SYNTHETISCHE TEILUNG: METHODE UND GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die synthetische Teilung ist eine einfache Möglichkeit, ein Polynom P (x) in einer der Formen d (x) = x - c zu teilen. Beispielsweise kann das Polynom P (x) = (x ⁵ + 3 × ⁴ –7 × ³ + ² × ² –8 × + 1) als Multiplikation der beiden einfachsten Polynome (x + 1) und (x ⁴ + 2 × ^{3) dargestellt werden} ).

Es ist ein sehr nützliches Werkzeug, da wir nicht nur Polynome teilen können, sondern auch ein Polynom P (x) bei einer beliebigen Zahl c auswerten können, was uns wiederum genau sagt, ob diese Zahl eine Null des Polynoms ist oder nicht.

Dank des Divisionsalgorithmus wissen wir, dass es bei zwei nicht konstanten Polynomen P (x) und d (x) eindeutige Polynome q (x) und r (x) gibt, so dass P (x) = q (x) d ist (x) + r (x), wobei r (x) Null oder weniger als q (x) ist. Diese Polynome sind als Quotient und Rest bzw. Rest bekannt.

In den Fällen, in denen das Polynom d (x) die Form x-c hat, gibt uns die synthetische Division eine kurze Möglichkeit, herauszufinden, wer q (x) und r (x) sind.

Synthetische Teilungsmethode

Sei P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ das Polynom, das wir teilen wollen, und d (x) = xc der Divisor. Um durch die synthetische Teilungsmethode zu teilen, gehen wir wie folgt vor:

1- Wir schreiben die Koeffizienten von P (x) in die erste Zeile. Wenn keine Potenz von X erscheint, setzen wir Null als Koeffizienten.

2- In der zweiten Reihe links von a _{n platzieren} wir c und zeichnen Trennlinien wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

3- Wir senken den Leitkoeffizienten auf die dritte Reihe.

In diesem Ausdruck ist b _n-1 = a _n

4- Wir multiplizieren c mit dem führenden Koeffizienten b _n-1 und schreiben das Ergebnis in die zweite Zeile, aber eine Spalte nach rechts.

5- Wir fügen die Spalte hinzu, in die wir das vorherige Ergebnis schreiben, und platzieren das Ergebnis unter dieser Summe. das heißt, in derselben Spalte, dritte Zeile.

Beim Hinzufügen haben wir als Ergebnis _n-1 + c * b _n-1 , was wir der Einfachheit halber b _{n-2 nennen werden}

6- Wir multiplizieren c mit dem vorherigen Ergebnis und schreiben das Ergebnis rechts in die zweite Zeile.

7- Wir wiederholen die Schritte 5 und 6, bis wir den Koeffizienten bei _{0 erreichen} .

8- Wir schreiben die Antwort; das heißt, der Quotient und der Rest. Da wir ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad 1 teilen, haben wir, dass der Quotient vom Grad n-1 wäre.

Die Koeffizienten des Quotientenpolynoms sind die Zahlen in der dritten Reihe mit Ausnahme der letzten, bei der es sich um das Restpolynom oder den Rest der Division handelt.

Gelöste Übungen

- Beispiel 1

Führen Sie die folgende Division nach der synthetischen Divisionsmethode durch:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Lösung

Wir schreiben zuerst die Koeffizienten der Dividende wie folgt:

Dann schreiben wir c auf die linke Seite in der zweiten Reihe zusammen mit den Trennlinien. In diesem Beispiel ist c = -1.

Wir senken den Leitkoeffizienten (in diesem Fall b _n-1 = 1) und multiplizieren ihn mit -1:

Wir schreiben das Ergebnis rechts in die zweite Zeile, wie unten gezeigt:

Wir fügen die Zahlen in der zweiten Spalte hinzu:

Wir multiplizieren 2 mit -1 und schreiben das Ergebnis in die dritte Spalte, zweite Zeile:

Wir fügen in der dritten Spalte hinzu:

Wir gehen genauso vor, bis wir die letzte Spalte erreichen:

Wir haben also, dass die zuletzt erhaltene Zahl der Rest der Division ist und die verbleibenden Zahlen die Koeffizienten des Quotientenpolynoms sind. Dies ist wie folgt geschrieben:

Wenn wir überprüfen möchten, ob das Ergebnis korrekt ist, reicht es aus, um zu überprüfen, ob die folgende Gleichung wahr ist:

P (x) = q (x) · d (x) + r (x)

So können wir überprüfen, ob das erhaltene Ergebnis korrekt ist.

