- Beispiele für den Grad eines Polynoms
- Tabelle 1. Beispiele für Polynome und ihre Grade
- Verfahren zum Arbeiten mit Polynomen
- Ordnen, reduzieren und vervollständigen Sie ein Polynom
- Bedeutung des Grades eines Polynoms zusätzlich und subtrahiert
- Gelöste Übungen
- - Übung gelöst 1
- Lösung
- - Übung gelöst 2
- Lösung
- Verweise
Der Grad eines Polynoms in einer Variablen wird durch den Term angegeben, der den größten Exponenten hat, und wenn das Polynom zwei oder mehr Variablen hat, wird der Grad durch die Summe der Exponenten jedes Terms bestimmt, wobei die größere Summe der Grad ist des Polynoms.
Mal sehen, wie man den Grad des Polynoms auf praktische Weise bestimmt.
Figure 1. Einsteins berühmte Gleichung für Energie E ist ein Monom absoluten Grades 1 für die variable Masse, bezeichnet mit m, da die Lichtgeschwindigkeit c als konstant angesehen wird. Quelle: Piqsels.
Angenommen, das Polynom P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Dieses Polynom ist eine Variable, in diesem Fall die Variable x. Dieses Polynom besteht aus mehreren Begriffen:
Und was ist nun der Exponent? Die Antwort ist 3. Daher ist P (x) ein Polynom vom Grad 3.
Wenn das betreffende Polynom mehr als eine Variable hat, kann der Grad sein:
-Absolut
-In Bezug auf eine Variable
Der absolute Grad wird wie zu Beginn erläutert ermittelt: Addieren der Exponenten jedes Terms und Auswählen des größten.
Stattdessen ist der Grad des Polynoms in Bezug auf eine der Variablen oder Buchstaben der größte Wert des Exponenten, den dieser Buchstabe hat. Der Punkt wird anhand der Beispiele und gelösten Übungen in den folgenden Abschnitten klarer.
Beispiele für den Grad eines Polynoms
Polynome können nach Grad klassifiziert werden und können erster Grad, zweiter Grad, dritter Grad usw. sein. Für das Beispiel in Abbildung 1 ist Energie ein Monom ersten Grades für die Masse.
Es ist auch wichtig zu beachten, dass die Anzahl der Terme, die ein Polynom hat, gleich Grad plus 1 ist. Also:
- Polynome ersten Grades haben zwei Terme: a 1 x + a o
-Das Polynom zweiten Grades hat 3 Terme: a 2 x 2 + a 1 x + a o
- Ein Polynom dritten Grades hat 4 Terme: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a oder
Und so weiter. Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass die Polynome in den vorhergehenden Beispielen in abnehmender Form geschrieben sind, dh dass der Begriff mit dem höchsten Grad an erster Stelle steht.
Die folgende Tabelle zeigt verschiedene Polynome sowohl einer als auch mehrerer Variablen und ihrer jeweiligen absoluten Grade:
Tabelle 1. Beispiele für Polynome und ihre Grade
| Polynom | Grad |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | einer |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 und 5 + 5x 2 und 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Die letzten beiden Polynome haben mehr als eine Variable. Von diesen wurde der Begriff mit dem höchsten absoluten Grad fett hervorgehoben, damit der Leser den Grad schnell überprüfen kann. Es ist wichtig zu bedenken, dass, wenn die Variable keinen geschriebenen Exponenten hat, dieser Exponent gleich 1 ist.
Zum Beispiel gibt es im hervorgehobenen Term ab 3 x 2 drei Variablen, nämlich: a, b und x. In diesem Term wird a auf 1 erhöht, dh:
a = a 1
Daher ist ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Da der Exponent von b 3 und der von x 2 ist, folgt unmittelbar, dass der Grad dieses Terms ist:
1 + 3 + 2 = 6
Y ist der absolute Grad des Polynoms, da kein anderer Term einen höheren Grad hat.
Verfahren zum Arbeiten mit Polynomen
Bei der Arbeit mit Polynomen ist es wichtig, auf den Grad zu achten, da zuerst und vor jeder Operation die folgenden Schritte ausgeführt werden müssen, bei denen der Grad sehr wichtige Informationen enthält:
-Bestellen Sie das bevorzugte Polynom in abnehmender Richtung. Somit befindet sich der Begriff mit dem höchsten Grad links und der Begriff mit dem niedrigsten Grad rechts.
