DURCHMESSER: SYMBOLE UND FORMELN, WIE MAN ES BEKOMMT, UMFANG - MATHE - 2025

Der Durchmesser ist die gerade Linie, die durch die Mitte einer geschlossenen flachen Kurve oder einer Figur in zwei oder drei Dimensionen verläuft und die auch ihre gegenüberliegenden Punkte verbindet. Es ist normalerweise ein Kreis (eine flache Kurve), ein Kreis (eine flache Figur), eine Kugel oder ein rechter Kreiszylinder (dreidimensionale Objekte).

Obwohl Umfang und Kreis normalerweise als Synonyme verwendet werden, gibt es einen Unterschied zwischen den beiden Begriffen. Der Umfang ist die geschlossene Kurve, die den Kreis umschließt und die Bedingung erfüllt, dass der Abstand zwischen einem seiner Punkte und dem Mittelpunkt gleich ist. Dieser Abstand ist nichts anderes als der Radius des Umfangs. Stattdessen ist der Kreis eine flache Figur, die durch den Umfang begrenzt wird.

Abbildung 1. Der Durchmesser von Fahrradrädern ist ein wichtiges Merkmal bei ihrer Konstruktion. Quelle: Pixabay.

Im Fall von Umfang, Kreis und Kugel ist der Durchmesser ein gerades Segment, das mindestens drei Punkte enthält: den Mittelpunkt plus zwei Punkte der Kante des Umfangs oder Kreises oder die Oberfläche der Kugel.

Und für den rechten Kreiszylinder bezieht sich der Durchmesser auf den Querschnitt, der zusammen mit der Höhe die beiden charakteristischen Parameter darstellt.

Der Durchmesser des Umfangs und des Kreises, symbolisiert durch ø oder einfach den Buchstaben „D“ oder „d“, hängt mit seinem Umfang, seiner Kontur oder Länge zusammen, der mit dem Buchstaben L bezeichnet wird:

L = π.D = π. oder

Immer wenn es einen Umfang gibt, ist der Quotient zwischen seiner Länge und seinem Durchmesser die irrationale Zahl π = 3.14159… auf folgende Weise:

π = L / D.

Wie bekomme ich den Durchmesser?

Wenn Sie den Umfang oder den Kreis oder direkt das kreisförmige Objekt wie eine Münze oder einen Ring zeichnen, ist es sehr einfach, den Durchmesser mit einem Lineal zu ermitteln. Sie müssen nur sicherstellen, dass die Kante des Lineals gleichzeitig zwei Punkte am Umfang und in der Mitte berührt.

Ein Messschieber, Nonius oder Messschieber eignet sich sehr gut zum Messen von Außen- und Innendurchmessern an Münzen, Reifen, Ringen, Muttern, Rohren und mehr.

Abbildung 2. Digitales Nonius, das den Durchmesser einer Münze misst. Quelle: Pixabay.

Wenn wir anstelle des Objekts oder seiner Zeichnung Daten wie den Radius R haben, dann multiplizieren wir mit 2 den Durchmesser. Und wenn die Länge oder der Umfang des Umfangs bekannt ist, kann der Durchmesser auch durch Löschen bekannt gemacht werden:

Eine andere Möglichkeit, den Durchmesser zu ermitteln, besteht darin, die Fläche des Kreises, die sphärische Oberfläche, den Querschnitt des Zylinders, die gekrümmte Fläche des Zylinders oder die Volumina der Kugel oder des Zylinders zu kennen. Es hängt alles davon ab, um welche geometrische Figur es sich handelt. Zum Beispiel ist der Durchmesser in den folgenden Bereichen und Volumina beteiligt:

- Fläche des Kreises : π. (D / 2) ^{2 -}
Fläche der Kugelfläche : 4π. (D / 2) ^{2 -}
Volumen der Kugel : (4/3) π. (D / 2) ^{3 -}
Volumen der rechter Kreiszylinder : π. (D / 2) ² .H (H ist die Höhe des Zylinders)

Zahlen mit konstanter Breite

Der Kreis ist eine flache Figur mit konstanter Breite, da die Breite, wo immer Sie ihn betrachten, der Durchmesser D ist. Es gibt jedoch auch andere, möglicherweise weniger bekannte Figuren, deren Breite ebenfalls konstant ist.

Lassen Sie uns zunächst sehen, was unter der Breite einer Figur zu verstehen ist: Es ist der Abstand zwischen zwei parallelen Linien - Stützlinien -, die wiederum senkrecht zur angegebenen Richtung sind und die Figur einschließen, wie im linken Bild gezeigt:

Abbildung 3. Breite einer flachen Figur (links) und eines Reuleaux-Dreiecks, eine Figur mit konstanter Breite (rechts). Quelle: F. Zapata.

