GEMEINSAMER FAKTOR DURCH GRUPPIERUNG VON BEGRIFFEN: BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Der gemeinsame Faktor bei der Gruppierung von Begriffen ist ein algebraisches Verfahren, mit dem Sie einige algebraische Ausdrücke in Form von Faktoren schreiben können. Um dieses Ziel zu erreichen, müssen Sie zuerst den Ausdruck richtig gruppieren und beobachten, dass jede so gebildete Gruppe tatsächlich einen gemeinsamen Faktor hat.

Die richtige Anwendung der Technik erfordert etwas Übung, aber in kürzester Zeit beherrschen Sie sie. Schauen wir uns zunächst ein anschauliches Beispiel an, das Schritt für Schritt beschrieben wird. Dann kann der Leser das Gelernte in jeder der Übungen anwenden, die später erscheinen werden.

Abbildung 1. Die Verwendung eines gemeinsamen Faktors durch Gruppierung von Begriffen erleichtert die Arbeit mit algebraischen Ausdrücken. Quelle: Pixabay.

Angenommen, Sie müssen den folgenden Ausdruck berücksichtigen:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Dieser algebraische Ausdruck besteht aus 4 Monomen oder Begriffen, die durch + und - Zeichen getrennt sind, nämlich:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Bei genauerem Hinsehen ist x den ersten drei gemeinsam, aber nicht dem letzten, während y dem zweiten und vierten gemeinsam ist und z dem dritten und vierten gemeinsam ist.

Im Prinzip gibt es also keinen gemeinsamen Faktor für die vier Begriffe gleichzeitig, aber wenn sie wie im nächsten Abschnitt gezeigt gruppiert werden, ist es möglich, dass einer erscheint, der hilft, den Ausdruck als Produkt von zwei oder mehr zu schreiben Faktoren.

Beispiele

Faktor der Ausdruck: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Schritt 1 : Gruppe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Schritt 2: Finden Sie den gemeinsamen Faktor jeder Gruppe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Ich mportant : das negative Vorzeichen ist auch ein gemeinsamer Faktor, der berücksichtigt werden muss.

Beachten Sie nun, dass die Klammern (x + y) in den beiden durch Gruppierung erhaltenen Begriffen wiederholt werden. Das ist der gemeinsame Faktor, der gesucht wurde.

Schritt 3: Faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Mit dem vorherigen Ergebnis wurde das Ziel des Factorings erreicht, das nichts anderes ist, als einen algebraischen Ausdruck, der auf Additionen und Subtraktionen von Begriffen basiert, in das Produkt von zwei oder mehr Faktoren umzuwandeln, in unserem Beispiel von: (x + y) und (2x - 3z).

Wichtige Fragen zum gemeinsamen Faktor durch Gruppierung

Frage 1 : Woher wissen Sie, dass das Ergebnis korrekt ist?

Antwort : Die Verteilungseigenschaft wird auf das erhaltene Ergebnis angewendet. Nach dem Reduzieren und Vereinfachen muss der so erhaltene Ausdruck mit dem Original übereinstimmen. Wenn nicht, liegt ein Fehler vor.

Im vorherigen Beispiel arbeiten wir umgekehrt mit dem Ergebnis, um zu überprüfen, ob es korrekt ist:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ^{2 -} 3zx + 2xy - 3zy

Da die Reihenfolge der Addenden die Summe nicht ändert, werden nach Anwendung der Verteilungseigenschaft alle ursprünglichen Begriffe einschließlich der Zeichen zurückgegeben, daher ist die Faktorisierung korrekt.

Frage 2: Könnte es anders gruppiert worden sein?

Antwort: Es gibt algebraische Ausdrücke, die mehr als eine Form der Gruppierung zulassen, und andere, die dies nicht tun. Im ausgewählten Beispiel kann der Leser andere Möglichkeiten selbst ausprobieren, z. B. die Gruppierung wie folgt:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Und Sie können überprüfen, ob das Ergebnis das gleiche ist, wie es hier erhalten wurde. Das Finden der optimalen Gruppierung ist eine Frage der Praxis.

