FACTORING: METHODEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Faktorisierung ist eine Methode, mit der ein Polynom als Multiplikationsfaktoren ausgedrückt wird, die Zahlen oder Buchstaben oder beides sein können. Um zu faktorisieren, werden die Faktoren, die den Begriffen gemeinsam sind, zusammengefasst, und auf diese Weise wird das Polynom in mehrere Polynome zerlegt.

Wenn also die Faktoren miteinander multipliziert werden, ist das Ergebnis das ursprüngliche Polynom. Factoring ist eine sehr nützliche Methode, wenn Sie algebraische Ausdrücke haben, da es in die Multiplikation mehrerer einfacher Begriffe umgewandelt werden kann. Zum Beispiel: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Es gibt Fälle, in denen ein Polynom nicht berücksichtigt werden kann, weil es keinen gemeinsamen Faktor zwischen seinen Begriffen gibt. Somit sind diese algebraischen Ausdrücke nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Zum Beispiel: x + y + z.

In einem algebraischen Ausdruck ist der gemeinsame Faktor der größte gemeinsame Teiler der Begriffe, aus denen er besteht.

Faktorisierungsmethoden

Es gibt verschiedene Factoring-Methoden, die je nach Fall angewendet werden. Einige davon sind wie folgt:

Faktorisierung durch gemeinsamen Faktor

Bei dieser Methode werden die gemeinsamen Faktoren identifiziert. das heißt, diejenigen, die in den Begriffen des Ausdrucks wiederholt werden. Dann wird die Verteilungseigenschaft angewendet, der größte gemeinsame Teiler wird genommen und das Factoring wird abgeschlossen.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Faktor des Ausdrucks wird identifiziert und jeder Begriff wird durch ihn geteilt; Die resultierenden Terme werden mit dem größten gemeinsamen Teiler multipliziert, um die Faktorisierung auszudrücken.

Beispiel 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Lösung

Zuerst finden Sie den gemeinsamen Faktor jedes Terms, der in diesem Fall b ^{2 ist} , und dividieren dann die Terme durch den gemeinsamen Faktor wie folgt:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Die Faktorisierung wird ausgedrückt, indem der gemeinsame Faktor mit den resultierenden Begriffen multipliziert wird:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Beispiel 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Lösung

In diesem Fall haben wir zwei Faktoren, die sich in jedem Term wiederholen: "a" und "b" und die zu einer Potenz erhoben werden. Um sie zu berücksichtigen, werden die beiden Begriffe zunächst in ihrer langen Form zerlegt:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Es ist ersichtlich, dass der Faktor "a" im zweiten Term nur einmal wiederholt wird und der Faktor "b" dabei zweimal wiederholt wird; so bleiben im ersten Term nur 2 übrig, ein Faktor "a" und ein Faktor "b"; während im zweiten Semester nur noch 3 übrig sind.

Daher werden die Zeiten, zu denen "a" und "b" wiederholt werden, geschrieben und mit den Faktoren multipliziert, die von jedem Term übrig bleiben, wie in der Abbildung gezeigt:

Factoring gruppieren

Da nicht in allen Fällen der größte gemeinsame Teiler eines Polynoms klar ausgedrückt wird, müssen andere Schritte ausgeführt werden, um das Polynom und damit den Faktor neu schreiben zu können.

Einer dieser Schritte besteht darin, die Terme des Polynoms in mehrere Gruppen zu gruppieren und dann die Common-Factor-Methode zu verwenden.

Beispiel 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Lösung

Es gibt 4 Faktoren, bei denen zwei gemeinsam sind: Im ersten Term ist es «c» und im zweiten «d». Auf diese Weise werden die beiden Begriffe gruppiert und getrennt:

(ac + bc) + (ad + bd).

Jetzt ist es möglich, die Common-Factor-Methode anzuwenden, indem jeder Term durch seinen Common-Factor dividiert und dieser Common-Factor dann wie folgt mit den resultierenden Terms multipliziert wird:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Jetzt erhalten wir ein Binomial, das für beide Begriffe gleich ist. Um es zu faktorisieren, wird es mit den verbleibenden Faktoren multipliziert; auf diese Weise müssen Sie:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspektionsfaktor

Diese Methode wird verwendet, um quadratische Polynome, auch Trinome genannt, zu faktorisieren. das heißt, diejenigen, die als ax ² ± bx + c strukturiert sind , wobei sich der Wert von "a" von 1 unterscheidet. Diese Methode wird auch verwendet, wenn das Trinom die Form x ² ± bx + c und den Wert von "a" hat. = 1.

Beispiel 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Lösung

Wir haben ein quadratisches Trinom der Form x ² ± bx + c. Um dies zu faktorisieren, müssen Sie zuerst zwei Zahlen finden, die, wenn sie multipliziert werden, den Wert von «c» (dh 6) ergeben und deren Summe gleich dem Koeffizienten «b» ist, der 5 ist. Diese Zahlen sind 2 und 3 ::

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Somit wird der Ausdruck folgendermaßen vereinfacht:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Jeder Begriff wird berücksichtigt:

- Für (x ² + 2x) wird der übliche Begriff verwendet: x (x + 2)

- Für (3x + 6) = 3 (x + 2)

Der Ausdruck lautet also:

x (x +2) + 3 (x +2).

Da wir ein Binom gemeinsam haben, multiplizieren wir dieses mit den verbleibenden Begriffen, um den Ausdruck zu reduzieren, und wir müssen:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Beispiel 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Lösung

Wir haben ein quadratisches Trinom der Form ax ² ± bx + cy, um es zu faktorisieren, multiplizieren Sie den gesamten Ausdruck mit dem Koeffizienten von x ² ; in diesem Fall 4.

