TEILFRAKTIONEN: FÄLLE UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Teilfraktionen sind durch Polynome gebildete Fraktionen, bei denen der Nenner ein lineares oder quadratisches Polynom sein kann und zusätzlich zu einer gewissen Potenz angehoben werden kann. Manchmal, wenn wir rationale Funktionen haben, ist es sehr nützlich, diese Funktion als Summe von Teilbrüchen oder einfachen Brüchen umzuschreiben.

Dies liegt daran, dass wir diese Funktionen auf diese Weise besser manipulieren können, insbesondere in Fällen, in denen die Integration dieser Anwendung erforderlich ist. Eine rationale Funktion ist einfach der Quotient zwischen zwei Polynomen, und sie können richtig oder unpassend sein.

Wenn der Grad des Polynoms des Zählers kleiner als der Nenner ist, spricht man von einer rationalen Eigenfunktion; Andernfalls wird es als unangemessene rationale Funktion bezeichnet.

Definition

Wenn wir eine falsche rationale Funktion haben, können wir das Polynom des Zählers durch das Polynom des Nenners teilen und so den Bruch p (x) / q (x) nach dem Teilungsalgorithmus als t (x) + s (x) / umschreiben q (x), wobei t (x) ein Polynom ist und s (x) / q (x) eine richtige rationale Funktion ist.

Ein Teilbruch ist eine geeignete Funktion von Polynomen, deren Nenner die Form (ax + b) ⁿ oder (ax ² + bx + c) ^{n hat} , wenn das Polynom ax ² + bx + c keine reellen Wurzeln hat und n eine Zahl ist natürlich.

Um eine rationale Funktion in Teilbrüchen umzuschreiben, muss zunächst der Nenner q (x) als Produkt linearer und / oder quadratischer Faktoren faktorisiert werden. Sobald dies erfolgt ist, werden die Teilfraktionen bestimmt, die von der Art dieser Faktoren abhängen.

Fälle

Wir betrachten mehrere Fälle getrennt.

Fall 1

Die Faktoren von q (x) sind alle linear und keine werden wiederholt. Das heißt:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Dort ist kein linearer Faktor mit einem anderen identisch. In diesem Fall schreiben wir:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Wobei A ₁ , A ₂ ,…, A _s die zu findenden Konstanten sind.

Beispiel

Wir möchten die rationale Funktion in einfache Brüche zerlegen:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Wir fahren fort, den Nenner zu faktorisieren, das heißt:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Dann:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Bei Anwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kann Folgendes erhalten werden:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Wir wollen die Werte der Konstanten A, B und C erhalten, die durch Ersetzen der Wurzeln gefunden werden können, die jeden der Begriffe aufheben. Wenn wir x durch 0 ersetzen, haben wir:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Wenn wir x durch 1 ersetzen, haben wir:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B.

B = 2.

Ersetzen von x durch - 2 haben wir:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Auf diese Weise werden die Werte A = –1/2, B = 2 und C = –3/2 erhalten.

Es gibt eine andere Methode, um die Werte von A, B und C zu erhalten. Wenn auf der rechten Seite der Gleichung x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x wir kombinieren Begriffe, wir haben:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Da dies eine Gleichheit von Polynomen ist, müssen die Koeffizienten auf der linken Seite gleich denen auf der rechten Seite sein. Dies führt zu folgendem Gleichungssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = -1

Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir die Ergebnisse A = –1/2, B = 2 und C = -3/2.

Wenn wir schließlich die erhaltenen Werte einsetzen, haben wir Folgendes:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Fall 2

Die Faktoren von q (x) sind alle linear und einige werden wiederholt. Angenommen, (ax + b) ist ein Faktor, der "s" -Zeiten wiederholt. dann entspricht diesem Faktor die Summe der Teilfraktionen «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Wobei A _s , A _s-1 ,…, A ₁ die zu bestimmenden Konstanten sind. Mit dem folgenden Beispiel zeigen wir, wie diese Konstanten bestimmt werden.

Beispiel

In Teilfraktionen zerlegen:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Wir schreiben die rationale Funktion als Summe von Teilbrüchen wie folgt:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Dann:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Wenn wir x durch 2 ersetzen, haben wir Folgendes:

7 = 4C, dh C = 7/4.

Wenn wir x durch 0 ersetzen, haben wir:

- 1 = –8A oder A = 1/8.

