- Beispiele
- Berücksichtigung eines Unterschieds von Würfeln
- Beispiel 1
- Beispiel 2
- Beispiel 3
- Übung gelöst
- Übung 1
- Lösung für
- Lösung b
- Übung 2
- Lösung
- Verweise
Der Unterschied der Würfel ist ein binomialer algebraischer Ausdruck der Form a 3 - b 3 , wobei die Terme a und b reelle Zahlen oder algebraische Ausdrücke verschiedener Typen sein können. Ein Beispiel für einen Unterschied von Würfeln ist: 8 - x 3 , da 8 als 2 3 geschrieben werden kann .
Geometrisch können wir uns einen großen Würfel mit Seite a vorstellen, von dem der kleine Würfel mit Seite b abgezogen wird, wie in Abbildung 1 dargestellt:
Abbildung 1. Unterschied der Würfel. Quelle: F. Zapata.
Das Volumen der resultierenden Figur ist genau ein Unterschied der Würfel:
V = a 3 - b 3
Um einen alternativen Ausdruck zu finden, wird beobachtet, dass diese Figur in drei Prismen zerlegt werden kann, wie unten gezeigt:
Abbildung 2. Die Differenz der Würfel (links von der Gleichheit) entspricht der Summe der Teilvolumina (rechts). Quelle: F. Zapata.
Ein Prisma hat ein Volumen, das sich aus dem Produkt seiner drei Dimensionen ergibt: Breite x Höhe x Tiefe. Auf diese Weise ergibt sich Folgendes:
V = a 3 - b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
Faktor b ist rechts gemeinsam. Darüber hinaus gilt in der oben gezeigten Abbildung insbesondere Folgendes:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Daher kann gesagt werden, dass: b = a - b. So:
Diese Art, den Unterschied der Würfel auszudrücken, wird sich in vielen Anwendungen als sehr nützlich erweisen und wäre auf die gleiche Weise erhalten worden, selbst wenn sich die Seite des fehlenden Würfels in der Ecke von b = a / 2 unterschieden hätte.
Beachten Sie, dass die zweite Klammer dem bemerkenswerten Produkt des Quadrats der Summe sehr ähnlich ist, der Kreuzterm jedoch nicht mit 2 multipliziert wird. Der Leser kann die rechte Seite erweitern, um zu überprüfen, ob tatsächlich a 3 - b 3 erhalten wird .
Beispiele
Es gibt verschiedene Unterschiede bei Würfeln:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 und 6
(1/125) .x 6 - 27.y 9
Lassen Sie uns jeden von ihnen analysieren. Im ersten Beispiel kann die 1 als 1 = 1 3 geschrieben werden und der Term m 6 wird zu: (m 2 ) 3 . Beide Begriffe sind perfekte Würfel, daher ist ihr Unterschied:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
Im zweiten Beispiel werden die Begriffe neu geschrieben:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
Der Unterschied dieser Würfel ist: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Schließlich ist der Bruch (1/125) (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3 und y 9 = (y 3 ) 3 . Wenn Sie all dies in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten Sie:
(1/125) .x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Berücksichtigung eines Unterschieds von Würfeln
Das Berücksichtigen der Würfeldifferenz vereinfacht viele algebraische Operationen. Verwenden Sie dazu einfach die oben abgeleitete Formel:
Figure 3. Faktorisierung der Würfeldifferenz und Ausdruck eines bemerkenswerten Quotienten. Quelle: F. Zapata.
Das Verfahren zum Anwenden dieser Formel besteht nun aus drei Schritten:
- Zunächst wird die Kubikwurzel jedes der Terme der Differenz erhalten.
- Dann werden das Binomial und das Trinomial konstruiert, die auf der rechten Seite der Formel erscheinen.
- Schließlich werden das Binomial und das Trinomial ersetzt, um die endgültige Faktorisierung zu erhalten.
