HOMOGRAFISCHE FUNKTION: GRAFISCHE DARSTELLUNG, GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die Funktion homographisch oder rational ng ist eine Art mathematischer Funktion, die aus einer Polynomteilung zweier Komponenten besteht. Es folgt der Form P (x) / Q (x), wobei Q (x) keine Nullform annehmen kann.

Zum Beispiel entspricht der Ausdruck (2x - 1) / (x + 3) einer homographischen Funktion mit P (x) = 2x - 1 und Q (x) = x + 3.

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Die homografischen Funktionen bilden einen Teil der Untersuchung der analytischen Funktionen, der anhand des grafischen Ansatzes und der Untersuchung der Domäne und des Bereichs behandelt wird. Dies liegt an den Einschränkungen und Gründen, die für Ihre Beschlüsse gelten müssen.

Was ist eine homografische Funktion?

Sie sind rationale Ausdrücke einer einzelnen Variablen, obwohl dies nicht bedeutet, dass es keinen ähnlichen Ausdruck für zwei oder mehr Variablen gibt, bei denen es sich bereits um Körper im Raum handelt, die denselben Mustern wie die homografische Funktion in der Ebene folgen.

In einigen Fällen haben sie echte Wurzeln, aber das Vorhandensein vertikaler und horizontaler Asymptoten sowie Wachstums- und Abnahmeintervalle bleibt immer erhalten. Im Allgemeinen ist nur einer dieser Trends vorhanden, aber es gibt Ausdrücke, die beides in ihrer Entwicklung zeigen können.

Seine Domäne wird durch die Wurzeln des Nenners begrenzt, da die reellen Zahlen nicht durch Null geteilt werden.

Gemischte homografische Funktion

Sie sind sehr häufig in der Berechnung, insbesondere Differential und Integral, und sind notwendig, um sie unter bestimmten Formeln abzuleiten und abzuleiten. Einige der häufigsten sind unten aufgeführt.

Sogar die n-te Wurzel der homografischen Funktion

Schließen Sie alle Elemente der Domäne aus, die das Argument negativ machen. Die in jedem Polynom vorhandenen Wurzeln ergeben bei Auswertung Werte von Null.

Diese Werte werden vom Radikal akzeptiert, obwohl die grundlegende Einschränkung der homografischen Funktion berücksichtigt werden muss. Wobei Q (x) keine Nullwerte empfangen kann.

Die Lösungen der Intervalle müssen abgefangen werden:

Um die Lösung der Schnittpunkte zu erreichen, kann unter anderem die Vorzeichenmethode verwendet werden.

Logarithmus der homographischen Funktion

Es ist auch üblich, beide Ausdrücke unter anderem in einer Kombination zu finden.

Wie zeichnet man eine homografische Funktion?

Homografische Funktionen entsprechen grafisch Hyperbeln in der Ebene. Welche werden horizontal und vertikal gemäß den Werten transportiert, die die Polynome definieren.

Es gibt mehrere Elemente, die wir definieren müssen, um eine rationale oder homografische Funktion grafisch darzustellen.

Nachlass

Das erste sind die Wurzeln oder Nullen der Funktionen P und Q.

Die erreichten Werte werden auf der x-Achse des Diagramms angegeben. Anzeigen der Schnittpunkte des Diagramms mit der Achse.

Vertikale Asymptote

Sie entsprechen vertikalen Linien, die den Graphen anhand der von ihnen dargestellten Trends abgrenzen. Sie berühren die x-Achse bei den Werten, die den Nenner auf Null setzen, und werden vom Diagramm der homografischen Funktion niemals berührt.

Horizontale Asymptote

Dargestellt durch eine horizontale Stichlinie, grenzt sie eine Grenze ab, für die die Funktion nicht genau am Punkt definiert wird. Trends werden vor und nach dieser Linie beobachtet.

Um es zu berechnen, müssen wir auf eine Methode zurückgreifen, die der Methode von L'Hopital ähnelt und verwendet wird, um Grenzen rationaler Funktionen zu lösen, die zur Unendlichkeit neigen. Wir müssen die Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner der Funktion nehmen.

