Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen berechnet wird, sofern sie unter zwei Modalitäten auftreten: Erfolg oder Misserfolg.
Diese Bezeichnungen (Erfolg oder Misserfolg) sind völlig willkürlich, da sie nicht unbedingt gute oder schlechte Dinge bedeuten. In diesem Artikel werden wir die mathematische Form der Binomialverteilung angeben und anschließend die Bedeutung jedes Begriffs ausführlich erläutern.
Abbildung 1. Der Würfelwurf ist ein Phänomen, das mithilfe der Binomialverteilung modelliert werden kann. Quelle: Pixabay.
Gleichung
Die Gleichung lautet wie folgt:
Mit x = 0, 1, 2, 3… .n, wobei:
- P (x) ist die Wahrscheinlichkeit, genau x Erfolge zwischen n Versuchen oder Versuchen zu haben.
- x ist die Variable, die das interessierende Phänomen beschreibt, entsprechend der Anzahl der Erfolge.
- n die Anzahl der Versuche
- p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
- q ist die Wahrscheinlichkeit eines Versagens in einem Versuch, daher ist q = 1 - p
Das Ausrufezeichen "!" wird für die faktorielle Notation verwendet, also:
0! = 1
einer! = 1
zwei! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Und so weiter.
Konzept
Die Binomialverteilung ist sehr gut geeignet, um Situationen zu beschreiben, in denen ein Ereignis auftritt oder nicht auftritt. Wenn es auftritt, ist es ein Erfolg und wenn nicht, dann ist es ein Misserfolg. Darüber hinaus muss die Erfolgswahrscheinlichkeit immer konstant bleiben.
Es gibt Phänomene, die diesen Bedingungen entsprechen, zum Beispiel das Werfen einer Münze. In diesem Fall können wir sagen, dass "Erfolg" ein Gesicht bekommt. Die Wahrscheinlichkeit ist ½ und ändert sich nicht, egal wie oft die Münze geworfen wird.
Die Rolle eines ehrlichen Würfels ist ein weiteres gutes Beispiel. Sie kategorisiert eine bestimmte Produktion in gute und fehlerhafte Teile und wird beim Drehen eines Roulette-Rads rot statt schwarz.
Eigenschaften
Wir können die Eigenschaften der Binomialverteilung wie folgt zusammenfassen:
- Jedes Ereignis oder jede Beobachtung wird aus einer unendlichen Population ohne Ersatz oder aus einer endlichen Population mit Ersatz extrahiert.
- Es werden nur zwei Optionen berücksichtigt, die sich gegenseitig ausschließen: Erfolg oder Misserfolg, wie zu Beginn erläutert.
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss bei jeder Beobachtung konstant sein.
- Das Ergebnis eines Ereignisses ist unabhängig von einem anderen Ereignis.
- Der Mittelwert der Binomialverteilung ist np
- Die Standardabweichung ist:
Anwendungsbeispiel
Nehmen wir ein einfaches Ereignis, bei dem 2 Köpfe 5 erhalten werden, indem dreimal ein ehrlicher Würfel gewürfelt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 3 Würfen 2 5er-Köpfe erhalten werden?
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu erreichen, zum Beispiel:
- Die ersten beiden Starts sind 5 und der letzte nicht.
- Der erste und der letzte sind 5, aber nicht der mittlere.
- Die letzten beiden Würfe sind 5 und der erste nicht.
Nehmen wir die erste als Beispiel beschriebene Sequenz und berechnen ihre Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf 5 Köpfe zu bekommen, beträgt 1/6 und auch beim zweiten, da es sich um unabhängige Ereignisse handelt.
Die Wahrscheinlichkeit, beim letzten Wurf einen anderen Kopf als 5 zu bekommen, beträgt 1 - 1/6 = 5/6. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sequenz herauskommt, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Was ist mit den beiden anderen Sequenzen? Sie haben die gleiche Wahrscheinlichkeit: 0,023.
Und da wir insgesamt 3 erfolgreiche Sequenzen haben, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit:
Beispiel 2
Eine Universität behauptet, dass 80% der Studenten des College-Basketballteams ihren Abschluss machen. Eine Untersuchung untersucht die akademischen Daten von 20 Studenten des Basketballteams, die sich vor einiger Zeit an der Universität eingeschrieben haben.
Von diesen 20 Studenten beendeten 11 ihr Studium und 9 schieden aus.
Abbildung 2. Fast alle Studenten, die für das College-Team spielen, haben einen Abschluss. Quelle: Pixabay.
Wenn die Aussage der Universität wahr ist, sollte die Anzahl der Studenten, die Basketball spielen und ihren Abschluss machen, von 20 eine Binomialverteilung mit n = 20 und p = 0,8 haben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 11 der 20 Spieler ihren Abschluss machen?
Lösung
In der Binomialverteilung:
Beispiel 3
Die Forscher führten eine Studie durch, um festzustellen, ob es signifikante Unterschiede in den Abschlussquoten zwischen Medizinstudenten gab, die durch spezielle Programme zugelassen wurden, und Medizinstudenten, die durch regelmäßige Zulassungskriterien zugelassen wurden.
Die Abschlussquote betrug 94% für studentische Ärzte, die über spezielle Programme zugelassen wurden (basierend auf Daten aus dem Journal der American Medical Association).
Wenn 10 der Spezialprogramme zufällig ausgewählt werden, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 9 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben.
b) Wäre es ungewöhnlich, zufällig 10 Studenten aus speziellen Programmen auszuwählen und festzustellen, dass nur 7 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben?
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student, der durch ein spezielles Programm zugelassen wurde, seinen Abschluss macht, beträgt 94/100 = 0,94. Wir wählen n = 10 Studenten aus den Spezialprogrammen aus und möchten herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 9 von ihnen ihren Abschluss machen werden.
Die folgenden Werte werden dann in der Binomialverteilung eingesetzt:
b)
Verweise
- Berenson, M. 1985. Statistik für Management und Wirtschaft. Interamericana SA
- MathWorks. Binomialverteilung. Wiederhergestellt von: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik für Management und Wirtschaft. 3 .. Auflage. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Angewandte Basisstatistik. 2 .. Auflage.
- Triola, M. 2012. Elementare Statistik. 11 .. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomialverteilung. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org