DISKRETE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN: EIGENSCHAFTEN, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind eine Funktion, die jedem Element von X (S) = {x1, x2, …, xi, …} zuweist, wobei X eine diskrete Zufallsvariable ist und S der Abtastraum ist, die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis tritt ein. Diese Funktion f von X (S), definiert als f (xi) = P (X = xi), wird manchmal als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bezeichnet.

Diese Masse von Wahrscheinlichkeiten wird im Allgemeinen in Tabellenform dargestellt. Da X eine diskrete Zufallsvariable ist, hat X (S) eine endliche Anzahl von Ereignissen oder eine zählbare Unendlichkeit. Unter den häufigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben wir die Gleichverteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung.

Eigenschaften

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

Wenn X nur eine endliche Anzahl von Werten annimmt (zum Beispiel x1, x2,…, xn), dann ist p (xi) = 0, wenn i> ny, daher wird die unendliche Reihe von Bedingungen b zu a endliche Reihen.

Diese Funktion erfüllt auch die folgenden Eigenschaften:

Sei B ein Ereignis, das der Zufallsvariablen X zugeordnet ist. Dies bedeutet, dass B in X (S) enthalten ist. Angenommen, B = {xi1, xi2, …}. So:

Mit anderen Worten ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen mit B verbundenen Ergebnisse.

Daraus können wir schließen, dass wenn a <b, die Ereignisse (X ≤ a) und (a <X ≤ b) sich gegenseitig ausschließen und ihre Vereinigung außerdem das Ereignis (X ≤ b) ist, also haben wir:

Typen

Gleichmäßige Verteilung über n Punkte

Es wird gesagt, dass eine Zufallsvariable X einer Verteilung folgt, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie an n Punkten einheitlich ist, wenn jedem Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:

Angenommen, wir haben ein Experiment, das zwei mögliche Ergebnisse hat: Es kann der Wurf einer Münze sein, deren mögliche Ergebnisse Kopf oder Zahl sind, oder die Wahl einer ganzen Zahl, deren Ergebnis eine gerade oder eine ungerade Zahl sein kann. Diese Art von Experiment ist als Bernoulli-Test bekannt.

Im Allgemeinen werden die beiden möglichen Ergebnisse als Erfolg und Misserfolg bezeichnet, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen in n voneinander unabhängigen Bernoulli-Tests mit der folgenden Verteilung bestimmen.

Binomialverteilung

Es ist die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, x Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Tests zu erzielen, deren Erfolgswahrscheinlichkeit p ist. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:

Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Binomialverteilung.

Die folgende Verteilung verdankt ihren Namen dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781-1840), der sie als Grenze der Binomialverteilung erhielt.

Poisson-Verteilung

Eine Zufallsvariable X soll eine Poisson-Verteilung des Parameters λ haben, wenn sie die positiven ganzzahligen Werte 0,1,2,3, … mit folgender Wahrscheinlichkeit annehmen kann:

In diesem Ausdruck ist λ die durchschnittliche Anzahl, die dem Auftreten des Ereignisses für jede Zeiteinheit entspricht, und x ist die Häufigkeit, mit der das Ereignis auftritt.

Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:

Hier ist ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Poisson-Verteilung darstellt.

Beachten Sie, dass wir diese Verteilungen immer approximieren können, solange die Anzahl der Erfolge gering und die Anzahl n der an einer Binomialverteilung durchgeführten Tests hoch ist, da die Poisson-Verteilung die Grenze der Binomialverteilung darstellt.

Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Verteilungen besteht darin, dass, während das Binomial von zwei Parametern abhängt, nämlich n und p, das Poisson nur von λ abhängt, was manchmal als Intensität der Verteilung bezeichnet wird.

Bisher haben wir nur über Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Fälle gesprochen, in denen die verschiedenen Experimente unabhängig voneinander sind; das heißt, wenn das Ergebnis von einem nicht durch ein anderes Ergebnis beeinflusst wird.

Wenn es zu Experimenten kommt, die nicht unabhängig sind, ist die hypergeometrische Verteilung sehr nützlich.

Hypergeometrische Verteilung

Sei N die Gesamtzahl der Objekte einer endlichen Menge, von denen wir k auf irgendeine Weise identifizieren können, wodurch eine Teilmenge K gebildet wird, deren Komplement durch die verbleibenden Nk-Elemente gebildet wird.

Wenn wir n Objekte zufällig auswählen, hat die Zufallsvariable X, die die Anzahl der zu K gehörenden Objekte in dieser Auswahl darstellt, eine hypergeometrische Verteilung der Parameter N, n und k. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:

Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der hypergeometrischen Verteilung.

Gelöste Übungen

Erste Übung

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Funkröhre (in einem bestimmten Gerätetyp) länger als 500 Stunden in Betrieb ist, beträgt 0,2. Wenn 20 Röhrchen getestet werden, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k davon länger als 500 Stunden laufen, k = 0, 1,2,…, 20?

Lösung

Wenn X die Anzahl der Röhren ist, die mehr als 500 Stunden arbeiten, nehmen wir an, dass X eine Binomialverteilung hat. So

Und so:

Für k ≥ 11 liegen die Wahrscheinlichkeiten unter 0,001

So können wir sehen, wie die Wahrscheinlichkeit, dass k davon länger als 500 Stunden arbeitet, zunimmt, bis es seinen Maximalwert erreicht (mit k = 4) und dann abnimmt.

Zweite Übung

Eine Münze wird 6 Mal geworfen. Wenn das Ergebnis teuer ist, werden wir sagen, dass es ein Erfolg ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Köpfe genau auftauchen?

Lösung

Für diesen Fall haben wir n = 6 und sowohl die Erfolgs- als auch die Misserfolgswahrscheinlichkeit sind p = q = 1/2

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Köpfe gegeben sind (dh k = 2),

Dritte Übung

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens vier Köpfe zu finden?

Lösung

Für diesen Fall haben wir k = 4, 5 oder 6

Dritte Übung

Angenommen, 2% der in einer Fabrik hergestellten Artikel sind defekt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass eine Stichprobe von 100 Artikeln drei fehlerhafte Artikel enthält.

Lösung

Für diesen Fall könnten wir die Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,02 anwenden und als Ergebnis erhalten:

Da p jedoch klein ist, verwenden wir die Poisson-Näherung mit λ = np = 2. So,

Verweise

1. Kai Lai Chung. Elementare Proability-Theorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen. Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Wahrscheinlichkeits- und statistische Anwendungen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Gelöste Probleme der diskreten Mathematik. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie- und Wahrscheinlichkeitsprobleme. McGRAW-HILL.