Rechts neben dem Reuleaux-Dreieck befindet sich eine Figur mit konstanter Breite, die die in der linken Figur angegebene Bedingung erfüllt. Wenn die Breite der Figur D ist, ist ihr Umfang durch den Satz von Barbier gegeben:

L = π.D

Die Abwasserkanäle der kalifornischen Stadt San Francisco sind wie ein Reuleaux-Dreieck geformt, das nach dem deutschen Ingenieur Franz Reuleaux (1829 - 1905) benannt ist. Auf diese Weise können die Deckel nicht durch das Loch fallen und es wird weniger Material verwendet, um sie herzustellen, da ihre Fläche geringer ist als die des Kreises:

A = (1 - √3) .πD ² = 0,705.D ²

Während für einen Kreis:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Dieses Dreieck ist jedoch nicht die einzige Figur mit konstanter Breite. Sie können die sogenannten Reuleaux-Polygone mit anderen Polygonen mit einer ungeraden Anzahl von Seiten erstellen.

Durchmesser eines Umfangs

In der nächsten Abbildung sind die Elemente des Kreises wie folgt definiert:

Akkord : Liniensegment, das zwei Punkte am Umfang verbindet. In der Abbildung ist der Akkord dargestellt, der die Punkte C und D verbindet. Es können jedoch unendlich viele Akkorde gezeichnet werden, die ein beliebiges Punktpaar auf dem Umfang verbinden.

Durchmesser : Es ist der Akkord, der durch die Mitte verläuft und zwei Punkte des Umfangs mit der Mitte O verbindet. Es ist der längste Akkord eines Umfangs, aus diesem Grund wird er als „Dur-Akkord“ bezeichnet.

Radius : Liniensegment, das die Mitte mit einem beliebigen Punkt auf dem Umfang verbindet. Sein Wert ist ebenso wie der Durchmesser konstant.

Umfang : Dies ist die Menge aller Punkte in gleichem Abstand von O.

Bogen : Es ist definiert als ein Umfangssegment, das durch zwei Radien begrenzt ist (in der Abbildung nicht gezeichnet).

Abbildung 4. Teile des Umfangs, einschließlich des Durchmessers, der durch die Mitte verläuft. Quelle: Wikimedia Commons.

- Beispiel 1

Das gezeigte Rechteck ist 10 Zoll groß und bildet beim Rollen einen rechten Kreiszylinder mit einem Durchmesser von 5 Zoll. Beantworten Sie folgende Fragen:

Abbildung 5. Ein gerolltes Rechteck wird zu einem rechten Kreiszylinder. Quelle: Jiménez, R. Mathematik II. Geometrie und Trigonometrie. 2 .. Auflage. Pearson.

a) Wie ist die Kontur des Rohrs?
b) Finden Sie die Fläche des Rechtecks.
c) Finden Sie die Querschnittsfläche des Zylinders.

Lösung für

Der Umriss der Röhre ist L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Lösung b

Die Fläche des Rechtecks ​​ist Basis x Höhe, wobei die Basis L bereits berechnet wurde und die Höhe 10 Zoll gemäß der Aussage beträgt, daher:

A = 15,71 in x 10 in = 157,1 in ² .

Lösung c

Schließlich wird die angeforderte Fläche wie folgt berechnet:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 Zoll ) ² = 19,63 Zoll ² .

- Beispiel 2

Berechnen Sie den schattierten Bereich in Abbildung 5a. Der Platz hat Seite L.

Abbildung 6. Suchen Sie den schattierten Bereich in der linken Abbildung. Jiménez, R. Mathematik II. Geometrie und Trigonometrie. 2 .. Auflage. Pearson.

Lösung

In Abbildung 5b wurden zwei Halbkreise gleicher Größe in Pink und Blau gezeichnet, die der Originalfigur überlagert sind. Zwischen ihnen bilden sie einen vollständigen Kreis. Wenn Sie die Fläche des Quadrats finden und die Fläche des Kreises subtrahieren, erstellen Sie die schattierte Fläche in Abbildung 5b. Bei genauerem Hinsehen stellt sich heraus, dass es sich bei 5a um die Hälfte des schattierten Bereichs handelt.

- Quadratische Fläche: L ^{2 -}
Durchmesser des Halbkreises: L -
Fläche des Kreises: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ^{2 -}
Unterschied der Flächen = Hälfte der schattierten Fläche =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

- Schattierter Bereich = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292 L ²

Wie viele Durchmesser hat ein Umfang?

Sie können unendliche Durchmesser auf einen Kreis zeichnen, von denen jeder den gleichen Wert hat.

Verweise

1. Antonio. Reuleaux-Dreiecke und andere Kurven konstanter Breite. Wiederhergestellt von: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Ebenen- und Raumgeometrie und Trigonometrie. Patria Kulturgruppe.
3. Jiménez, R. Mathematik II. Geometrie und Trigonometrie. 2 .. Auflage. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleaux-Dreieck. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Durchmesser. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com.