Entwicklung der symbolischen Logik und Jhon Venn mit den berühmten Venn-Diagrammen betrachten.

Im 20. Jahrhundert, ungefähr zwischen 1910 und 1913, zeichnen sich Bertrand Russell und Alfred North Whitehead durch die Veröffentlichung von Principia mathematica aus, einer Reihe von Büchern, die eine Reihe von Axiomen und Ergebnissen der Logik sammeln, entwickeln und postulieren.

Was studiert mathematische Logik?

Vorschläge

Die mathematische Logik beginnt mit dem Studium der Sätze. Ein Satz ist eine Aussage, die ohne Mehrdeutigkeit gesagt werden kann, ob sie wahr ist oder nicht. Das Folgende sind Beispiele für Sätze:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• 1930 gab es in Europa ein Erdbeben.

Die erste ist eine wahre Aussage und die zweite ist eine falsche Aussage. Die dritte, obwohl die Person, die sie liest, möglicherweise nicht weiß, ob sie wahr ist oder nicht, ist eine Aussage, die getestet und festgestellt werden kann, ob sie wirklich passiert ist oder nicht.

Das Folgende sind Beispiele für Ausdrücke, die keine Sätze sind:

• Sie ist blond.
• 2x = 6.
• Lass uns spielen!
• Magst du Filme

Im ersten Satz wird nicht angegeben, wer "sie" ist, daher kann nichts bestätigt werden. Im zweiten Satz wurde nicht angegeben, was "x" darstellt. Wenn stattdessen gesagt würde, dass 2x = 6 für eine natürliche Zahl x ist, würde dies in diesem Fall einem Satz entsprechen, der tatsächlich wahr ist, da er für x = 3 erfüllt ist.

Die letzten beiden Aussagen entsprechen keinem Satz, da es keine Möglichkeit gibt, sie zu leugnen oder zu bestätigen.

Zwei oder mehr Sätze können unter Verwendung bekannter logischer Konnektiva (oder Konnektoren) kombiniert (oder verbunden) werden. Diese sind:

• Ablehnung: "Es regnet nicht."
• Disjunktion: "Luisa hat eine weiße oder graue Tasche gekauft."
• Konjunktion: "4 ² = 16 und 2 × 5 = 10".
• Bedingung: "Wenn es regnet, gehe ich heute Nachmittag nicht ins Fitnessstudio."
• Biconditional: "Ich gehe heute Nachmittag ins Fitnessstudio, wenn und nur wenn es nicht regnet."

Ein Satz, der keinen der vorherigen Konnektiva enthält, wird als einfacher (oder atomarer) Satz bezeichnet. Zum Beispiel ist "2 ist kleiner als 4" ein einfacher Satz. Die Sätze, die einen Zusammenhang haben, werden zusammengesetzte Sätze genannt, wie "1 + 3 = 4 und 4 ist eine gerade Zahl".

Aussagen, die mittels Sätzen gemacht werden, sind normalerweise lang, daher ist es mühsam, sie immer so zu schreiben, wie sie bisher gesehen wurden. Aus diesem Grund wird eine symbolische Sprache verwendet. Sätze werden normalerweise durch Großbuchstaben wie P, Q, R, S usw. dargestellt. Und die symbolischen Verbindungen wie folgt:

Damit

Die Umkehrung eines bedingten Satzes

ist der Satz

Und das Gegenteil (oder Kontrapositive) eines Satzes

ist der Satz

Wahrheitstabellen

Ein weiteres wichtiges Konzept in der Logik ist das der Wahrheitstabellen. Die Wahrheitswerte eines Satzes sind die beiden Möglichkeiten für einen Satz: wahr (was mit V bezeichnet wird und es wird gesagt, dass sein Wahrheitswert V ist) oder falsch (was mit F bezeichnet wird und es wird gesagt, dass sein Wert ist wirklich F).

Der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes hängt ausschließlich von den Wahrheitswerten der darin enthaltenen einfachen Sätze ab.

Um allgemeiner zu arbeiten, werden wir keine spezifischen Sätze betrachten, sondern Satzvariablen p, q, r, s usw., die irgendwelche Sätze darstellen.

Mit diesen Variablen und den logischen Verknüpfungen werden die bekannten Satzformeln gebildet, genau wie zusammengesetzte Sätze aufgebaut werden.

Wenn jede der Variablen, die in einer Satzformel erscheinen, durch einen Satz ersetzt wird, wird ein zusammengesetzter Satz erhalten.

Nachfolgend finden Sie die Wahrheitstabellen für logische Verknüpfungen:

Es gibt Satzformeln, die in ihrer Wahrheitstabelle nur den Wert V erhalten, dh die letzte Spalte ihrer Wahrheitstabelle hat nur den Wert V. Diese Formeltypen werden als Tautologien bezeichnet. Beispielsweise:

Das Folgende ist die Wahrheitstabelle der Formel

Es wird gesagt, dass eine Formel α logisch eine andere Formel β impliziert, wenn α jedes Mal wahr ist, wenn β wahr ist. Das heißt, in der Wahrheitstabelle von α und β haben die Zeilen, in denen α ein V hat, β auch ein V. Wir interessieren uns nur für die Zeilen, in denen α den Wert V hat. Die Notation für die logische Implikation lautet wie folgt ::

In der folgenden Tabelle sind die Eigenschaften der logischen Implikation zusammengefasst:

Zwei Satzformeln gelten als logisch äquivalent, wenn ihre Wahrheitstabellen identisch sind. Die folgende Notation wird verwendet, um die logische Äquivalenz auszudrücken:

Die folgenden Tabellen fassen die Eigenschaften der logischen Äquivalenz zusammen:

Arten der mathematischen Logik

Es gibt verschiedene Arten von Logik, insbesondere wenn man unter anderem die pragmatische oder informelle Logik berücksichtigt, die auf Philosophie hinweist.

In Bezug auf die Mathematik könnten die Arten der Logik wie folgt zusammengefasst werden:

• Formale oder aristotelische Logik (alte Logik).
• Aussagenlogik: Sie ist verantwortlich für das Studium aller Aspekte der Gültigkeit von Argumenten und Sätzen in formaler und symbolischer Sprache.
• Symbolische Logik: Konzentriert sich auf das Studium von Mengen und ihren Eigenschaften, auch mit einer formalen und symbolischen Sprache, und ist eng mit der Aussagenlogik verbunden.
• Kombinatorische Logik: Eine der jüngsten Entwicklungen beinhaltet Ergebnisse, die mithilfe von Algorithmen entwickelt werden können.
• Logische Programmierung: Wird in den verschiedenen Paketen und Programmiersprachen verwendet.

Bereiche

Zu den Bereichen, in denen die mathematische Logik bei der Entwicklung ihrer Argumentation und Argumente unverzichtbar verwendet wird, gehören Philosophie, Mengenlehre, Zahlentheorie, algebraische konstruktive Mathematik und Programmiersprachen.

Verweise

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4. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Wie man mathematisches logisches Denken entwickelt. Universitätsverlag.
5. Zaragoza, AC (sf). Zahlentheorie Editorial Vision Libros.