ALGEBRAISCHE ABLEITUNGEN (MIT BEISPIELEN) - MATHE - 2024

Die algebraischen Ableitungen bestehen aus der Untersuchung der Ableitung bei algebraischen Funktionen. Der Ursprung des Begriffs der Ableitung reicht bis ins antike Griechenland zurück. Die Entwicklung dieses Begriffs wurde durch die Notwendigkeit motiviert, zwei wichtige Probleme zu lösen, eines in der Physik und eines in der Mathematik.

In der Physik löst die Ableitung das Problem der Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts. In der Mathematik finden Sie die Tangentenlinie zu einer Kurve an einem bestimmten Punkt.

Obwohl es wirklich viel mehr Probleme gibt, die durch die Verwendung des Derivats sowie seiner Verallgemeinerungen gelöst werden, sind die Ergebnisse nach der Einführung seines Konzepts entstanden.

Die Pioniere der Differentialrechnung sind Newton und Leibniz. Bevor wir die formale Definition geben, werden wir die Idee dahinter aus mathematischer und physikalischer Sicht entwickeln.

Die Ableitung als Steigung der Tangentenlinie zu einer Kurve

Angenommen, der Graph einer Funktion y = f (x) ist ein kontinuierlicher Graph (ohne Spitzen oder Eckpunkte oder Lücken), und A = (a, f (a)) sei ein fester Punkt darauf. Wir wollen die Gleichung der Linie finden, die den Graphen der Funktion f am Punkt A tangiert.

Nehmen wir einen beliebigen anderen Punkt P = (x, f (x)) in der Grafik nahe Punkt A und zeichnen die Sekantenlinie, die durch A und P verläuft. Eine Sekantenlinie ist eine Linie, die die Grafik einer Kurve um eins schneidet oder mehr Punkte.

Um die gewünschte Tangentenlinie zu erhalten, müssen wir nur die Steigung berechnen, da wir bereits einen Punkt auf der Linie haben: Punkt A.

Wenn wir Punkt P entlang des Graphen bewegen und ihn näher und näher an Punkt A bringen, nähert sich die zuvor erwähnte Sekantenlinie der Tangentenlinie, die wir finden möchten. Wenn Sie die Grenze nehmen, wenn "P zu A tendiert", fallen beide Linien zusammen, daher auch ihre Steigungen.

Die Steigung der Sekantenlinie ist gegeben durch

Zu sagen, dass sich P A nähert, entspricht der Aussage, dass sich "x" "a" nähert. Somit ist die Steigung der Tangentenlinie zum Graphen von f am Punkt A gleich:

Der obige Ausdruck wird mit f '(a) bezeichnet und als Ableitung einer Funktion f am Punkt "a" definiert. Wir sehen daher, dass analytisch die Ableitung einer Funktion an einem Punkt eine Grenze ist, aber geometrisch ist es die Steigung der Linie, die den Graphen der Funktion am Punkt tangiert.

Nun werden wir diesen Begriff aus physikalischer Sicht betrachten. Wir werden zum gleichen Ausdruck der vorherigen Grenze gelangen, wenn auch auf einem anderen Weg, wodurch die Einstimmigkeit der Definition erreicht wird.

Die Ableitung als momentane Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel an, was Momentangeschwindigkeit bedeutet. Wenn zum Beispiel gesagt wird, dass ein Auto, um ein Ziel zu erreichen, dies mit einer Geschwindigkeit von 100 km / h tat, bedeutet dies, dass es in einer Stunde 100 km zurücklegte.

Dies bedeutet nicht unbedingt, dass das Auto während der gesamten Stunde immer 100 km lang war und der Tacho des Autos in einigen Momenten weniger oder mehr markieren konnte. Wenn Sie an einer Ampel anhalten mussten, betrug Ihre Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt 0 km. Nach einer Stunde betrug die Fahrt jedoch 100 km.

Dies ist die sogenannte Durchschnittsgeschwindigkeit und ergibt sich aus dem Quotienten der zurückgelegten Strecke und der verstrichenen Zeit, wie wir gerade gesehen haben. Die momentane Geschwindigkeit hingegen ist diejenige, die die Nadel des Tachometers eines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt markiert.

Schauen wir uns das jetzt allgemeiner an. Angenommen, ein Objekt bewegt sich entlang einer Linie und diese Verschiebung wird durch die Gleichung s = f (t) dargestellt, wobei die Variable t die Zeit und die Variable s die Verschiebung unter Berücksichtigung ihres Beginns in misst der Zeitpunkt t = 0, zu welchem ​​Zeitpunkt es auch Null ist, dh f (0) = 0.

Diese Funktion f (t) ist als Positionsfunktion bekannt.

Es wird ein Ausdruck für die momentane Geschwindigkeit des Objekts zu einem festen Zeitpunkt "a" gesucht. Bei dieser Geschwindigkeit werden wir es mit V (a) bezeichnen.

Sei kein Moment in der Nähe des Augenblicks "a". In dem Zeitintervall zwischen "a" und "t" ist die Änderung der Objektposition durch f (t) -f (a) gegeben.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall beträgt:

Welches ist eine Annäherung an die momentane Geschwindigkeit V (a). Diese Annäherung ist besser, wenn t sich "a" nähert. So,

Beachten Sie, dass dieser Ausdruck der gleiche ist wie der im vorherigen Fall, jedoch aus einer anderen Perspektive. Dies ist das, was als Ableitung einer Funktion f an einem Punkt "a" bekannt ist und wie oben angegeben mit f '(a) bezeichnet wird.

