ANALYTISCHE GEOMETRIE: WAS ES STUDIERT, GESCHICHTE, ANWENDUNGEN - MATHE - 2025

Die analytische Geometrie untersucht Linien und geometrische Formen, indem grundlegende Algebra-Techniken und mathematische Analysen in einem bestimmten Koordinatensystem angewendet werden.

Folglich ist die analytische Geometrie ein Zweig der Mathematik, der alle Daten geometrischer Figuren, dh das Volumen, die Winkel, die Fläche, die Schnittpunkte und ihre Abstände, detailliert analysiert.

Das grundlegende Merkmal der analytischen Geometrie besteht darin, dass sie die Darstellung geometrischer Figuren durch Formeln ermöglicht.

Zum Beispiel werden Umfänge durch Polynomgleichungen zweiten Grades dargestellt, während Linien durch Polynomgleichungen ersten Grades ausgedrückt werden.

Die analytische Geometrie entsteht im 17. Jahrhundert aufgrund der Notwendigkeit, Antworten auf Probleme zu geben, die bisher keine Lösung hatten. Die wichtigsten Vertreter waren René Descartes und Pierre de Fermat.

Heute verweisen viele Autoren auf eine revolutionäre Schöpfung in der Geschichte der Mathematik, da sie den Beginn der modernen Mathematik darstellt.

Geschichte der analytischen Geometrie

Der Begriff analytische Geometrie entstand in Frankreich im 17. Jahrhundert aufgrund der Notwendigkeit, Antworten auf Probleme zu geben, die mit Algebra und Geometrie nicht isoliert gelöst werden konnten, aber die Lösung lag in der kombinierten Verwendung beider.

Hauptvertreter der analytischen Geometrie

Während des 17. Jahrhunderts führten zwei zufällig französische Franzosen Forschungen durch, die auf die eine oder andere Weise zur Schaffung einer analytischen Geometrie führten. Diese Leute waren Pierre de Fermat und René Descartes.

Gegenwärtig wird angenommen, dass René Descartes der Schöpfer der analytischen Geometrie war. Dies liegt daran, dass er sein Buch vor Fermats und auch ausführlich mit Descartes zum Thema analytische Geometrie veröffentlicht hat.

Sowohl Fermat als auch Descartes entdeckten jedoch, dass Linien und geometrische Figuren durch Gleichungen ausgedrückt werden konnten und Gleichungen als Linien oder geometrische Figuren ausgedrückt werden konnten.

Nach den Entdeckungen der beiden kann gesagt werden, dass beide die Schöpfer der analytischen Geometrie sind.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat war ein französischer Mathematiker, der 1601 geboren wurde und 1665 starb. Während seines Lebens studierte er die Geometrie von Euklid, Apollonius und Pappus, um die damals bestehenden Messprobleme zu lösen.

Später lösten diese Studien die Schaffung von Geometrie aus. Sie wurden schließlich in seinem Buch "Einführung in flache und feste Orte" (Ad Locos Planos und Solidos Isagoge) zum Ausdruck gebracht, das 14 Jahre nach seinem Tod im Jahr 1679 veröffentlicht wurde.

Pierre de Fermat wandte 1623 analytische Geometrie auf Apollonius 'Theoreme an geometrischen Orten an. Er war auch der erste, der analytische Geometrie auf den dreidimensionalen Raum anwendete.

Rene Descartes

Er war auch als Cartesius bekannt und ein Mathematiker, Physiker und Philosoph, der am 31. März 1596 in Frankreich geboren wurde und 1650 starb.

René Descartes veröffentlichte 1637 sein Buch "Diskurs über die Methode, Vernunft richtig zu führen und Wahrheit in den Wissenschaften zu suchen", besser bekannt als "Die Methode", und von dort wurde der Begriff analytische Geometrie in die Welt eingeführt. Einer seiner Anhänge war "Geometrie".

Grundelemente der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie besteht aus folgenden Elementen:

Das kartesische Koordinatensystem

Dieses System ist nach René Descartes benannt.

Er war nicht derjenige, der es nannte, noch derjenige, der das kartesische Koordinatensystem vervollständigte, aber er war derjenige, der von Koordinaten mit positiven Zahlen sprach, die es zukünftigen Gelehrten ermöglichten, es zu vervollständigen.

Dieses System besteht aus dem rechteckigen Koordinatensystem und dem Polarkoordinatensystem.

Rechteckige Koordinatensysteme

Rechteckige Koordinatensysteme werden als Ebene bezeichnet, die durch den Umriss zweier senkrecht zueinander stehender Zahlenlinien gebildet wird, wobei der Grenzpunkt mit der gemeinsamen Null zusammenfällt.

Dann würde dieses System aus einer horizontalen und einer vertikalen Linie bestehen.

Die horizontale Linie ist die X-Achse oder die Abszissenachse. Die vertikale Linie wäre die Y-Achse oder die Ordinatenachse.

Polarkoordinatensystem

Dieses System ist dafür verantwortlich, die relative Position eines Punktes in Bezug auf eine feste Linie und einen festen Punkt auf der Linie zu überprüfen.

Kartesische Gleichung der Linie

Diese Gleichung wird aus einer Linie erhalten, wenn zwei Punkte bekannt sind, durch die sie verläuft.

Gerade Linie

Es ist eines, das nicht abweicht und daher weder Kurven noch Winkel aufweist.

