SEIL (GEOMETRIE): LÄNGE, SATZ UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Ein Akkord in ebener Geometrie ist das Liniensegment, das zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. Die Linie, die dieses Segment enthält, wird als Sekantenlinie zur Kurve bezeichnet. Dies ist oft ein Kreis, aber Akkorde können sicherlich auf vielen anderen Kurven wie Ellipsen und Parabeln gezeichnet werden.

In Abbildung 1 links befindet sich eine Kurve, zu der die Punkte A und B gehören. Der Akkord zwischen A und B ist das grüne Segment. Rechts ist ein Umfang und eine seiner Ketten, da es möglich ist, Unendlichkeiten zu zeichnen.

Abbildung 1. Links der Akkord einer beliebigen Kurve und rechts der Akkord eines Kreises. Quelle: Wikimedia Commons.

Im Umfang ist sein Durchmesser besonders interessant, der auch als Dur-Akkord bekannt ist. Es ist ein Akkord, der immer den Mittelpunkt des Umfangs enthält und den doppelten Radius misst.

Die folgende Abbildung zeigt den Radius, den Durchmesser, eine Sehne und auch den Bogen eines Umfangs. Bei der Lösung von Problemen ist es wichtig, jeden einzelnen richtig zu identifizieren.

Abbildung 2. Elemente des Umfangs. Quelle: Wikimedia Commons.

Akkordlänge eines Kreises

Wir können die Länge des Akkords in einem Kreis aus den Abbildungen 3a und 3b berechnen. Beachten Sie, dass ein Dreieck immer mit zwei gleichen Seiten (gleichschenklig) gebildet wird: Segmente OA und OB, die R, den Radius des Umfangs, messen. Die dritte Seite des Dreiecks ist das Segment AB, das als C bezeichnet wird und genau die Länge des Akkords ist.

Es ist notwendig, eine Linie senkrecht zur Sehne C zu zeichnen, um den Winkel θ zu halbieren, der zwischen den beiden Radien besteht und dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt O des Kreises ist. Dies ist ein zentraler Winkel - weil sein Scheitelpunkt das Zentrum ist - und die Halbierungslinie ist auch eine Sekante zum Umfang.

Sofort bilden sich zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse R misst. Da die Winkelhalbierende und damit der Durchmesser den Akkord in zwei gleiche Teile teilen, stellt sich heraus, dass eines der Beine die Hälfte von C ist, wie in angegeben Abbildung 3b.

Aus der Definition des Sinus eines Winkels:

sin (θ / 2) = gegenüberliegendes Bein / Hypotenuse = (C / 2) / R.

So:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Abbildung 3. Das Dreieck aus zwei Radien und einem Umfangsakkord ist gleichschenklig (Abbildung 3), da es zwei gleiche Seiten hat. Die Halbierende teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke (Abbildung 3b). Quelle: erstellt von F. Zapata.

Stringsatz

Der Stringsatz lautet wie folgt:

Die folgende Abbildung zeigt zwei Akkorde mit demselben Umfang: AB und CD, die sich am Punkt P schneiden. Im Akkord AB sind die Segmente AP und PB definiert, während im Akkord CD CP und PD definiert sind. Also nach dem Satz:

AP. PB = CP. P.S.

Abbildung 4. Der Akkordsatz eines Kreises. Quelle: F. Zapata.

Gelöste Saitenübungen

- Übung 1

Ein Kreis hat einen 48-cm-Akkord, der 7 cm von der Mitte entfernt ist. Berechnen Sie die Fläche des Kreises und den Umfang des Umfangs.

Lösung

Um die Fläche des Kreises A zu berechnen, reicht es aus, den Radius des quadratischen Umfangs zu kennen, da dies zutrifft:

A = π.R ²

Die Figur, die mit den bereitgestellten Daten gebildet wird, ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Beine 7 bzw. 24 cm betragen.

Abbildung 5. Geometrie für die aufgelöste Übung 1. Quelle: F. Zapata.

Um den Wert von R ^{2 zu finden} , wird daher der Satz von Pythagoras c ² = a ² + b ² direkt angewendet , da R die Hypotenuse des Dreiecks ist:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Der angeforderte Bereich ist also:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

In Bezug auf den Umfang oder die Länge L des Umfangs wird berechnet durch:

L = 2π. R.

Werte ersetzen:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Übung 2

Bestimmen Sie die Länge des Akkords eines Kreises, dessen Gleichung lautet:

x ² + y ² - 6x - 14y - 111 = 0

Es ist bekannt, dass die Koordinaten des Mittelpunkts des Akkords P (17/2; 7/2) sind.

Lösung

Der Mittelpunkt des Akkords P gehört nicht zum Umfang, die Endpunkte des Akkords jedoch. Das Problem kann unter Verwendung des zuvor ausgesprochenen Stringsatzes gelöst werden, aber zuerst ist es zweckmäßig, die Gleichung des Umfangs in kanonischer Form zu schreiben, um seinen Radius R und seinen Mittelpunkt O zu bestimmen.

Schritt 1: Erhalten Sie die kanonische Gleichung des Umfangs

Die kanonische Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (h, k) lautet:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Um es zu erhalten, müssen Sie Quadrate ausfüllen:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Beachten Sie, dass 6x = 2. (3x) und 14y = 2. (7y), so dass der vorherige Ausdruck wie folgt umgeschrieben wird und unverändert bleibt:

(x ² - 6x + 3 ^{2 -} 3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ^{2 -} 7 ² ) -111 = 0

Und jetzt, wenn Sie sich an die Definition des bemerkenswerten Produkts (ab) ² = a ² - 2ab + b ² erinnern , können Sie schreiben:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Der Umfang hat den Mittelpunkt (3,7) und den Radius R = √169 = 13. Die folgende Abbildung zeigt die grafische Darstellung des Umfangs und der im Satz zu verwendenden Akkorde:

Abbildung 6. Diagramm des Umfangs der aufgelösten Übung 2. Quelle: F. Zapata mit dem Online-Grafikrechner von Mathway.

Schritt 2: Bestimmen Sie die Segmente, die im String-Theorem verwendet werden sollen

Die zu verwendenden Segmente sind die Saiten CD und AB, gemäß 6, beide werden am Punkt P geschnitten, daher:

CP. PD = AP. PB

Jetzt werden wir den Abstand zwischen den Punkten O und P finden, da dies uns die Länge des Segments OP gibt. Wenn wir den Radius zu dieser Länge hinzufügen, erhalten wir das Segment CP.

Der Abstand d _OP zwischen zwei Koordinatenpunkten (x ₁ , y ₁ ) und (x ₂ , y ₂ ) beträgt:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3 - 17/2) ² + (7 - 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Mit allen erhaltenen Ergebnissen und dem Diagramm erstellen wir die folgende Liste von Segmenten (siehe Abbildung 6):

CO = 13 cm = R.

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = Akkordlänge

Einsetzen in den Stringsatz:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Die Länge der Zeichenfolge beträgt 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Könnte der Leser das Problem auf andere Weise lösen?

Verweise

1. Baldor, A. 2004. Ebenen- und Raumgeometrie mit Trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV Mexiko.
2. C-K12. Länge eines Akkords. Wiederhergestellt von: ck12.org.
3. Escobar, J. Der Umfang. Wiederhergestellt von: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Wiederhergestellt von: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Seil (Geometrie). Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.