Zum Beispiel hat der folgende Ausdruck eine horizontale Asymptote bei y = 2/1 = 2.

Wachstumsintervall

Bei den Ordinatenwerten sind aufgrund der Asymptoten Trends in der Grafik markiert. Im Falle eines Wachstums nimmt die Funktion der Funktion zu, wenn die Elemente der Domäne von links nach rechts bewertet werden.

Intervall verringern

Die Ordinatenwerte nehmen ab, wenn die Domänenelemente von links nach rechts ausgewertet werden.

Die in den Werten gefundenen Sprünge werden bei der Zunahme oder Abnahme nicht berücksichtigt. Dies tritt auf, wenn sich der Graph in der Nähe einer vertikalen oder horizontalen Asymptote befindet, wobei die Werte von unendlich bis negativ unendlich variieren können und umgekehrt.

Y-Kreuzung

Indem wir den Wert von x auf Null setzen, finden wir den Achsenabschnitt mit der Ordinatenachse. Dies sind sehr nützliche Daten, um den Graphen der rationalen Funktion zu erhalten.

Beispiele

Definieren Sie den Graphen der folgenden Ausdrücke, finden Sie ihre Wurzeln, vertikalen und horizontalen Asymptoten, Intervalle der Zunahme und Abnahme und den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse.

Übung 1

Der Ausdruck hat keine Wurzeln, da er im Zähler einen konstanten Wert hat. Die anzuwendende Einschränkung ist x verschieden von Null. Mit horizontaler Asymptote bei y = 0 und vertikaler Asymptote bei x = 0. Es gibt keine Schnittpunkte mit der y-Achse.

Es wird beobachtet, dass es auch beim Sprung von minus nach plus unendlich bei x = 0 keine Wachstumsintervalle gibt.

Das Abnahmeintervall beträgt

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Übung 1.2

2 Polynome werden wie in der ursprünglichen Definition beobachtet, daher gehen wir gemäß den festgelegten Schritten vor.

Die gefundene Wurzel ist x = 7/2, was sich aus der Einstellung der Funktion auf Null ergibt.

Die vertikale Asymptote liegt bei x = - 4, was der Wert ist, der durch die rationale Funktionsbedingung aus der Domäne ausgeschlossen wird.

Die horizontale Asymptote liegt bei y = 2, dies nach Division von 2/1, den Koeffizienten der Variablen vom Grad 1.

Es hat einen y-Achsenabschnitt = - 7/4. Wert gefunden, nachdem x mit Null gleichgesetzt wurde.

Die Funktion wächst ständig mit einem Sprung von plus nach minus unendlich um die Wurzel x = -4.

Sein Wachstumsintervall beträgt (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Wenn sich der Wert von x minus unendlich nähert, nimmt die Funktion Werte nahe 2 an. Dasselbe passiert, wenn x sich mehr unendlich nähert.

Der Ausdruck nähert sich plus unendlich, wenn er von links auf - 4 bewertet wird, und minus unendlich, wenn er von rechts auf - 4 ausgewertet wird.

Übung 2

Das Diagramm der folgenden homografischen Funktion wird beobachtet:

Beschreiben Sie das Verhalten, die Wurzeln, die vertikalen und horizontalen Asymptoten, die Wachstums- und Abnahmeintervalle sowie den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse.

Der Nenner des Ausdrucks sagt uns, indem er die Differenz der Quadrate (x + 1) (x - 1) der Werte der Wurzeln berücksichtigt. Auf diese Weise können beide vertikalen Asymptoten definiert werden als:

x = -1 und x = 1

Die horizontale Asymptote entspricht der Abszissenachse, da die höchste Leistung im Nenner liegt.

Seine einzige Wurzel ist definiert durch x = -1/3.

Der Ausdruck nimmt immer von links nach rechts ab. Es nähert sich Null, wenn es sich der Unendlichkeit nähert. Minus unendlich, wenn Sie sich -1 von links nähern. Ein Plus unendlich, wenn es sich von rechts -1 nähert. Weniger unendlich, wenn Sie sich 1 von links nähern, und unendlich, wenn Sie sich 1 von rechts nähern.

Verweise

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