Wenn wir diese Werte in die vorherige Gleichung einsetzen und entwickeln, haben wir Folgendes:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Wenn wir die Koeffizienten gleichsetzen, erhalten wir das folgende Gleichungssystem:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Wenn wir das System lösen, haben wir:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Dafür müssen wir:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Fall 3

Die Faktoren von q (x) sind linear quadratisch ohne wiederholte quadratische Faktoren. In diesem Fall entspricht der quadratische Faktor (ax ² + bx + c) dem Teilbruch (Ax + B) / (ax ² + bx + c), wobei die Konstanten A und B zu bestimmen sind.

Das folgende Beispiel zeigt, wie in diesem Fall vorgegangen wird

Beispiel

Zerlegen Sie in einfache Brüche a (x + 1) / (x ³ - 1).

Zuerst faktorisieren wir den Nenner, der uns als Ergebnis gibt:

(x - 1) = (x - 1) (x + x + 1).

Wir können beobachten, dass (x ² + x + 1) ein irreduzibles quadratisches Polynom ist; das heißt, es hat keine wirklichen Wurzeln. Seine Zerlegung in Teilfraktionen wird wie folgt sein:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x + 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x + 1)

Daraus erhalten wir folgende Gleichung:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Unter Verwendung der Gleichheit der Polynome erhalten wir das folgende System:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Aus diesem System ergibt sich A = 2/3, B = - 2/3 und C = 1/3. Ersetzen, wir haben das:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x + 1 ).

Fall 4

Schließlich ist Fall 4 derjenige, in dem die Faktoren von q (x) linear und quadratisch sind, wobei einige der linearen quadratischen Faktoren wiederholt werden.

In diesem Fall ist, wenn (ax ² + bx + c) ein quadratischer Faktor ist, der "s" -Zeiten wiederholt, der Teilfaktor, der dem Faktor (ax ² + bx + c) entspricht, wie folgt:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B. _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Wobei A _s , A _s-1 ,…, A und B _s , B _s-1 ,…, B die zu bestimmenden Konstanten sind.

Beispiel

Wir wollen die folgende rationale Funktion in Teilfraktionen zerlegen:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Da x ² - 4x + 5 ein irreduzibler quadratischer Faktor ist, haben wir, dass seine Zerlegung in Teilfraktionen gegeben ist durch:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x + 5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Vereinfachung und Entwicklung haben wir:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Aus dem Obigen haben wir das folgende Gleichungssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Bei der Lösung des Systems bleibt uns Folgendes übrig:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 und E = - 3/5.

Durch Ersetzen der erhaltenen Werte erhalten wir:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x ²⁾ - 4x + 5) ²

Anwendungen

Integralrechnung

Teilfraktionen werden hauptsächlich zur Untersuchung der Integralrechnung verwendet. Hier sind einige Beispiele für die Durchführung von Integralen mit Teilbrüchen.

Beispiel 1

Wir möchten das Integral von berechnen:

Wir können sehen, dass der Nenner q (x) = (t + 2) ² (t + 1) aus linearen Faktoren besteht, wobei einer dieser Faktoren wiederholt wird; Deshalb sind wir in Fall 2.

Wir müssen:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Wir schreiben die Gleichung neu und haben:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Wenn t = - 1 ist, haben wir:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C.

Wenn t = - 2 ist, erhalten wir:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Dann, wenn t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Einsetzen der Werte von A und C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Aus dem Obigen ergibt sich B = - 1.

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Wir lösen es durch die Substitutionsmethode:

Das ist das Ergebnis:

Beispiel 2

Löse das folgende Integral:

In diesem Fall können wir aq (x) = x ² - 4 als q (x) = (x - 2) (x + 2) faktorisieren. Wir sind eindeutig in Fall 1. Deshalb:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Es kann auch ausgedrückt werden als:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Wenn x = - 2, haben wir:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Und wenn x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Wir müssen also das gegebene Integral lösen, was dem Lösen entspricht:

Dies gibt uns als Ergebnis:

Beispiel 3

Löse das Integral:

Wir haben q (x) = 9x ⁴ + x ² , was wir in q (x) = x ² (9x ² + 1) einbeziehen können .

Diesmal haben wir einen wiederholten linearen Faktor und einen quadratischen Faktor; das heißt, wir sind in Fall 3.

Wir müssen:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9 × ² + 1) + Bx (9 × ² + 1) + C × ² + D × ²

Wenn wir gleiche Polynome gruppieren und verwenden, haben wir:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A.