-Reduzieren Sie ähnliche Begriffe, eine Prozedur, die darin besteht, alle Begriffe derselben Variablen und des gleichen Grades, die im Ausdruck enthalten sind, algebraisch zu addieren.
- Falls erforderlich, werden die Polynome vervollständigt und Terme mit dem Koeffizienten 0 eingefügt, falls Terme mit einem Exponenten fehlen.
Ordnen, reduzieren und vervollständigen Sie ein Polynom
Angesichts des Polynoms P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 wird es gebeten, es in absteigender Reihenfolge zu ordnen, gegebenenfalls ähnliche Terme zu reduzieren und die fehlenden Terme zu vervollständigen. wenn genau.
Das erste, wonach gesucht werden muss, ist der Begriff mit dem größten Exponenten, dem Grad des Polynoms, der sich als folgender herausstellt:
x 7
Daher ist P (x) vom Grad 7. Dann wird das Polynom geordnet, beginnend mit diesem Term auf der linken Seite:
P (x) = x 7 + 2 × 5 - 5 × 4 - 3 × 3 + 6 × 2 - 2 × + 3 × + 7 –12
Nun werden die gleichen Begriffe reduziert, die folgende sind: - 2x und 3x einerseits. Und 7 und -12 auf der anderen Seite. Um sie zu reduzieren, werden die Koeffizienten algebraisch addiert und die Variable bleibt unverändert (wenn die Variable nicht neben dem Koeffizienten angezeigt wird, denken Sie daran, dass x 0 = 1 ist):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Ersetzen Sie diese Ergebnisse in P (x):
P (x) = x 7 + 2 × 5 - 5 × 4 - 3 × 3 + 6 × 2 + x –5
Und schließlich wird das Polynom untersucht, um festzustellen, ob ein Exponent fehlt, und tatsächlich fehlt ein Term, dessen Exponent 6 ist. Daher wird es mit folgenden Nullen vervollständigt:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nun wird beobachtet, dass das Polynom mit 8 Termen belassen wurde, da, wie zuvor gesagt, die Anzahl der Terme gleich Grad + 1 ist.
Bedeutung des Grades eines Polynoms zusätzlich und subtrahiert
Mit Polynomen können Sie Additions- und Subtraktionsoperationen ausführen, bei denen nur gleiche Terme addiert oder subtrahiert werden, dh solche mit derselben Variablen und demselben Grad. Wenn es keine ähnlichen Begriffe gibt, wird die Addition oder Subtraktion einfach angezeigt.
Sobald die Addition oder Subtraktion durchgeführt wurde, wobei letztere die Summe des Gegenteils ist, ist der Grad des resultierenden Polynoms immer gleich oder kleiner als der Grad des Polynoms, das den höchsten Grad addiert.
Gelöste Übungen
- Übung gelöst 1
Finden Sie die folgende Summe und bestimmen Sie ihren absoluten Grad:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Lösung
Es ist ein Polynom mit zwei Variablen, daher ist es zweckmäßig, ähnliche Begriffe zu reduzieren:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2 × 3
Beide Begriffe haben in jeder Variablen den Grad 3. Daher beträgt der absolute Grad des Polynoms 3.
- Übung gelöst 2
Drücken Sie den Bereich der folgenden ebenen geometrischen Figur als Polynom aus (Abbildung 2 links). Wie hoch ist der Grad des resultierenden Polynoms?
Abbildung 2. Links die Abbildung für die gelöste Übung 2 und rechts dieselbe Abbildung in drei Bereiche, deren Ausdruck bekannt ist. Quelle: F. Zapata.
Lösung
Da es sich um eine Fläche handelt, muss das resultierende Polynom in der Variablen x den Grad 2 haben. Um einen geeigneten Ausdruck für das Gebiet zu bestimmen, wird die Figur in bekannte Gebiete zerlegt:
Die Fläche eines Rechtecks und eines Dreiecks ist: Basis x Höhe und Basis x Höhe / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Hinweis : Die Basis des Dreiecks ist 3x - x = 2x und seine Höhe beträgt 5.
Nun werden die drei erhaltenen Ausdrücke hinzugefügt, wobei wir die Fläche der Figur als Funktion von x haben:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Verweise
- Baldor, A. 1974. Elementare Algebra. Kultur Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynome. Wiederhergestellt von: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grad (Polynom). Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra und Trigonometrie. Mac Graw Hill.