TEILABLEITUNGEN: NOTATION, BEISPIELE UND GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die partiellen Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen sind diejenigen, die die Änderungsrate der Funktion bestimmen, wenn eine der Variablen eine infinitesimale Variation aufweist, während die anderen Variablen unverändert bleiben.

Um die Idee konkreter zu machen, nehmen wir den Fall einer Funktion zweier Variablen an: z = f (x, y). Die partielle Ableitung der Funktion f in Bezug auf die Variable x wird als gewöhnliche Ableitung in Bezug auf x berechnet, wobei die Variable y so genommen wird, als ob sie konstant wäre.

Figure 1. Funktion f (x, y) und ihre partiellen Ableitungen ∂ _x f y ∂ _y f am Punkt P. (Ausgearbeitet von R. Pérez mit Geogebra)

Partielle Ableitungsnotation

Die partielle Ableitungsoperation der Funktion f (x, y) für die Variable x wird auf eine der folgenden Arten bezeichnet:

In partiellen Ableitungen wird das Symbol ∂ (eine Art gerundeter Buchstabe d, auch Jacobis d genannt) verwendet, im Gegensatz zur gewöhnlichen Ableitung für Funktionen mit einer Variablen, bei der der Buchstabe d für die Ableitung verwendet wird.

Im Allgemeinen führt die partielle Ableitung einer multivariaten Funktion in Bezug auf eine ihrer Variablen zu einer neuen Funktion in denselben Variablen der ursprünglichen Funktion:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Berechnung und Bedeutung der partiellen Ableitung

So bestimmen Sie die Änderungsrate oder Steigung der Funktion für einen bestimmten Punkt (x = a, y = b) in Richtung parallel zur X-Achse:

1- berechnet die Funktion ∂ _x f (x, y) = g (x, y), wobei die gewöhnliche Ableitung in der variierenden xy genommen wird, wobei fest oder konstant und die Variable übrig bleiben.

2- Dann wird der Wert des Punktes x = a und y = b eingesetzt, in dem wir die Änderungsrate der Funktion in x-Richtung wissen wollen:

{Steigung in x-Richtung am Punkt (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Um die Änderungsrate in y-Richtung am Koordinatenpunkt (a, b) zu berechnen, berechnen Sie zunächst ∂ _und f (x, y) = h (x, y).

4- Dann wird der Punkt (x = a, y = b) im vorherigen Ergebnis eingesetzt, um Folgendes zu erhalten:

{Steigung in y-Richtung am Punkt (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Beispiele für partielle Derivate

Einige Beispiele für partielle Ableitungen sind wie folgt:

Beispiel 1

Angesichts der Funktion:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Finden Sie die partiellen Ableitungen der Funktion f in Bezug auf die Variable x und die Variable y.

Lösung:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Es ist zu beachten, dass zur Berechnung der partiellen Ableitung der Funktion f in Bezug auf die Variable x die gewöhnliche Ableitung in Bezug auf x durchgeführt wurde, aber die Variable y so genommen wurde, als ob sie konstant wäre. In ähnlicher Weise wurde bei der Berechnung der partiellen Ableitung von f in Bezug auf y die Variable x so angenommen, als ob sie eine Konstante wäre.

Die Funktion f (x, y) ist eine Oberfläche, die als Paraboloid bezeichnet wird und in Abbildung 1 in ockerfarbener Farbe dargestellt ist.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Änderungsrate (oder Steigung) der Funktion f (x, y) aus Beispiel 1 in Richtung der X-Achse und der Y-Achse für den Punkt (x = 1, y = 2).

Lösung: Um die Steigungen in x- und y-Richtung am angegebenen Punkt zu ermitteln, setzen Sie einfach die Werte des Punkts in die Funktion ∂ _x f (x, y) und in die Funktion ∂ _y f (x, y) ein:

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _und f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Abbildung 1 zeigt die Tangentenlinie (in roter Farbe) zu der Kurve, die durch den Schnittpunkt der Funktion f (x, y) mit der Ebene y = 2 bestimmt wird. Die Steigung dieser Linie beträgt -2. 1 zeigt auch die Tangentenlinie (in Grün) zu der Kurve, die den Schnittpunkt der Funktion f mit der Ebene x = 1 definiert; Diese Linie hat eine Steigung von -4.

Übungen

Übung 1

Ein konisches Glas enthält zu einem bestimmten Zeitpunkt Wasser, so dass die Wasseroberfläche den Radius r und die Tiefe h hat. Das Glas hat jedoch ein kleines Loch im Boden, durch das Wasser mit einer Geschwindigkeit von C Kubikzentimetern pro Sekunde verloren geht. Bestimmen Sie die Sinkgeschwindigkeit von der Wasseroberfläche in Zentimetern pro Sekunde.

Lösung:

Zunächst ist zu beachten, dass das Wasservolumen zum gegebenen Zeitpunkt Folgendes beträgt:

Das Volumen ist eine Funktion von zwei Variablen, Radius r und Tiefe h: V (r, h).

Wenn sich das Volumen um einen infinitesimalen Betrag dV ändert, ändern sich auch der Radius r der Wasseroberfläche und die Tiefe h des Wassers gemäß der folgenden Beziehung:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Wir fahren fort, die partiellen Ableitungen von V in Bezug auf r bzw. h zu berechnen:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Weiterhin erfüllen der Radius r und die Tiefe h die folgende Beziehung:

Das Teilen beider Mitglieder durch die Zeitdifferenz dt ergibt:

dV / dt = πr ^ 2 (dh / dt)

Aber dV / dt ist das pro Zeiteinheit verlorene Wasservolumen, das bekanntermaßen C Zentimeter pro Sekunde beträgt, während dh / dt die Abstiegsrate der freien Wasseroberfläche ist, die als v bezeichnet wird. Das heißt, die Wasseroberfläche fällt zum gegebenen Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit v (in cm / s) ab, die gegeben ist durch:

v = C / (π r ^ 2).

Als numerische Anwendung sei angenommen, dass r = 3 cm, h = 4 cm und die Leckrate C 3 cm 3 / s beträgt. Dann ist die Abstiegsgeschwindigkeit der Oberfläche zu diesem Zeitpunkt:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Übung 2

Das Clairaut-Schwarz-Theorem besagt, dass, wenn eine Funktion in ihren unabhängigen Variablen stetig ist und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf die unabhängigen Variablen ebenfalls stetig sind, die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung ausgetauscht werden können. Überprüfen Sie diesen Satz auf die Funktion

f (x, y) = x ^ 2 y, das heißt, es muss wahr sein, dass f _xy f = ∂ _yx f.

Lösung:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), während ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Es hat sich gezeigt, dass der Satz von Schwarz gilt, da die Funktion f und ihre partiellen Ableitungen für alle reellen Zahlen stetig sind.

Verweise

1. Frank Ayres, J. & Mendelson, E. (2000). Berechnung 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Die Berechnung mit analytischer Geometrie. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Berechnung. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (2006). Integralrechnung. Hypotenuse.
6. Wikipedia. Partielle Ableitung. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com