Kegel

Dies sind die Kurven, die durch die Linien definiert werden, die durch einen festen Punkt verlaufen, und durch die Punkte einer Kurve.

Ellipse, Umfang, Parabel und Hyperbel sind konische Kurven. Jeder von ihnen wird unten beschrieben.

Umfang

Der Umfang wird als geschlossene ebene Kurve bezeichnet, die von allen Punkten der Ebene gebildet wird, die von einem inneren Punkt, dh von der Mitte des Umfangs, gleich weit entfernt sind.

Gleichnis

Es ist der Ort der Punkte in der Ebene, die von einem festen Punkt (Fokus) und einer festen Linie (Directrix) gleich weit entfernt sind. Der Directrix und der Fokus definieren also die Parabel.

Die Parabel kann als Abschnitt einer konischen Rotationsfläche durch eine Ebene parallel zu einer Generatrix erhalten werden.

Ellipse

Die geschlossene Kurve, die einen Punkt beim Bewegen in einer Ebene beschreibt, wird als Ellipse bezeichnet, sodass die Summe ihrer Abstände zu zwei (2) festen Punkten (als Brennpunkte bezeichnet) konstant ist.

Hyperbel

Hyperbel wird als Kurve bezeichnet, die als Ort der Punkte in der Ebene definiert ist, für die die Differenz zwischen den Abständen zweier fester Punkte (Brennpunkte) konstant ist.

Die Hyperbel hat eine Symmetrieachse, die durch die Brennpunkte verläuft und als Fokusachse bezeichnet wird. Es hat auch eine andere, die die Halbierende des Segments ist, das an seinen Enden die festen Punkte hat.

Anwendungen

Es gibt viele Anwendungen der analytischen Geometrie in verschiedenen Bereichen des täglichen Lebens. Zum Beispiel finden wir die Parabel, eines der grundlegenden Elemente der analytischen Geometrie, in vielen der Werkzeuge, die heute täglich verwendet werden. Einige dieser Tools sind wie folgt:

Satellitenschüssel

Parabolantennen haben einen Reflektor, der als Ergebnis einer Parabel erzeugt wird, die sich um die Achse der Antenne dreht. Die Oberfläche, die als Ergebnis dieser Aktion erzeugt wird, wird als Paraboloid bezeichnet.

Diese Fähigkeit des Paraboloids wird als optische Eigenschaft oder Reflexionseigenschaft einer Parabel bezeichnet, und dank dieser Fähigkeit kann das Paraboloid die elektromagnetischen Wellen reflektieren, die es von dem Speisemechanismus empfängt, aus dem die Antenne besteht.

Hängende Brücken

Wenn ein Seil ein homogenes Gewicht trägt, das aber gleichzeitig erheblich größer ist als das Gewicht des Seils selbst, entsteht eine Parabel.

Dieses Prinzip ist grundlegend für den Bau von Hängebrücken, die üblicherweise von breiten Stahlseilkonstruktionen getragen werden.

Das Prinzip der Parabel in Hängebrücken wurde in Bauwerken wie der Golden Gate Bridge in San Francisco in den USA oder der Großen Brücke der Akashi-Straße in Japan angewendet, die die Insel verbindet Awaji mit Honshū, der Hauptinsel dieses Landes.

Astronomische Analyse

Die analytische Geometrie hat auch im Bereich der Astronomie sehr spezifische und entscheidende Anwendungen gefunden. In diesem Fall ist die Ellipse das Element der analytischen Geometrie, das im Mittelpunkt steht. Johannes Keplers Bewegungsgesetz der Planeten spiegelt dies wider.

Kepler, ein deutscher Mathematiker und Astronom, stellte fest, dass die Ellipse die Kurve war, die am besten zur Bewegung des Mars passte. Er hatte zuvor das von Copernicus vorgeschlagene kreisförmige Modell getestet, aber während seiner Experimente folgerte er, dass die Ellipse dazu diente, eine Umlaufbahn zu zeichnen, die der des Planeten, den er untersuchte, vollkommen ähnlich war.

Dank der Ellipse konnte Kepler bestätigen, dass sich die Planeten in elliptischen Bahnen bewegten; Diese Überlegung war die Aussage des sogenannten zweiten Gesetzes von Kepler.

Aus dieser Entdeckung, die später vom englischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton bereichert wurde, war es möglich, die Umlaufbewegungen der Planeten zu untersuchen und das Wissen über das Universum, zu dem wir gehören, zu erweitern.

Cassegrain-Teleskop

Das Cassegrain-Teleskop ist nach seinem Erfinder, dem in Frankreich geborenen Physiker Laurent Cassegrain, benannt. In diesem Teleskop werden die Prinzipien der analytischen Geometrie verwendet, da es hauptsächlich aus zwei Spiegeln besteht: Der erste ist konkav und parabolisch, und der zweite ist dadurch gekennzeichnet, dass er konvex und hyperbolisch ist.

Die Position und die Art dieser Spiegel ermöglichen es, dass der als sphärische Aberration bekannte Defekt nicht auftritt; Dieser Defekt verhindert, dass Lichtstrahlen im Fokus einer bestimmten Linse reflektiert werden.

Das Cassegrain-Teleskop ist sehr nützlich für die Planetenbeobachtung sowie vielseitig und einfach zu bedienen.

Verweise

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