- Wie sind die Ausmasse?
- Dreidimensionaler Raum
- Die vierte Dimension und Zeit
- Die Koordinaten eines Hyperwürfels
- Entfaltung eines Hyperwürfels
- Verweise
Ein Hyperwürfel ist ein Würfel der Dimension n. Der besondere Fall des vierdimensionalen Hyperwürfels wird als Tesseract bezeichnet. Ein Hyperwürfel oder n-Würfel besteht aus geraden Segmenten gleicher Länge, die an ihren Eckpunkten orthogonal sind.
Menschen nehmen den dreidimensionalen Raum wahr: Breite, Höhe und Tiefe, aber es ist uns nicht möglich, einen Hyperwürfel mit einer Dimension größer als 3 zu visualisieren.
Abbildung 1. Ein 0-Würfel ist ein Punkt. Wenn sich dieser Punkt in einer Richtung erstreckt, in der ein Abstand a einen 1-Würfel bildet, wenn dieser 1-Würfel einen Abstand a in orthogonaler Richtung erstreckt, haben wir einen 2-Würfel (von Seiten x bis a), wenn sich der 2-Würfel um einen Abstand a in orthogonaler Richtung erstreckt, haben wir einen 3-Würfel. Quelle: F. Zapata.
Wir können höchstens Projektionen davon im dreidimensionalen Raum machen, um es darzustellen, ähnlich wie wir einen Würfel auf eine Ebene projizieren, um ihn darzustellen.
In Dimension 0 ist die einzige Zahl der Punkt, also ist ein 0-Würfel ein Punkt. Ein 1-Würfel ist ein gerades Segment, das durch Bewegen eines Punktes in eine Richtung um eine Strecke a gebildet wird.
Ein 2-Würfel ist seinerseits ein Quadrat. Es wird konstruiert, indem der 1-Würfel (das Segment der Länge a) in der y-Richtung, die orthogonal zur x-Richtung ist, um einen Abstand a verschoben wird.
Der 3-Würfel ist der gemeinsame Würfel. Es wird aus dem Quadrat aufgebaut, indem es in die dritte Richtung (z) bewegt wird, die orthogonal zur x- und y-Richtung ist, ein Abstand a.
Abbildung 2. Ein 4-Würfel (Tesseract) ist die Erweiterung eines 3-Würfels in orthogonaler Richtung zu den drei herkömmlichen Raumrichtungen. Quelle: F. Zapata.
Der 4-Würfel ist der Tesserakt, der aus einem 3-Würfel aufgebaut ist, der ihn orthogonal um eine Strecke a in Richtung einer vierten Dimension (oder vierten Richtung) bewegt, die wir nicht wahrnehmen können.
Ein Tesserakt hat alle rechten Winkel, 16 Eckpunkte und alle Kanten (insgesamt 18) haben die gleiche Länge a.
Wenn die Länge der Kanten eines n-Würfels oder Hyperwürfels der Dimension n 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitshyperwürfel, bei dem die längste Diagonale √n misst.
Abbildung 3. Ein n-Würfel wird aus einem (n-1) -Würfel erhalten, der ihn in der nächsten Dimension orthogonal erweitert. Quelle: Wikimedia Commons.
Wie sind die Ausmasse?
Dimensionen sind die Freiheitsgrade oder die möglichen Richtungen, in die sich ein Objekt bewegen kann.
In Dimension 0 gibt es keine Übersetzungsmöglichkeit und das einzig mögliche geometrische Objekt ist der Punkt.
Eine Dimension im euklidischen Raum wird durch eine orientierte Linie oder Achse dargestellt, die diese Dimension definiert, die als X-Achse bezeichnet wird. Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B ist der euklidische Abstand:
d = √.
In zwei Dimensionen wird der Raum durch zwei orthogonal zueinander ausgerichtete Linien dargestellt, die als X-Achse und Y-Achse bezeichnet werden.
Die Position eines beliebigen Punktes in diesem zweidimensionalen Raum wird durch sein Paar kartesischer Koordinaten (x, y) angegeben, und der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten A und B beträgt:
d = √
Weil es ein Raum ist, in dem sich Euklids Geometrie erfüllt.
Dreidimensionaler Raum
Der dreidimensionale Raum ist der Raum, in dem wir uns bewegen. Es gibt drei Richtungen: Breite, Höhe und Tiefe.
