HOMOTHEKE: EIGENSCHAFTEN, TYPEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Dilatation ist eine geometrische Änderung in der Ebene, bei der von einem festen Punkt, der als Zentrum (O) bezeichnet wird, die Abstände mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden. Auf diese Weise entspricht jeder Punkt P einem anderen Punkt P'-Produkt der Transformation, und diese sind mit Punkt O ausgerichtet.

In der Homothez geht es also um eine Entsprechung zwischen zwei geometrischen Figuren, wobei die transformierten Punkte als homothetisch bezeichnet werden und diese mit einem festen Punkt und mit Segmenten parallel zueinander ausgerichtet sind.

Homotheke

Homothecy ist eine Transformation, die kein kongruentes Bild hat, weil aus einer Figur eine oder mehrere Figuren von größerer oder kleinerer Größe als die ursprüngliche Figur erhalten werden; das heißt, dass die Homothez ein Polygon in ein anderes ähnliches verwandelt.

Damit die Homothez erfüllt werden kann, müssen Punkt zu Punkt und Linie zu Linie übereinstimmen, damit die Paare homologer Punkte mit einem dritten festen Punkt ausgerichtet sind, der das Zentrum der Homotheke darstellt.

Ebenso müssen die Linienpaare, die sie verbinden, parallel sein. Die Beziehung zwischen solchen Segmenten ist eine Konstante, die als Homothecy Ratio (k) bezeichnet wird; so, dass Homothez definiert werden kann als:

Um diese Art der Transformation durchzuführen, wählen wir zunächst einen beliebigen Punkt, der das Zentrum der Homotheke sein wird.

Ab diesem Punkt werden Liniensegmente für jeden Scheitelpunkt der zu transformierenden Figur gezeichnet. Der Maßstab, in dem die Reproduktion der neuen Figur erfolgt, ergibt sich aus dem Verhältnis der Homothez (k).

Eigenschaften

Eine der Haupteigenschaften der Homothez ist, dass aus homothetischen Gründen (k) alle homothetischen Figuren ähnlich sind. Unter anderen herausragenden Eigenschaften sind die folgenden:

- Das Zentrum der Homothecia (O) ist der einzige Doppelpunkt und dieser verwandelt sich in sich selbst; das heißt, es variiert nicht.

- Die Linien, die durch das Zentrum verlaufen, werden in sich selbst umgewandelt (sie sind doppelt), aber die Punkte, aus denen es besteht, sind nicht doppelt.

- Die Linien, die nicht durch die Mitte verlaufen, werden in parallele Linien umgewandelt. auf diese Weise bleiben die Homothekiewinkel gleich.

- Das Bild eines Segments durch eine Homothez von Zentrum O und Verhältnis k ist ein dazu paralleles Segment und hat das k-fache seiner Länge. Wie im folgenden Bild zu sehen ist, führt beispielsweise ein Segment AB nach Homothek zu einem anderen Segment A'B ', so dass AB parallel zu A'B' ist und k:

- Homothetische Winkel sind kongruent; das heißt, sie haben das gleiche Maß. Daher ist das Bild eines Winkels ein Winkel mit der gleichen Amplitude.

Andererseits haben wir, dass die Homothez in Abhängigkeit vom Wert ihres Verhältnisses (k) variiert und die folgenden Fälle auftreten können:

- Wenn die Konstante k = 1 ist, sind alle Punkte fest, weil sie sich selbst transformieren. Somit stimmt die homothetische Figur mit dem Original überein und die Transformation wird als Identitätsfunktion bezeichnet.

- Wenn k ≠ 1 ist, ist der einzige feste Punkt das Zentrum der Homothetik (O).

- Wenn k = -1 ist, wird die Homothez zu einer zentralen Symmetrie (C); dh eine Drehung um C in einem Winkel von 180 ^oder .

- Wenn k> 1 ist, ist die Größe der transformierten Figur größer als die Größe des Originals.

- Wenn 0 <k <1 ist, ist die Größe der transformierten Figur kleiner als das Original.