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Aus diesem Gleichungssystem haben wir:

D = - 9 und C = 0

Auf diese Weise haben wir:

Durch die Lösung der oben genannten Probleme haben wir:

Gesetz der Massenaktion

Eine interessante Anwendung der Teilfraktionen, die auf die Integralrechnung angewendet werden, findet sich in der Chemie, genauer gesagt im Gesetz der Massenwirkung.

Angenommen, wir haben zwei Substanzen, A und B, die sich verbinden und eine Substanz C bilden, so dass die Ableitung der Menge von C in Bezug auf die Zeit proportional zum Produkt der Mengen von A und B zu einem bestimmten Zeitpunkt ist.

Wir können das Gesetz der Massenaktion wie folgt ausdrücken:

In diesem Ausdruck ist α die anfängliche Anzahl von Gramm, die A entspricht, und β die anfängliche Anzahl von Gramm, die B entspricht.

Darüber hinaus stellen r und s die Anzahl der Gramm A bzw. B dar, die sich zu r + s Gramm C verbinden. X steht seinerseits für die Anzahl der Gramm Substanz C zum Zeitpunkt t, und K ist die Proportionalitätskonstante. Die obige Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden:

Folgende Änderung vornehmen:

Wir haben, dass die Gleichung wird:

Aus diesem Ausdruck können wir erhalten:

Wenn a ≠ b ist, können Teilfraktionen für die Integration verwendet werden.

Beispiel

Nehmen wir zum Beispiel eine Substanz C, die sich aus der Kombination einer Substanz A mit einer B ergibt, so dass das Massengesetz erfüllt ist, wenn die Werte von a und b 8 bzw. 6 sind. Geben Sie eine Gleichung an, die den Wert von Gramm C als Funktion der Zeit angibt.

Wenn wir die Werte im gegebenen Massengesetz einsetzen, haben wir:

Beim Trennen von Variablen haben wir:

Hier kann 1 / (8 - x) (6 - x) wie folgt als Summe der Teilbrüche geschrieben werden:

Somit ist 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Wenn wir x durch 6 ersetzen, haben wir B = 1/2; und wenn wir x durch 8 ersetzen, haben wir A = - 1/2.

Integration durch Teilfraktionen haben wir:

Dies gibt uns als Ergebnis:

Differentialgleichungen: logistische Gleichung

Eine andere Anwendung, die auf Teilfraktionen angewendet werden kann, ist die logistische Differentialgleichung. In einfachen Modellen haben wir, dass die Wachstumsrate einer Bevölkerung proportional zu ihrer Größe ist; das heißt:

Dieser Fall ist ideal und wird als realistisch angesehen, bis die in einem System verfügbaren Ressourcen nicht ausreichen, um die Bevölkerung zu unterstützen.

In diesen Situationen ist es am vernünftigsten zu glauben, dass es eine maximale Kapazität gibt, die wir L nennen werden, die das System aufrechterhalten kann, und dass die Wachstumsrate proportional zur Größe der Bevölkerung multipliziert mit der verfügbaren Größe ist. Dieses Argument führt zu folgender Differentialgleichung:

Dieser Ausdruck wird als logistische Differentialgleichung bezeichnet. Es ist eine trennbare Differentialgleichung, die mit der Teilfraktionsintegrationsmethode gelöst werden kann.

Beispiel

Ein Beispiel wäre die Betrachtung einer Population, die gemäß der folgenden logistischen Differentialgleichung y '= 0,0004y (1000 - y) wächst, deren Anfangsdaten 400 sind. Wir möchten die Größe der Population zum Zeitpunkt t = 2 wissen, wobei t gemessen wird in Jahren.

Wenn wir y 'mit Leibniz' Notation als eine Funktion schreiben, die von t abhängt, haben wir:

Das Integral auf der linken Seite kann mit der Teilfraktionsintegrationsmethode gelöst werden:

Wir können diese letzte Gleichheit wie folgt umschreiben:

- Wenn wir y = 0 einsetzen, ist A gleich 1/1000.

- Wenn wir y = 1000 einsetzen, haben wir, dass B gleich 1/1000 ist.

Mit diesen Werten ist das Integral wie folgt:

Die Lösung ist:

Verwendung der Anfangsdaten:

Beim Clearing haben wir:

Dann haben wir das bei t = 2:

Zusammenfassend beträgt die Bevölkerungsgröße nach 2 Jahren ungefähr 597,37.

Verweise

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