KURTOSIS: DEFINITION, TYPEN, FORMELN, WOFÜR ES IST, ZUM BEISPIEL - DUDAS - 2025

Die Kurtosis oder Kurtosis ist ein statistischer Parameter, der zur Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen verwendet wird und den Konzentrationsgrad der Werte um das zentrale Maß angibt. Dies wird auch als "Spitzengrad" bezeichnet.

Der Begriff stammt aus dem Griechischen "Kurtos", was "gewölbt" bedeutet. Daher gibt die Kurtosis den Grad der Ausrichtung oder Abflachung der Verteilung an, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Abbildung 1. Verschiedene Arten von Kurtosis. Quelle: F. Zapata.

Fast alle Werte einer Zufallsvariablen tendieren dazu, sich um einen zentralen Wert wie den Mittelwert zu gruppieren. In einigen Verteilungen sind die Werte jedoch stärker verteilt als in anderen, was zu flacheren oder schlankeren Kurven führt.

Definition

Die Kurtosis ist ein für jede Häufigkeitsverteilung typischer Zahlenwert, der entsprechend der Konzentration der Werte um den Mittelwert in drei Gruppen eingeteilt wird:

- Leptokurtisch: Die Werte sind sehr stark um den Mittelwert gruppiert, sodass die Verteilung ziemlich spitz und schlank ist (Abbildung 1, links).

- Mesocúrtic: Es hat eine moderate Konzentration von Werten um den Mittelwert (Abbildung 1 in der Mitte).

- Platicúrtica: Diese Verteilung hat eine breitere Form, da die Werte tendenziell stärker verteilt sind (Abbildung 1 rechts).

Formeln und Gleichungen

Die Kurtosis kann ohne Einschränkungen einen beliebigen Wert haben. Die Berechnung erfolgt je nach Art der Datenübermittlung. Die jeweils verwendete Notation lautet wie folgt:

-Kurosekoeffizient: g ₂

-Arithmetisches Mittel: X oder x mit Balken

-Ein i-ter Wert: x _i

-Standardabweichung: σ

-Die Anzahl der Daten: N.

-Die Frequenz des i-ten Wertes: f _i

-Klassenmarke: mx _i

Mit dieser Notation präsentieren wir einige der am häufigsten verwendeten Formeln, um Kurtosis zu finden:

- Kurtosis nach Darstellung der Daten

Daten nicht gruppiert oder in Frequenzen gruppiert

Daten in Intervallen gruppiert

Übermäßige Kurtosis

Es wird auch als Fisher-Zielkoeffizient oder Fisher-Maß bezeichnet und dient zum Vergleich der untersuchten Verteilung mit der Normalverteilung.

Wenn die überschüssige Kurtosis 0 ist, befinden wir uns in Gegenwart einer Normalverteilung oder einer Gaußschen Glocke. Auf diese Weise vergleichen wir die überschüssige Kurtosis einer Verteilung immer dann mit der Normalverteilung, wenn sie berechnet wird.

Sowohl für die nicht gruppierten als auch für die gepoolten Daten beträgt der mit K bezeichnete Fisher-Zeigekoeffizient:

K = g ₂ - 3

Nun kann gezeigt werden, dass die Kurtosis der Normalverteilung 3 beträgt, wenn also der Fisher-Zeigekoeffizient 0 oder nahe 0 ist und eine mesokstruktive Verteilung vorliegt. Wenn K> 0 ist, ist die Verteilung leptokurtisch und wenn K <0 ist, ist sie platicúrtisch.

Wofür ist Kurtosis?

Die Kurtosis ist ein Maß für die Variabilität, mit dem die Morphologie einer Verteilung charakterisiert wird. Auf diese Weise können symmetrische Verteilungen mit demselben Durchschnitt und derselben Dispersion (gegeben durch die Standardabweichung) verglichen werden.

Durch Variabilitätsmaße wird sichergestellt, dass die Durchschnittswerte zuverlässig sind, und es wird geholfen, Variationen in der Verteilung zu kontrollieren. Schauen wir uns als Beispiel diese beiden Situationen an.

