ZERLEGUNG NATÜRLICHER ZAHLEN (BEISPIELE UND ÜBUNGEN) - MATHE - 2025

Die Zerlegung natürlicher Zahlen kann auf verschiedene Arten erfolgen: als Produkt von Primfaktoren, als Summe von Zweierpotenzen und additiver Zerlegung. Sie werden nachstehend ausführlich erläutert.

Eine nützliche Eigenschaft von Zweierpotenzen besteht darin, dass sie eine Zahl aus dem Dezimalsystem in eine Zahl aus dem Binärsystem umwandeln können. Zum Beispiel entspricht 7 (Zahl im Dezimalsystem) der Zahl 111, da 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Zum Zählen werden natürliche Zahlen verwendet

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen Objekte gezählt und aufgezählt werden können. In den meisten Fällen wird davon ausgegangen, dass natürliche Zahlen bei 1 beginnen. Diese Zahlen werden in der Schule unterrichtet und sind für fast alle Aktivitäten des täglichen Lebens nützlich.

Möglichkeiten, natürliche Zahlen zu zerlegen

Wie bereits erwähnt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, natürliche Zahlen zu zerlegen.

Zersetzung als Produkt von Primfaktoren

Jede natürliche Zahl kann als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden. Wenn die Zahl bereits eine Primzahl ist, wird ihre Zerlegung selbst mit eins multipliziert.

Wenn nicht, wird es durch die kleinste Primzahl geteilt, durch die es teilbar ist (es kann ein- oder mehrmals sein), bis eine Primzahl erhalten wird.

Beispielsweise:

5 = 5 * 1.

15 = 3 * 5.

28 = 2 * 2 * 7.

624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.

175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.

Zersetzung als Summe der Potenzen von 2

Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass jede natürliche Zahl als Summe von Potenzen von 2 ausgedrückt werden kann. Zum Beispiel:

1 = 2 ^ 0.

2 = 2 ^ 1.

3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

4 = 2 ^ 2.

5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.

6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.

7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

8 = 2 ^ 3.

15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

Additive Zersetzung

Eine andere Möglichkeit, natürliche Zahlen zu zerlegen, besteht darin, ihr Dezimalzahlensystem und den Stellenwert jeder Ziffer zu berücksichtigen.

Dies wird erreicht, indem die Zahlen von rechts nach links betrachtet werden und mit Einheit, zehn, hundert, Einheit tausend, zehntausend, hunderttausend, Einheit Millionen usw. begonnen wird. Diese Einheit wird mit dem entsprechenden Nummerierungssystem multipliziert.

Beispielsweise:

239 = 2 · 100 + 3 · 10 + 9 · 1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.

Übungen und Lösungen

Betrachten Sie die Zahl 865236. Finden Sie ihre Zerlegung in ein Produkt aus Primzahlen, der Summe der Potenzen von 2 und ihrer additiven Zerlegung.

Zerlegung in ein Produkt von Primzahlen

- Da 865236 gerade ist, können Sie sicher sein, dass die kleinste Primzahl, durch die sie teilbar ist, 2 ist.

- Teilen durch 2 erhalten Sie: 865236 = 2 * 432618. Wieder erhalten Sie eine gerade Zahl.

-Es wird weiter geteilt, bis eine ungerade Zahl erhalten wird. Dann: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-Die letzte Zahl ist ungerade, aber durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern ist.

-So, 865236 = 2 · 432618 = 2 · 2 · 216309 = 2 · 2 · 3 · 72103. Die Nummer 72103 ist eine Primzahl.

-Daher ist die gewünschte Zersetzung die letzte.

Zersetzung

-Die höchste Potenz von 2, die 865236 am nächsten kommt, wird gesucht.

-Das ist 2 ^ 19 = 524288. Wiederholen Sie dies jetzt für die Differenz 865236 - 524288 = 340948.

-Die nächste Potenz ist in diesem Fall 2 ^ 18 = 262144. Nun fahren wir mit 340948-262144 = 78804 fort.

-In diesem Fall ist die nächste Leistung 2 ^ 16 = 65536. Fahren Sie mit 78804 - 65536 = 13268 fort, und wir erhalten, dass die nächste Leistung 2 ^ 13 = 8192 ist.

-Jetzt mit 13268 - 8192 = 5076 und Sie erhalten 2 ^ 12 = 4096.

-Dann mit 5076 - 4096 = 980 und wir haben 2 ^ 9 = 512. Wir fahren mit 980 - 512 = 468 fort und die nächste Potenz ist 2 ^ 8 = 256.

-Jetzt kommt 468 - 256 = 212 mit 2 ^ 7 = 128.

-Dann 212 - 128 = 84 mit 2 ^ 6 = 64.

-Jetzt 84 - 64 = 20 mit 2 ^ 4 = 16.

-Und schließlich 20 - 16 = 4 mit 2 ^ 2 = 4.

Schließlich müssen Sie:

865 236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.

Additive Zersetzung

Wenn wir die Einheiten identifizieren, haben wir, dass die Einheit der Zahl 6 entspricht, der Zehn bis 3, der Hundert bis 2, der Einheit von eintausend bis fünf, der Zehn von eintausend bis sechs und der Hundert von eintausend bis acht.

Dann,

865236 = 8 * 100.000 + 6 * 10.000 + 5 * 1.000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6

= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

Verweise

1. Barker, L. (2011). Leveled Texte für Mathematik: Anzahl und Operationen. Vom Lehrer erstellte Materialien.
2. Burton, M., French, C. & Jones, T. (2011). Wir verwenden Zahlen. Benchmark Education Company.
3. Doudna, K. (2010). Niemand schlummert, wenn wir Zahlen verwenden! ABDO Verlag.
4. Fernández, JM (1996). Projekt zum Ansatz chemischer Bindungen. Reverte.
5. Hernández, J. d. (sf). Mathe-Notizbuch. Schwelle.
6. Lahora, MC (1992). Mathematische Aktivitäten mit Kindern von 0 bis 6 Jahren. Narcea Editions.
7. Marín, E. (1991). Spanische Grammatik. Editorial Progreso.
8. Tocci, RJ & Widmer, NS (2003). Digitale Systeme: Prinzipien und Anwendungen. Pearson Ausbildung.