DREIECKSUNGLEICHUNG: BEWEISE, BEISPIELE, GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Es wird als ungleiche Dreieckseigenschaft bezeichnet , die zwei reelle Zahlen erfüllt, die aus dem Absolutwert ihrer Summe bestehen, der immer kleiner oder gleich der Summe ihrer Absolutwerte ist. Diese Eigenschaft wird auch als Minkowski-Ungleichung oder dreieckige Ungleichung bezeichnet.

Diese Eigenschaft von Zahlen wird als dreieckige Ungleichung bezeichnet, da in Dreiecken die Länge einer Seite immer kleiner oder gleich der Summe der beiden anderen ist, obwohl diese Ungleichung nicht immer im Bereich der Dreiecke gilt.

Abbildung 1. Der Absolutwert der Summe zweier Zahlen ist immer kleiner oder gleich der Summe ihrer Absolutwerte. (Vorbereitet von R. Pérez)

Es gibt mehrere Beweise für die dreieckige Ungleichung in reellen Zahlen, aber in diesem Fall wählen wir einen basierend auf den Eigenschaften des Absolutwerts und des Binomialquadrats.

Satz: Für jedes Zahlenpaar a und b, das zu den reellen Zahlen gehört, haben wir:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstration

Wir beginnen mit der Betrachtung des ersten Mitglieds der Ungleichung, das quadriert wird:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Gleichung 1)

Im vorherigen Schritt haben wir die Eigenschaft verwendet, dass jede quadratische Zahl gleich dem Absolutwert dieser quadratischen Zahl ist, dh: -x- ^ 2 = x ^ 2. Die quadratische Binomialerweiterung wurde ebenfalls verwendet.

Jede Zahl x ist kleiner oder gleich ihrem absoluten Wert. Wenn die Zahl positiv ist, ist sie gleich, aber wenn die Zahl negativ ist, ist sie immer kleiner als eine positive Zahl. In diesem Fall kann ein eigener absoluter Wert angegeben werden, dh x ≤ - x -.

Das Produkt (ab) ist eine Zahl, daher gilt (ab) ≤ - ab -. Wenn diese Eigenschaft auf (Gleichung 1) angewendet wird, haben wir:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Äqu. 2)

Unter Berücksichtigung, dass - ab - = - a - b - la (Gleichung 2) wie folgt geschrieben werden kann:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Gleichung 3)

Da wir jedoch zuvor gesagt haben, dass das Quadrat einer Zahl gleich dem Absolutwert der Zahl im Quadrat ist, kann Gleichung 3 wie folgt umgeschrieben werden:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Gleichung 4)

Im zweiten Mitglied der Ungleichung wird ein bemerkenswertes Produkt erkannt, das bei Anwendung zu Folgendem führt:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Gleichung 5)

Im vorherigen Ausdruck ist zu beachten, dass die in beiden Gliedern der Ungleichung zu quadrierenden Werte positiv sind, daher muss auch Folgendes erfüllt sein:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Gleichung 6)

Der vorherige Ausdruck ist genau das, was Sie demonstrieren wollten.

Beispiele

Als nächstes werden wir die dreieckige Ungleichung anhand mehrerer Beispiele überprüfen.

Beispiel 1

Wir nehmen den Wert a = 2 und den Wert b = 5, dh beide positive Zahlen, und prüfen, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Die Gleichheit wird verifiziert, daher wurde der Satz der Dreiecksungleichheit erfüllt.

Beispiel 2

Die folgenden Werte a = 2 und b = -5 werden gewählt, dh eine positive Zahl und die andere negative, wir prüfen, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Die Ungleichung ist erfüllt, daher wurde der Satz der dreieckigen Ungleichung verifiziert.

Beispiel 3

Wir nehmen den Wert a = -2 und den Wert b = 5, dh eine negative Zahl, und den anderen positiven Wert. Wir prüfen, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Die Ungleichung wird verifiziert, daher wurde der Satz erfüllt.

Beispiel 4

Die folgenden Werte a = -2 und b = -5 werden gewählt, dh beide negative Zahlen, und wir prüfen, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Die Gleichheit wird verifiziert, daher wurde Minkowskis Ungleichheitssatz erfüllt.

Beispiel 5

Wir nehmen den Wert a = 0 und den Wert b = 5, dh eine Zahl Null und die andere positive, dann prüfen wir, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Die Gleichheit ist erfüllt, daher wurde der Satz der Dreiecksungleichheit verifiziert.

Beispiel 6

Wir nehmen den Wert a = 0 und den Wert b = -7, dh eine Zahl Null und die andere positive, dann prüfen wir, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Die Gleichheit wird verifiziert, daher wurde der Satz der dreieckigen Ungleichheit erfüllt.

Gelöste Übungen

Stellen Sie in den folgenden Übungen geometrisch die Dreiecksungleichung oder Minkowski-Ungleichung für die Zahlen a und b dar.

Die Zahl a wird als Segment auf der X-Achse dargestellt, ihr Ursprung O fällt mit der Null der X-Achse zusammen und das andere Ende des Segments (am Punkt P) liegt in der positiven Richtung (rechts) der X-Achse, wenn a > 0, aber wenn a <0, wird es in Richtung der negativen Richtung der X-Achse sein, so viele Einheiten, wie sein absoluter Wert anzeigt.

In ähnlicher Weise wird die Zahl b als ein Segment dargestellt, dessen Ursprung auf Punkt P liegt. Das andere Extrem, dh Punkt Q, befindet sich rechts von P, wenn b positiv ist (b> 0) und Punkt Q -b ist - Einheiten links von P, wenn b <0 ist.

Übung 1

Stellen Sie die Ungleichung des Dreiecks für a = 5 und b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - grafisch dar, wobei c = a + b.

Übung 2

Stellen Sie die dreieckige Ungleichung für a = 5 und b = -3 grafisch dar.

- a + b - ≤ - a - + - b -, wobei c = a + b.

Übung 3

Zeigen Sie grafisch die Ungleichung des Dreiecks für a = -5 und b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, wobei c = a + b.

Übung 4

Konstruieren Sie grafisch die dreieckige Ungleichung für a = -5 und b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, wobei c = a + b.

Verweise

1. E. Whitesitt. (1980). Boolesche Algebra und ihre Anwendungen. Redaktion Continental CA.
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elemente der abstrakten Analyse. . Abteilung für Mathematik. Universität Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Mathematik und Ingenieurwissenschaften in der Informatik. Institut für Informatik und Technologie. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Mathematik für die Informatik. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Infinitesimalrechnung. Fakultät für Mathematik und Informatik und KI-Labor, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Akademie. Dreieck-Ungleichungssatz. Wiederhergestellt von: khanacademy.org
7. Wikipedia. Dreieckige Ungleichung. Wiederhergestellt von: es. wikipedia.com