Lassen Sie uns die Verwendung dieser Schritte mit jedem der oben vorgeschlagenen Beispiele für Würfeldifferenzen veranschaulichen und so das faktorisierte Äquivalent erhalten.
Beispiel 1
Berücksichtigen Sie den Ausdruck 1 - m 6 gemäß den beschriebenen Schritten. Wir beginnen damit, den Ausdruck als 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3 umzuschreiben, um die jeweiligen Kubikwurzeln jedes Terms zu extrahieren:
Als nächstes werden das Binomial und das Trinom konstruiert:
a = 1
b = m 2
So:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1.M 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Schließlich wird es in der Formel a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ) eingesetzt:
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Beispiel 2
Faktorisieren:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3
Da es sich um perfekte Würfel handelt, sind die Kubikwurzeln unmittelbar: a 2 b und 2z 4 und 2 , daher folgt Folgendes:
- Binomial: a 2 b - 2z 4 und 2
- Trinom: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
Und jetzt ist die gewünschte Faktorisierung konstruiert:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Das Factoring ist im Prinzip fertig, aber es ist oft notwendig, jeden Begriff zu vereinfachen. Dann wird das bemerkenswerte Produkt - Quadrat einer Summe - entwickelt, das am Ende erscheint, und dann werden ähnliche Begriffe hinzugefügt. Denken Sie daran, dass das Quadrat einer Summe ist:
Das bemerkenswerte Produkt auf der rechten Seite ist wie folgt entwickelt:
(a 2 b + 2z 4 und 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 und 2 + 4z 8 und 4
Einsetzen der bei der Faktorisierung der Würfeldifferenz erhaltenen Expansion:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Wenn wir schließlich gleiche Terme gruppieren und die numerischen Koeffizienten berücksichtigen, die alle gerade sind, erhalten wir:
(a 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Beispiel 3
Factoring (1/125) x 6 - 27y 9 ist viel einfacher als im vorherigen Fall. Zunächst werden die Äquivalente von a und von b identifiziert:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Dann werden sie direkt in die Formel eingesetzt:
(1/125) .x 6 - 27y 9 =.
Übung gelöst
Der Unterschied der Würfel hat, wie gesagt, eine Vielzahl von Anwendungen in der Algebra. Mal sehen:
Übung 1
Löse die folgenden Gleichungen:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Lösung für
Zunächst wird die Gleichung folgendermaßen berücksichtigt:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Da 125 ein perfekter Würfel ist, werden die Klammern als Differenz der Würfel geschrieben:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
Die erste Lösung ist x = 0, aber wir finden mehr, wenn wir x 3 - 5 3 = 0 machen, dann:
x 3 = 5 3 → x = 5
Lösung b
Die linke Seite der Gleichung wird als 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 umgeschrieben . So:
4 3 - (9x) 3 = 0
Da der Exponent der gleiche ist:
9x = 4 → x = 9/4
Übung 2
Faktor der Ausdruck:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Lösung
Dieser Ausdruck ist ein Unterschied von Würfeln, wenn wir in der Faktorisierungsformel Folgendes feststellen:
a = x + y
b = x-y
Dann wird zuerst das Binom konstruiert:
a - b = x + y - (x - y) = 2y
Und jetzt das Trinom:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Bemerkenswerte Produkte werden entwickelt:
Als nächstes müssen Sie ähnliche Begriffe ersetzen und reduzieren:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Faktorisierung führt zu:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
Verweise
- Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
- CK-12-Stiftung. Summe und Differenz der Würfel. Wiederhergestellt von: ck12.org.
- Khan Akademie. Berücksichtigung von Würfelunterschieden. Wiederhergestellt von: es.khanacademy.org.
- Mathe macht Spaß für Fortgeschrittene. Unterschied von zwei Würfeln. Wiederhergestellt von: mathsisfun.com
- UNAM. Berücksichtigung eines Unterschieds von Würfeln. Wiederhergestellt von: dcb.fi-c.unam.mx.