- Beispiele
- Die Vorteile von Logarithmen
- Beispiel
- Antworten
- Anwendungsübung: die Richterskala
- Lösung
- Verweise
Die logarithmische Funktion ist eine mathematische Beziehung, die jede positive reelle Zahl x mit ihrem Logarithmus y auf einer Basis a verknüpft. Diese Beziehung erfüllt die Anforderungen, um eine Funktion zu sein: Jedes zur Domäne gehörende Element x hat ein eindeutiges Bild.
So:
Da der auf einer Zahl x basierende Logarithmus die Zahl y ist, auf die die Basis a angehoben werden muss, um x zu erhalten.
-Der Logarithmus der Basis ist immer 1. Somit schneidet der Graph von f (x) = log a x immer die x-Achse am Punkt (1,0)
-Die logarithmische Funktion ist transzendent und kann nicht als Polynom oder als Quotient davon ausgedrückt werden. Diese Gruppe umfasst neben dem Logarithmus unter anderem die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen.
Beispiele
Die logarithmische Funktion kann durch verschiedene Basen festgelegt werden, aber die am häufigsten verwendeten sind 10 und e, wobei e die Eulernummer gleich 2,71828 ist.
Wenn die Basis 10 verwendet wird, wird der Logarithmus als Dezimallogarithmus, gewöhnlicher Logarithmus, Briggs-Logarithmus oder einfach nur Logarithmus bezeichnet.
Und wenn die Zahl e verwendet wird, wird sie nach John Napier, dem schottischen Mathematiker, der Logarithmen entdeckt hat, als natürlicher Logarithmus bezeichnet.
Die für jeden verwendete Notation lautet wie folgt:
-Dezimaler Logarithmus: log 10 x = log x
-Neperianischer Logarithmus: ln x
Wenn Sie eine andere Basis verwenden möchten, müssen Sie diese unbedingt als Index angeben, da der Logarithmus jeder Zahl je nach zu verwendender Basis unterschiedlich ist. Wenn es sich beispielsweise um Logarithmen in Basis 2 handelt, schreiben Sie:
y = log 2 x
Schauen wir uns den Logarithmus der Zahl 10 in drei verschiedenen Basen an, um diesen Punkt zu veranschaulichen:
log 10 = 1
In 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Gängige Taschenrechner bringen nur Dezimallogarithmen (Log-Funktion) und natürlichen Logarithmus (In-Funktion). Im Internet gibt es Taschenrechner mit anderen Grundlagen. In jedem Fall kann der Leser mit seiner Hilfe überprüfen, ob die vorherigen Werte erfüllt sind:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
Kleine Dezimalunterschiede sind auf die Anzahl der Dezimalstellen zurückzuführen, die bei der Berechnung des Logarithmus verwendet wurden.
Die Vorteile von Logarithmen
Zu den Vorteilen der Verwendung von Logarithmen gehört die einfache Arbeit mit großen Zahlen, bei der der Logarithmus anstelle der Zahl direkt verwendet wird.
Dies ist möglich, weil die Logarithmusfunktion langsamer wächst, wenn die Zahlen größer werden, wie wir in der Grafik sehen können.
Selbst bei sehr großen Zahlen sind ihre Logarithmen viel kleiner, und die Bearbeitung kleiner Zahlen ist immer einfacher.
Darüber hinaus haben Logarithmen die folgenden Eigenschaften:
- Produkt : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- Leistung : log a b = b.log a
Auf diese Weise werden die Produkte und Quotienten zu Additionen und Subtraktionen kleinerer Zahlen, während die Potenzierung zu einem einfachen Produkt wird, obwohl die Leistung hoch ist.
Aus diesem Grund können wir mit Logarithmen Zahlen ausdrücken, die in sehr großen Wertebereichen variieren, wie z. B. der Schallintensität, dem pH-Wert einer Lösung, der Helligkeit von Sternen, dem elektrischen Widerstand und der Intensität von Erdbeben auf der Richterskala.
Abbildung 2. Logarithmen werden auf der Richterskala verwendet, um die Stärke von Erdbeben zu quantifizieren. Das Bild zeigt ein eingestürztes Gebäude in Concepción, Chile, während des Erdbebens 2010. Quelle: Wikimedia Commons.
Sehen wir uns ein Beispiel für die Behandlung der Eigenschaften von Logarithmen an:
Beispiel
Suchen Sie den Wert von x im folgenden Ausdruck:
Antworten
Wir haben hier eine logarithmische Gleichung, da das Unbekannte im Argument des Logarithmus steht. Es wird gelöst, indem auf jeder Seite der Gleichheit ein einziger Logarithmus belassen wird.
Wir beginnen damit, alle Begriffe, die "x" enthalten, links von der Gleichheit und diejenigen, die nur Zahlen enthalten, rechts zu platzieren:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Links haben wir die Subtraktion von zwei Logarithmen, die als Logarithmus eines Quotienten geschrieben werden können:
log = 1
Auf der rechten Seite befindet sich jedoch die Nummer 1, die wir, wie wir zuvor gesehen haben, als log 10 ausdrücken können. So:
log = log 10
Damit Gleichheit wahr ist, müssen die Argumente der Logarithmen gleich sein:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Anwendungsübung: die Richterskala
1957 ereignete sich in Mexiko ein Erdbeben mit einer Stärke von 7,7 auf der Richterskala. 1960 ereignete sich in Chile ein weiteres Erdbeben größeren Ausmaßes von 9,5.
Berechnen Sie, wie oft das Erdbeben in Chile stärker war als in Mexiko, und wissen Sie, dass die Stärke M R auf der Richterskala durch die Formel gegeben ist:
M R = log (10 4 I)
Lösung
Die Stärke eines Erdbebens auf der Richterskala ist eine logarithmische Funktion. Wir werden die Intensität jedes Erdbebens berechnen, da wir die Richtergrößen haben. Machen wir es Schritt für Schritt:
- Mexiko : 7,7 = log (10 4 I)
Da die Umkehrung der Logarithmusfunktion das Exponential ist, wenden wir dies auf beide Seiten der Gleichheit an, um nach I zu lösen, was im Argument des Logarithmus zu finden ist.
Da es sich um Dezimallogarithmen handelt, ist die Basis 10. Dann:
10 7,7 = 10 4 I.
Die Intensität des Erdbebens in Mexiko war:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile : 9,5 = log (10 4 I)
Das gleiche Verfahren führt uns zur Intensität des chilenischen I Ch- Erdbebens :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Jetzt können wir beide Intensitäten vergleichen:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Ich M.
Das Erdbeben in Chile war etwa 63-mal so stark wie in Mexiko. Da die Größe logarithmisch ist, wächst sie langsamer als die Intensität. Eine Differenz von 1 in der Größe bedeutet also eine 10-mal größere Amplitude der seismischen Welle.
Der Unterschied zwischen den Größen beider Erdbeben beträgt 1,8, daher können wir einen Intensitätsunterschied erwarten, der näher bei 100 als bei 10 liegt, wie es tatsächlich passiert ist.
Wenn der Unterschied genau 2 gewesen wäre, wäre das chilenische Erdbeben 100-mal intensiver gewesen als das mexikanische.
Verweise
- Carena, M. 2019. Voruniversitäres Mathematikhandbuch. Nationale Universität des Litoral.
- Figuera, J. 2000. Mathematik 1st. Abwechslungsreiches Jahr. CO-BO-Ausgaben.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematik für Calculus. 5 .. Auflage. Lernen einbinden.