Die Gehälter von 3 Abteilungen

Angenommen, die folgende Grafik zeigt die Gehaltsverteilungen von 3 Abteilungen desselben Unternehmens:

Abbildung 2. Drei Verteilungen mit unterschiedlicher Kurtosis veranschaulichen praktische Situationen. (Vorbereitet von Fanny Zapata)

Kurve A ist die schlankste von allen, und aus ihrer Form lässt sich ableiten, dass die meisten Gehälter dieser Abteilung sehr nahe am Durchschnitt liegen, weshalb die meisten Mitarbeiter eine ähnliche Vergütung erhalten.

In Abteilung B folgt die Lohnkurve einer Normalverteilung, da die Kurve mesokurtisch ist, wobei wir davon ausgehen, dass die Löhne zufällig verteilt wurden.

Und schließlich haben wir Kurve C, die sehr flach ist, ein Zeichen dafür, dass in dieser Abteilung die Gehaltsspanne viel breiter ist als in den anderen.

Die Ergebnisse einer Prüfung

Angenommen, die drei Kurven in Abbildung 2 stellen die Ergebnisse einer Prüfung dar, die auf drei Gruppen von Studenten desselben Fachs angewendet wurde.

Die Gruppe, deren Bewertungen durch die A-leptokurtische Kurve dargestellt werden, ist ziemlich homogen, die Mehrheit erhielt eine durchschnittliche oder nahe Bewertung.

Es ist auch möglich, dass das Ergebnis darauf zurückzuführen ist, dass die Testfragen mehr oder weniger den gleichen Schwierigkeitsgrad haben.

Andererseits weisen die Ergebnisse der Gruppe C auf eine größere Heterogenität in der Gruppe hin, die wahrscheinlich durchschnittliche Schüler, einige fortgeschrittenere Schüler und sicherlich die gleichen weniger aufmerksamen Schüler umfasst.

Oder es könnte bedeuten, dass die Testfragen sehr unterschiedliche Schwierigkeitsgrade hatten.

Kurve B ist mesokutisch, was darauf hinweist, dass die Testergebnisse einer Normalverteilung folgten. Dies ist normalerweise der häufigste Fall.

Arbeitete Beispiel für Kurtosis

Finden Sie den Fisher-Bewertungskoeffizienten für die folgenden Noten, die in einer Physikprüfung für eine Gruppe von Studenten mit einer Skala von 1 bis 10 erhalten wurden:

Lösung

Der folgende Ausdruck wird für nicht gruppierte Daten verwendet, die in den vorhergehenden Abschnitten angegeben wurden:

K = g ₂ - 3

Mit diesem Wert können Sie die Art der Verteilung kennen.

Um g ₂ zu berechnen _, ist es zweckmäßig, dies Schritt für Schritt in geordneter Weise durchzuführen, da mehrere arithmetische Operationen gelöst werden müssen.

Schritt 1

Zunächst wird der Durchschnitt der Noten berechnet. Es gibt N = 11 Daten.

Schritt 2

Es wird die Standardabweichung gefunden, für die diese Gleichung verwendet wird:

σ = 1,992

Sie können auch eine Tabelle erstellen, die auch für den nächsten Schritt erforderlich ist und in die jeder Term der benötigten Summierungen geschrieben wird, beginnend mit (x _i - X) und dann (x _i - X) ² und dann (x _i - X) ⁴ :

Schritt 3

Führen Sie die im Zähler der Formel für g ₂ angegebene Summe aus . Hierzu wird das Ergebnis der rechten Spalte der vorherigen Tabelle verwendet:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

So:

g ₂ = (1/11) × 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

Der Zeigekoeffizient von Fisher ist:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Interessant ist das Vorzeichen des Ergebnisses, das negativ ist und einer platicúrtischen Verteilung entspricht, die wie im vorherigen Beispiel interpretiert werden kann: Möglicherweise handelt es sich um einen heterogenen Kurs mit Studierenden unterschiedlichen Interesses oder der Prüfungsfragen von verschiedenen Schwierigkeitsgraden.

Die Verwendung einer Tabelle wie Excel erleichtert die Lösung dieser Art von Problemen erheblich und bietet auch die Möglichkeit, die Verteilung grafisch darzustellen.

Verweise

1. Levin, R. 1988. Statistik für Administratoren. 2 .. Auflage. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Wiederhergestellt von: Economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetrie und Kurtosis. Wiederhergestellt von: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Entscheidungsfindung im Management. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.