Frage 3: Warum muss einem algebraischen Ausdruck ein gemeinsamer Faktor entnommen werden?

Antwort : Weil es Anwendungen gibt, bei denen der faktorisierte Ausdruck die Berechnung erleichtert. Angenommen, Sie möchten 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy gleich 0 setzen. Welche Möglichkeiten gibt es?

Um diese Frage zu beantworten, ist die faktorisierte Version in Bezug auf die ursprüngliche Entwicklung viel nützlicher als die ursprüngliche Entwicklung. Es wird so angegeben:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Eine Möglichkeit, dass der Ausdruck 0 wert ist, ist x = -y, unabhängig vom Wert von z. Und das andere ist, dass x = (3/2) z ist, unabhängig vom Wert von y.

Übungen

- Übung 1

Extrahieren Sie den gemeinsamen Faktor des folgenden Ausdrucks durch Gruppierung von Begriffen:

ax + ay + bx + von

Lösung

Die ersten beiden werden mit dem gemeinsamen Faktor "a" und die letzten beiden mit dem gemeinsamen Faktor "b" gruppiert:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Sobald dies geschehen ist, wird ein neuer gemeinsamer Faktor aufgedeckt, nämlich (x + y), so dass:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Ein anderer Weg, um zu gruppieren

Dieser Ausdruck unterstützt eine andere Art der Gruppierung. Mal sehen, was passiert, wenn die Begriffe neu angeordnet werden und eine Gruppe mit denen gebildet wird, die x enthalten, und eine andere mit denen, die y enthalten:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Auf diese Weise ist der neue gemeinsame Faktor (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Dies führt zu demselben Ergebnis aus der ersten getesteten Gruppierung.

- Übung 2

Der folgende algebraische Ausdruck muss als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Lösung

Dieser Ausdruck enthält 6 Begriffe. Versuchen wir, zuerst und viertens, zweitens und drittens und schließlich fünftes und sechstes zu gruppieren:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Jetzt wird jede Klammer berücksichtigt:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b - a) + b (a - 3b)

Auf den ersten Blick scheint die Situation kompliziert gewesen zu sein, aber der Leser sollte sich nicht entmutigen lassen, da wir den letzten Begriff neu schreiben werden:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b - a) + b (a - 3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b - a) - b (3b - a)

Die letzten beiden Terme haben jetzt einen gemeinsamen Faktor, nämlich (3b-a), sodass sie berücksichtigt werden können. Es ist sehr wichtig, den ersten Term a ² (3a - 1) nicht aus den Augen zu verlieren , der weiterhin alles als Ergänzung begleiten muss, auch wenn Sie nicht damit arbeiten:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Der Ausdruck wurde auf zwei Begriffe reduziert und im letzten wird ein neuer gemeinsamer Faktor entdeckt, nämlich "b". Jetzt bleibt es:

a ² (3a - 1) + (3b - a) (3ab - b) = a ² (3a - 1) + b (3b - a) (3a - 1)

Der nächste häufig auftretende Faktor ist 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b - a) (3a - 1) = (3a - 1)

Oder wenn Sie ohne Klammern bevorzugen:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² - ab + 3b ² )

Kann der Leser einen anderen Weg der Gruppierung finden, der zum gleichen Ergebnis führt?

Abbildung 2. Vorgeschlagene Factoring-Übungen. Quelle: F. Zapata.

Verweise

1. Baldor, A. 1974. Elementare Algebra. Kultur Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Hauptfälle des Factorings. Wiederhergestellt von: julioprofe.net.
4. UNAM. Grundlegende Mathematik: Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen. Fakultät für Rechnungswesen und Verwaltung.
5. Zill, D. 1984. Algebra und Trigonometrie. MacGraw Hill.