4a ² + 12a + 9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nun müssen wir zwei Zahlen finden, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, als Ergebnis den Wert von "c" (was 36 ist) ergeben und die, wenn sie addiert werden, als Ergebnis den Koeffizienten des Ausdrucks "a" ergeben, der 6 ist.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Auf diese Weise wird der Ausdruck unter Berücksichtigung von 4 ² a ² = 4a _* 4a umgeschrieben . Daher gilt die Verteilungseigenschaft für jeden Begriff:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Schließlich wird der Ausdruck durch den Koeffizienten von a ^{2 geteilt} ; das heißt, 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Der Ausdruck ist wie folgt:

4a ² + 12a + 9 = (2a + 3) _* (2a + 3).

Faktorisierung mit bemerkenswerten Produkten

Es gibt Fälle, in denen es sehr langwierig ist, die Polynome mit den oben genannten Methoden vollständig zu faktorisieren.

Deshalb kann mit den Formeln der bemerkenswerten Produkte ein Ausdruck entwickelt werden, wodurch der Prozess einfacher wird. Zu den am häufigsten verwendeten bemerkenswerten Produkten gehören:

- Differenz zweier Quadrate: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfektes Quadrat einer Summe: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfektes Quadrat einer Differenz: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Differenz zweier Würfel: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Summe zweier Würfel: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Beispiel 1

Faktor (5 ² - x ² )

Lösung

In diesem Fall gibt es einen Unterschied von zwei Quadraten; daher gilt die bemerkenswerte Produktformel:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Beispiel 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Lösung

In diesem Fall haben Sie ein perfektes Quadrat einer Summe, da Sie zwei Terme im Quadrat identifizieren können und der verbleibende Term das Ergebnis der Multiplikation von zwei mit der Quadratwurzel des ersten Terms und der Quadratwurzel des zweiten Terms ist.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Um nur die Quadratwurzeln des ersten und dritten Terms zu berücksichtigen, werden berechnet:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Dann werden die beiden resultierenden Terme durch das Vorzeichen der Operation getrennt ausgedrückt und das gesamte Polynom wird quadriert:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Beispiel 3

Faktor 27a ³ - b ³

Lösung

Der Ausdruck stellt eine Subtraktion dar, bei der zwei Faktoren gewürfelt werden. Um sie zu faktorisieren, wird die Formel für das bemerkenswerte Produkt der Differenz der Würfel angewendet, die lautet:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Um dies zu berücksichtigen, wird die Kubikwurzel jedes Terms des Binomials genommen und mit dem Quadrat des ersten Terms plus dem Produkt des ersten mit dem zweiten Term plus dem Quadrat des zweiten Terms multipliziert.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Berücksichtigung von Ruffinis Regel

Diese Methode wird verwendet, wenn Sie ein Polynom mit einem Grad größer als zwei haben, um den Ausdruck auf mehrere Polynome mit geringerem Grad zu vereinfachen.

Beispiel 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Lösung

Zuerst suchen wir nach den Zahlen, die Teiler von 12 sind, was der unabhängige Begriff ist; Dies sind ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 und ± 12.

Dann wird das x durch diese Werte vom niedrigsten zum höchsten ersetzt, und somit wird bestimmt, mit welchem ​​der Werte die Division genau sein wird; Das heißt, der Rest muss 0 sein:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≤ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Und so weiter für jeden Teiler. In diesem Fall sind die gefundenen Faktoren für x = -1 und x = 2.

Nun wird die Ruffini-Methode angewendet, nach der die Koeffizienten des Ausdrucks durch die gefundenen Faktoren dividiert werden, so dass die Division genau ist. Die Polynomterme sind vom höchsten zum niedrigsten Exponenten geordnet; Für den Fall, dass ein Term mit dem nächsten Grad in der Sequenz fehlt, wird an seine Stelle eine 0 gesetzt.

Die Koeffizienten befinden sich in einem Schema, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Der erste Koeffizient wird gesenkt und mit dem Divisor multipliziert. In diesem Fall ist der erste Divisor -1 und das Ergebnis wird in die nächste Spalte gestellt. Dann wird der Wert des Koeffizienten mit dem erhaltenen Ergebnis vertikal addiert und das Ergebnis unten platziert. Auf diese Weise wird der Vorgang bis zur letzten Spalte wiederholt.

Dann wird der gleiche Vorgang erneut wiederholt, jedoch mit dem zweiten Teiler (der 2 ist), da der Ausdruck noch vereinfacht werden kann.

Somit hat das Polynom für jede erhaltene Wurzel einen Term (x - a), wobei "a" der Wert der Wurzel ist:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Andererseits müssen diese Begriffe mit dem Rest von Ruffinis Regel 1: 1 und -6 multipliziert werden, die Faktoren sind, die einen Grad darstellen. Auf diese Weise wird folgender Ausdruck gebildet: (x ² + x - 6).

Das Ergebnis der Faktorisierung des Polynoms nach der Ruffini-Methode ergibt sich wie folgt:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Schließlich kann das Polynom vom Grad 2, das im vorherigen Ausdruck erscheint, als (x + 3) (x-2) umgeschrieben werden. Daher ist die endgültige Faktorisierung:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Verweise

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
2. J, V. (2014). Wie man Kindern das Faktorisieren eines Polynoms beibringt.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Grundlegende Mathematik mit Anwendungen.
4. Roelse, PL (1997). Lineare Methoden zur Polynomfaktorisierung über endliche Felder: Theorie und Implementierungen. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringe und Faktorisierung.