Beachten Sie, dass bei der Änderung von h = xa, wenn "x" zu "a" tendiert, "h" zu 0 tendiert und die vorherige Grenze (äquivalent) transformiert wird zu:

Beide Ausdrücke sind äquivalent, aber manchmal ist es je nach Fall besser, einen anstelle des anderen zu verwenden.

Die Ableitung einer Funktion f an einem beliebigen Punkt "x", der zu ihrer Domäne gehört, wird dann allgemeiner definiert als

Die gebräuchlichste Notation zur Darstellung der Ableitung einer Funktion y = f (x) ist die gerade gesehene (f 'oder y'). Eine andere weit verbreitete Notation ist jedoch die Leibniz-Notation, die als einer der folgenden Ausdrücke dargestellt wird:

Da die Ableitung im Wesentlichen eine Grenze ist, kann sie existieren oder nicht, da Grenzen nicht immer existieren. Wenn es existiert, wird die fragliche Funktion an dem gegebenen Punkt als differenzierbar bezeichnet.

Algebraische Funktion

Eine algebraische Funktion ist eine Kombination von Polynomen durch Addition, Subtraktion, Produkte, Quotienten, Potenzen und Radikale.

Ein Polynom ist Ausdruck der Form

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Wobei n eine natürliche Zahl ist und alle a _i mit i = 0,1, …, n rationale Zahlen und _n ≠ 0 sind. In diesem Fall soll der Grad dieses Polynoms n sein.

Das Folgende sind Beispiele für algebraische Funktionen:

Exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen sind hier nicht enthalten. Die Ableitungsregeln, die wir als nächstes sehen werden, gelten für Funktionen im Allgemeinen, aber wir werden uns einschränken und sie im Fall von algebraischen Funktionen anwenden.

Regeln umgehen

Ableitung einer Konstante

Gibt an, dass die Ableitung einer Konstanten Null ist. Das heißt, wenn f (x) = c ist, dann ist f '(x) = 0. Beispielsweise ist die Ableitung der konstanten Funktion 2 gleich 0.

Ableitung einer Macht

Wenn f (x) = x ⁿ , dann ist f '(x) = nx ^n-1 . Zum Beispiel ist die Ableitung von x ³ 3x ² . Infolgedessen erhalten wir, dass die Ableitung der Identitätsfunktion f (x) = x f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1 ist.

Ein anderes Beispiel ist das folgende: sei f (x) = 1 / x ² , dann f (x) = x ^-2 und f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Diese Eigenschaft ist auch gültige Wurzeln, da Wurzeln rationale Kräfte sind und das Obige auch in diesem Fall angewendet werden kann. Zum Beispiel ist die Ableitung einer Quadratwurzel gegeben durch

Ableitung von Addition und Subtraktion

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, ist auch die Summe f + g differenzierbar und es ist erfüllt, dass (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

In ähnlicher Weise haben wir (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Mit anderen Worten ist die Ableitung einer Summe (Subtraktion) die Summe (oder Subtraktion) der Ableitungen.

Beispiel

Wenn h (x) = x ² + x-1, dann

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Abgeleitet von einem Produkt

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, dann ist das Produkt fg auch in x differenzierbar, und es ist wahr, dass

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Infolgedessen folgt, dass wenn c eine Konstante ist und f eine differenzierbare Funktion in x ist, cf auch in x differenzierbar ist und (cf) '(x) = cf' (X).

Beispiel

Wenn f (x) = 3x (x ² + 1), dann

f '(x) = (3x)' (x ² + 1) + (3x) (x ² + 1) '= 3 (x)' (x ² + 1) + 3x

= 3 (1) (x ² + 1) + 3x = 3 (x ² + 1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9 × ² + 3.

Ableitung eines Quotienten

Wenn f und g bei x und g (x) ≠ 0 differenzierbar sind, dann ist f / g auch bei x differenzierbar, und es ist wahr, dass

Beispiel: Wenn h (x) = x ³ / (x ² -5x), dann

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Kettenregel

Diese Regel ermöglicht es, die Zusammensetzung von Funktionen abzuleiten. Geben Sie Folgendes an: Wenn y = f (u) bei u differenzierbar ist, yu = g (x) bei x differenzierbar ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion f (g (x)) bei x differenzierbar, und es ist wahr, dass '= f '(g (x)) g' (x).

Das heißt, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Ableitung der externen Funktion (externe Ableitung) und der Ableitung der internen Funktion (interne Ableitung).

Beispiel

Wenn f (x) = (x ^{4 -} 2x) ^{3 ist} , dann

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Es gibt auch Ergebnisse für die Berechnung der Ableitung der Umkehrung einer Funktion sowie für die Verallgemeinerung auf Ableitungen höherer Ordnung. Die Anwendungen sind umfangreich. Darunter stechen die Nützlichkeit bei Optimierungsproblemen sowie die maximalen und minimalen Funktionen hervor.

Verweise

1. Alarcon, S., González, M. & Quintana, H. (2008). Differentialrechnung. ES M.
2. Cabrera, VM (1997). Berechnung 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Mathematik vor der Berechnung. Universität von Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Einführung in die Analysis. Threshold Editions.
5. Fuentes, A. (2016). GRUNDLEGENDE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Analysis. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE & Varberg, DE (2007). Berechnung. Pearson Ausbildung.
7. Saenz, J. (2005). Differentialrechnung (2. Aufl.). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB & Weir, MD (2006). Berechnung: mehrere Variablen. Pearson Ausbildung.