- Wenn -1 <k <0 ist, ist die Größe der transformierten Figur kleiner und wird in Bezug auf das Original gedreht.

- Wenn k <-1 ist, ist die transformierte Figur größer und wird in Bezug auf das Original gedreht.

Typen

Die Homothek kann je nach Wert ihres Verhältnisses (k) auch in zwei Typen eingeteilt werden:

Direkte Homothek

Es tritt auf, wenn die Konstante k> 0 ist; Das heißt, die homothetischen Punkte befinden sich in Bezug auf das Zentrum auf derselben Seite:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Ähnlichkeitsverhältnis zwischen den direkten homothetischen Zahlen ist immer positiv.

Reverse Homothecy

Es tritt auf, wenn die Konstante k <0 ist; Das heißt, die Anfangspunkte und ihre Homothetik befinden sich an den entgegengesetzten Enden in Bezug auf das Zentrum der Homothetik, sind jedoch darauf ausgerichtet. Das Zentrum wird zwischen den beiden Figuren liegen:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Ähnlichkeitsverhältnis zwischen inversen homothetischen Zahlen ist immer negativ.

Komposition

Wenn mehrere Bewegungen nacheinander ausgeführt werden, bis eine Figur erhalten wird, die dem Original entspricht, tritt eine Zusammensetzung von Bewegungen auf. Die Zusammensetzung mehrerer Sätze ist ebenfalls eine Bewegung.

Die Zusammensetzung zwischen zwei Homotheken führt zu einer neuen Homotheke; das heißt, es gibt ein Produkt von Homothetien, bei denen das Zentrum mit dem Zentrum der beiden ursprünglichen Transformationen ausgerichtet wird und das Verhältnis (k) das Produkt der beiden Verhältnisse ist.

In der Zusammensetzung zweier Homotheken H ₁ (O ₁ , k ₁ ) und H ₂ (O ₂ , k ₂ ) führt die Multiplikation ihrer Verhältnisse: k ₁ × k ₂ = 1 zu einer Homothez des Verhältnisses k ₃ = k ₁ xk ₂ . Das Zentrum dieser neuen Homotheke (O ₃ ) befindet sich auf der Linie O ₁ O ₂ .

Homothecia entspricht einer flachen und irreversiblen Veränderung; Wenn zwei Homothetien angewendet werden, die das gleiche Zentrum und Verhältnis haben, aber ein anderes Vorzeichen haben, wird die ursprüngliche Figur erhalten.

Beispiele

Erstes Beispiel

Wenden Sie eine Homothek auf das angegebene Polygon des Zentrums (O) an, das 5 cm vom Punkt A entfernt liegt und dessen Verhältnis k = 0,7 beträgt.

Lösung

Jeder Punkt wird als Zentrum der Homothek gewählt, und von diesem Punkt aus werden Strahlen durch die Eckpunkte der Figur gezogen:

Der Abstand vom Zentrum (O) zum Punkt A beträgt OA = 5; Damit kann der Abstand eines der homothetischen Punkte (OA ') bestimmt werden, auch wenn k = 0,7 gilt:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 × 5 = 3,5.

Der Prozess kann für jeden Scheitelpunkt durchgeführt werden, oder das homothetische Polygon kann auch gezeichnet werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass die beiden Polygone parallele Seiten haben:

Schließlich sieht die Transformation folgendermaßen aus:

Zweites Beispiel

Wenden Sie eine Homotheke auf das angegebene Polygon mit dem Zentrum (O) an, das 8,5 cm vom Punkt C entfernt liegt und dessen y-Verhältnis k = -2 ist.

Lösung

Der Abstand vom Zentrum (O) zum Punkt C beträgt OC = 8,5; Mit diesen Daten ist es möglich, den Abstand eines der homothetischen Punkte (OC ') zu bestimmen, auch wenn man weiß, dass k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nachdem wir die Segmente der Eckpunkte des transformierten Polygons gezeichnet haben, haben wir, dass die Anfangspunkte und ihre Homothetik an den entgegengesetzten Enden in Bezug auf das Zentrum liegen:

Verweise

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