- Beispiel 2

Führen Sie die folgende Division von Polynomen nach der Methode der synthetischen Division durch

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Lösung

In diesem Fall erscheint der Term x ² nicht, daher schreiben wir 0 als Koeffizienten. Somit wäre das Polynom 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Wir schreiben ihre Koeffizienten in einer Reihe, dies ist:

Wir schreiben den Wert von C = -2 auf die linke Seite der zweiten Zeile und zeichnen die Trennlinien.

Wir senken den führenden Koeffizienten b _n-1 = 7 und multiplizieren ihn mit -2, wobei wir das Ergebnis in die zweite Zeile rechts schreiben.

Wir fügen hinzu und fahren wie zuvor erläutert fort, bis wir das letzte Semester erreichen:

In diesem Fall ist der Rest r (x) = –52 und der erhaltene Quotient ist q (x) = 7 × ² –14 × + 27.

- Beispiel 3

Eine andere Möglichkeit, die synthetische Division zu verwenden, ist die folgende: Nehmen wir an, wir haben ein Polynom P (x) vom Grad n und möchten wissen, was ein Wert ist, indem wir ihn bei x = c bewerten.

Mit dem Divisionsalgorithmus können wir das Polynom P (x) folgendermaßen schreiben:

In diesem Ausdruck sind q (x) und r (x) der Quotient bzw. der Rest. Wenn nun d (x) = x - c ist, erhalten wir bei der Auswertung bei c im Polynom Folgendes:

Daher bleibt nur ar (x) zu finden, und wir können dies dank der synthetischen Teilung tun.

Zum Beispiel haben wir das Polynom P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 und wir wollen wissen, welchen Wert es hat, indem wir es bei x = 5 auswerten. Dazu führen wir das aus Division zwischen P (x) und d (x) = x -5 durch die synthetische Divisionsmethode:

Sobald die Operationen abgeschlossen sind, wissen wir, dass wir P (x) auf folgende Weise schreiben können:

P (x) = (x ⁶ -4X ⁵ -X ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Daher müssen wir bei der Bewertung:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Wie wir sehen können, ist es möglich, die synthetische Division zu verwenden, um den Wert eines Polynoms zu ermitteln, indem man es bei c bewertet, anstatt einfach x durch c zu ersetzen.

Wenn wir versuchen würden, P (5) auf herkömmliche Weise zu bewerten, wären wir gezwungen, einige Berechnungen durchzuführen, die oft mühsam werden.

- Beispiel 4

Der Divisionsalgorithmus für Polynome gilt auch für Polynome mit komplexen Koeffizienten. Infolgedessen funktioniert die synthetische Divisionsmethode auch für solche Polynome. Wir werden unten ein Beispiel sehen.

Wir werden die synthetische Teilungsmethode verwenden, um zu zeigen, dass z = 1+ 2i eine Null des Polynoms P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i) ist; das heißt, der Rest der Division P (x) durch d (x) = x - z ist gleich Null.

Wir gehen wie zuvor vor: In der ersten Zeile schreiben wir die Koeffizienten von P (x), in der zweiten schreiben wir z und zeichnen die Teilungslinien.

Wir führen die Teilung wie zuvor durch; das ist:

Wir können beobachten, dass der Rest Null ist; daher schließen wir, dass z = 1+ 2i eine Null von P (x) ist.

Verweise

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafische, numerische, algebraische 7. Aufl. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Prentice Halle
4. Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Pearson Ausbildung.
5. Rot. Armando O. Algebra 1 6. Aufl. Das Athenaeum.