- Wie werden implizite Derivate gelöst?
- Kettenregel
- Betriebsreihenfolge
- Implizit
- Geschichte
- Anwendungen
- Gelöste Übungen
- Übung 1
- Übung 2
- Verweise
Die impliziten Ableitungen sind Werkzeuge, die in einer Differenzierungstechnik verwendet werden, die auf Funktionen angewendet wird. Sie werden angewendet, wenn es mit regulären Methoden nicht möglich ist, nach der abzuleitenden abhängigen Variablen zu suchen. Diese Freigabe erfolgt in Abhängigkeit von der unabhängigen Variablen.
Beispielsweise kann im Ausdruck 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy der Ausdruck, der "y" als Funktion von "x" definiert, nicht erhalten werden. Damit kann durch Ableiten des Differentialausdrucks dy / dx erhalten werden.
Wie werden implizite Derivate gelöst?
Um eine implizite Ableitung zu lösen, beginnen wir mit einem impliziten Ausdruck. Zum Beispiel: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Dies wurde bereits korrekt gelöst, dies ist jedoch keine notwendige Bedingung, um die Ableitung von y in Bezug auf x zu erhalten. Dann wird jedes der Elemente unter Berücksichtigung der Kettenregel für gemischte Funktionen abgeleitet:
3xy 3 besteht aus 2 Variablen, daher wird d (3xy 3 ) als Ableitung eines Funktionsprodukts behandelt.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Wobei das Element y 'als "y prime" bekannt ist und dy / dx darstellt
-2y Es wird nach dem Gesetz KU = K.U 'abgeleitet.
d (-2y) = -2y '
xy 2 nimmt ein anderes Differential an, das sich aus einem Produkt von Funktionen zusammensetzt
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy wird homolog behandelt
d (-xy) = -y - x y '
Sie werden in Gleichheit eingesetzt, da sie wissen, dass die Ableitung von Null Null ist.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Die Elemente mit dem Begriff y 'sind auf einer Seite der Gleichheit gruppiert
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Der gemeinsame Faktor y 'wird von der rechten Seite der Gleichheit extrahiert
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Schließlich wird der Term, der y 'multipliziert, gelöscht. So erhält man den Ausdruck, der der impliziten Ableitung von y in Bezug auf x entspricht.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Kettenregel
Bei der impliziten Ableitung wird die Kettenregel immer eingehalten. Alle Differentialausdrücke werden als Funktion der unabhängigen Variablen X angegeben. Daher muss jede andere Variable θ als X nach ihrer Ableitung den Term dθ / dx enthalten.
Dieser Begriff erscheint nur im ersten Grad oder mit einem Exponenten gleich 1. Diese Qualität macht es unter herkömmlichen Factoring-Methoden völlig klar. Somit ist es möglich, den Ausdruck zu erhalten, der das Differential d & thgr; / dx definiert.
Die Kettenregel zeigt den progressiven Charakter des Differenzierungs- oder Ableitungsprozesses. Wo für jede zusammengesetzte Funktion f, haben wir, dass der differentielle Ausdruck von f sein wird
Betriebsreihenfolge
In jeder angewendeten Formel oder jedem Ableitungsgesetz muss die Reihenfolge der Variablen berücksichtigt werden. Die mit der unabhängigen Variablen verbundenen Kriterien werden eingehalten, ohne ihre Korrelation mit der abhängigen Variablen zu ändern.
Die Beziehung der abhängigen Variablen zum Zeitpunkt der Ableitung wird direkt genommen; Mit der Ausnahme, dass dies als zweite Funktion betrachtet wird, wird das Kettenregelkriterium für gemischte Funktionen angewendet.
Dies kann in Ausdrücken mit mehr als 2 Variablen entwickelt werden. Nach den gleichen Prinzipien werden alle Differentiale bezeichnet, die sich auf die abhängigen Variablen beziehen.
Grafisch wird das gleiche Kriterium behandelt, das die Ableitung definiert. Während die Ableitung die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve in der Ebene ist, repräsentieren die übrigen Differentiale, die zu den abhängigen Variablen (dy / dx, dz / dx) gehören, Ebenen, die die durch die Mehrfachvariablenfunktionen beschriebenen Vektorkörper tangieren.
Implizit
Eine Funktion wird implizit definiert, wenn der Ausdruck y = f (x) als Mehrfachvariablenfunktion F (x, y) = 0 dargestellt werden kann, solange F in der R 2 -Ebene definiert ist .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy kann in der Form 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0 geschrieben werden
In Anbetracht der Unmöglichkeit, die Funktion y = f (x) explizit zu machen.
Geschichte
Die Differentialrechnung wurde um das 17. Jahrhundert von verschiedenen mathematischen Forschern benannt. Das erste Mal wurde es durch die Beiträge von Newton und Leibniz erwähnt. Beide behandelten die Differentialrechnung unter verschiedenen Gesichtspunkten, konvergierten jedoch in ihren Ergebnissen.
Während Newton sich auf die Differenzierung als Geschwindigkeit oder Änderungsrate konzentrierte, war Leibniz 'Ansatz geometrischer. Man kann sagen, dass Newton die Vermutungen von Apollonius von Perge und Leibniz die geometrischen Ideen von Fermat angegriffen hat.
Die implizite Ableitung erscheint sofort unter Berücksichtigung der Differential- und Integralgleichungen. Diese erweiterten Leibniz 'geometrisches Konzept auf R 3 und sogar auf mehrdimensionale Räume.
Anwendungen
Implizite Derivate werden in verschiedenen Situationen verwendet. Sie treten häufig bei Wechselkursproblemen zwischen verwandten Variablen auf, bei denen die Variablen je nach Sinn der Studie als abhängig oder unabhängig betrachtet werden.
Sie haben auch interessante geometrische Anwendungen, beispielsweise bei Reflexions- oder Schattenproblemen, auf Figuren, deren Form mathematisch modelliert werden kann.
Sie werden häufig in den Bereichen Wirtschaft und Ingenieurwesen sowie bei verschiedenen Untersuchungen von Naturphänomenen und Versuchsgebäuden eingesetzt.
Gelöste Übungen
Übung 1
Definieren Sie den impliziten Ausdruck, der dy / dx definiert
Jedes Element des Ausdrucks wird unterschieden
Festlegung der Kettenregel in jedem kompetenten Fall
Gruppieren auf einer Seite der Gleichheit die Elemente, die dy / dx haben
Es wird unter Verwendung des gemeinsamen Faktors berücksichtigt
Es ist gelöst, den gesuchten Ausdruck zu erhalten
Übung 2
Definieren Sie den impliziten Ausdruck, der dy / dx definiert
Angabe der durchzuführenden Derivate
Implizite Ableitung gemäß Kettenregel
Gemeinsame Elemente berücksichtigen
Gruppieren des Begriffs dy / dx auf einer Seite der Gleichheit
Gemeinsamer Faktor für das Differentialelement
Wir isolieren und erhalten den gesuchten Ausdruck
Verweise
- Berechnung einer einzelnen Variablen. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. November 2008
- Der implizite Funktionssatz: Geschichte, Theorie und Anwendungen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. November. 2012
- Multivariable Analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. Dezember. 2010
- Systemdynamik: Modellierung, Simulation und Steuerung von mechatronischen Systemen. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. März 2012
- Kalkül: Mathematik und Modellierung. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. Januar 1999