In einem leeren Raum geben die senkrechten Ecken diese drei Richtungen an und jeder können wir eine Achse zuordnen: X, Y, Z.
Dieser Raum ist ebenfalls euklidisch und der Abstand zwischen zwei Punkten A und B wird wie folgt berechnet:
d = √
Menschen können nicht mehr als drei räumliche (oder euklidische) Dimensionen wahrnehmen.
Aus rein mathematischer Sicht ist es jedoch möglich, einen n-dimensionalen euklidischen Raum zu definieren.
In diesem Raum hat ein Punkt Koordinaten: (x1, x2, x3,… .., xn) und der Abstand zwischen zwei Punkten ist:
d = √.
Die vierte Dimension und Zeit
In der Relativitätstheorie wird die Zeit als eine weitere Dimension behandelt und mit einer Koordinate verknüpft.
Es muss jedoch klargestellt werden, dass diese mit der Zeit verbundene Koordinate eine imaginäre Zahl ist. Daher ist die Trennung zweier Punkte oder Ereignisse in der Raumzeit nicht euklidisch, sondern folgt der Lorentz-Metrik.
Ein vierdimensionaler Hyperwürfel (der Tesserakt) lebt nicht in Raum-Zeit, er gehört zu einem vierdimensionalen euklidischen Hyperraum.
Abbildung 4. 3D-Projektion eines vierdimensionalen Hyperwürfels in einfacher Drehung um eine Ebene, die die Figur von vorne nach links, von hinten nach rechts und von oben nach unten teilt. Quelle: Wikimedia Commons.
Die Koordinaten eines Hyperwürfels
Die Koordinaten der Eckpunkte eines am Ursprung zentrierten n-Würfels werden erhalten, indem alle möglichen Permutationen des folgenden Ausdrucks ausgeführt werden:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…, ± 1)
Wobei a die Länge der Kante ist.
-Das Volumen eines n-Würfels der Kante a ist: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Die längste Diagonale ist der Abstand zwischen gegenüberliegenden Eckpunkten.
-Das Folgende sind entgegengesetzte Eckpunkte in einem Quadrat : (-1, -1) und (+1, +1).
-Und in einem Würfel : (-1, -1, -1) und (+1, +1, +1).
-Die längste Diagonale eines n-Würfels misst:
d = √ = √ = 2√n
In diesem Fall wurde angenommen, dass die Seite a = 2 ist. Für einen n-Würfel von Seite zu jedem wird es sein:
d = a√n.
- Bei einem Tesseract ist jeder seiner 16 Eckpunkte mit vier Kanten verbunden. Die folgende Abbildung zeigt, wie Eckpunkte in einem Tesserakt verbunden sind.
Abbildung 5. Die 16 Eckpunkte eines vierdimensionalen Hyperwürfels und ihre Verbindung sind dargestellt. Quelle: Wikimedia Commons.
Entfaltung eines Hyperwürfels
Eine reguläre geometrische Figur, beispielsweise ein Polyeder, kann zu mehreren Figuren kleinerer Dimensionalität entfaltet werden.
Im Fall eines 2-Würfels (eines Quadrats) kann er in vier Segmente unterteilt werden, dh vier 1-Würfel.
Ebenso kann ein 3-Würfel in sechs 2-Würfel entfaltet werden.
Abbildung 6. Ein n-Würfel kann in mehrere (n-1) -Würfel entfaltet werden. Quelle: Wikimedia Commons.
Ein 4-Würfel (Tesseract) kann in acht 3-Würfel entfaltet werden.
Die folgende Animation zeigt die Entfaltung eines Tesserakts.
Abbildung 7. Ein 4-dimensionaler Hyperwürfel kann in acht dreidimensionale Würfel entfaltet werden. Quelle: Wikimedia Commons.
Figure 8. Dreidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperwürfels, der eine doppelte Drehung um zwei orthogonale Ebenen ausführt. Quelle: Wikimedia Commons.
Verweise
- Wissenschaftliche Kultur. Hypercube, der die vierte Dimension visualisiert. Wiederhergestellt von: kulturacientifica.com
- Epsilons. Vierdimensionaler Hyperwürfel oder Tesserakt. Wiederhergestellt von: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Eine Methode, um aus der Entwicklung eines Hyperwürfels (4D) einen Tesserakt zu erhalten. Wiederhergestellt von: researchgate.net
- Wikibooks. Mathematik, Polyeder, Hyperwürfel. Wiederhergestellt von: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com